Imagenologia por resonancia magnetica nuclear
Introducción
La imagenología por resonancia magnética nuclear es una poderosa técnica para el diagnóstico médico y la planeación prequirurgica, basada en el fenómeno de resonancia magnética nuclear (NMR), descubierto en 1946 por Bloch y Purcell. Es una técnica segura, pues no se necesita exponer al paciente a radiación ionizante, como los rayos-X.
Algunos núcleos atómicos tienen la característica que cuando son colocados en un campo magnético estático, éstos asumirán alguno de los estados: el de mayor energía o el de menor energía. La diferencia de energía que existe entre estos dos estados es linealmente proporcional a la fuerza del campo magnético aplicado, esto es conocido como el efecto Zeeman.
En el estado de equilibrio térmico, el número de núcleos en el estado de mayor energía será ligeramente menor que en el de menor energía. Los núcleos pueden saltar del estado de mayor energía al de menor o del de menor al de mayor energía emitiendo o absorbiendo, respectivamente, un fotón de energía igual a la diferencia entre los dos estados. Si irradiamos núcleos con ondas electromagnéticas, generadas por una sonda de radiofrecuencia, a determinada frecuencia, algunos núcleos del estado de menor energía, absorberán la energía de los fotones y saltarán al estado de mayor energía, rompiendo así el equilibrio térmico, sin embargo, debido a el exceso de núcleos en el estado, algunos núcleos tenderán a regresar al estado de menor energía, para intentar recuperar el equilibrio térmico, emitiendo ondas electromagnéticas, las cuales podrán ser detectadas con una sonda de radiofrecuencia. Las señales de NMR recibidas por la sonda de RF pueden ser analizadas para estudiar las propiedades del núcleo y su entorno.
La técnica de NMR fue usada para análisis espectroscópicos, y no fue sino hasta 1973 que Lauterbur propuso utilizarla para el estudio de la imagen.
Principios físicos de la resonancia magnética nuclear
Spin
Se ha demostrado que ciertos núcleos poseen una propiedad conocida como spin. Pensemos en un protón como una pequeña esfera que contiene carga positiva distribuida uniformemente, la cual rota a gran velocidad sobre su eje, por lo tanto, la carga neta estará circulando sobre el eje de rotación, esta corriente producirá un pequeño campo magnético, llamado "momento magnético", simbolizado por $\boldsymbol{\mu}$. Además, debido a que el protón poseé una masa, la rotación producirá un momento angular. Con los neutrones y electrones, ocurre algo similar. La relación que exite entre el momento angular y el momento magnético de un núcleo, esta dada por: \begin{equation} \boldsymbol{\mu}=\gamma\textbf{J} \label{mommag} \end{equation} donde $\gamma$ es una constante de proporcionalidad llamada constante giromagnética, caracteristica del núcleo.
Ahora consideremos un sistema aislado con 2 dos protones, habrá dos posibles configuraciones para el momento angular, y por lo tanto para el momento magnético de cada protón. Pueden estar alineados en el mismo sentido, lo cual resultaría en una configuración de mayor energía, o en sentidos opuestos, lo que sería un estado de menor energía, siendo esta, la configuración más estable; en dicha configuración se produciría un momento neto igual a cero y no se crearía momento magnético. Los núcleos que cumplen con la condición anterior, no son de interés para NMR porque no interaccionan fuertemente con los campos magnéticos.
En núcleos con un número impar de protones o de neutrones, es imposible tener momento angular neto igual a cero, dichos núcleos se dice que tienen spin nuclear. Estos núcleos son de gran importancia para la NMR, entre ellos se incluye el $^1H$, el cual será el núcleo más importante por su gran concentración natural en el cuerpo. En NMR estamos interesados en hacer "resonar" el núcleo entre los estados de energía por la aplicación de un campo magnético externo.
Comportamiento de los núcleos en un campo magnético externo
Ahora consideremos a un protón aislado, el cual está sometido en un campo magnético uniforme, $B_0$. El protón asumirá alguno de los dos estados de equilibrio, ya sea el estado paralelo, i.e. con su componente $z$ del momento magnético alineada con el campo externo $B_o$, o el estado antiparalelo, i.e., con su componente $z$ opuesta al campo magnético; ambos estados son estables, sin embargo la energía asociada al primer estado será menor que la del segundo.
Los valores de $\mu$ y $\mu_z$, están dados por \begin{equation} \mu=\frac{\gamma h \sqrt{3}}{4\pi} \label{mu} \end{equation} \begin{equation} \mu_z=\frac{\gamma h}{4\pi} \label{mu-z} \end{equation} donde $h=6.629x10^{-34}$ J$\cdot{s}$, es la constante de Planck's.
El ángulo $\theta_0$ entre la componente $z$ del vector $\mu$ y el eje $z$ (dirección de $B_0$), está dado por \begin{equation} \theta_o=\arccos(\frac{\mu_z}{\mu})=\arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})\approx 54.7^{\circ} \label{angulo} \end{equation}
La diferencia de energía entre los dos estados es \begin{equation} \Delta E=2\mu B_o \label{delta} \end{equation}
El fotón que se emita o se absorba al cambiar de estado, tendrá una energía $\Delta E$ y frecuencia $\nu$, las cuales están relacionadas por \begin{equation} \Delta E= h\nu \label{delta2} \end{equation} de la Eq.(\ref{delta}) y Eq.(\ref{delta2}), obtenemos \begin{equation} \nu=(\frac{2\mu_z}{h})B_o \label{frec} \end{equation} Observamos que la frecuencia es directamente proporcional a la fuerza de campo magnético, lo cual será muy útil para la imagenología.
La torca actúando en el momento magnético es \begin{equation} \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times \boldsymbol{B}_0 \label{torca} \end{equation} La relación de la torca con el momento angular, está dada por \begin{equation} \boldsymbol{\tau}=\frac{d\textbf{J}}{dt} \label{tau-J} \end{equation}
Que podemos relacionar con Eq.(\ref{mommag}) para obtener \begin{equation} \frac{d\boldsymbol{\mu}}{dt}=\gamma(\boldsymbol{\mu}\times\textbf{B}_o) \label{prodcruz} \end{equation} haciendo el producto cruz, obtenemos las 3 relaciones escalares de cada componente
\begin{equation} \frac{d\mu_x}{dt}=\gamma\mu_y B_o \label{mux} \end{equation} \begin{equation} \frac{d\mu_y}{dt}=-\gamma\mu_x B_o \label{muy} \end{equation} \begin{equation} \frac{d\mu_z}{dt}=0 \label{muz} \end{equation}
Desacoplando y combinando las dos primeras ecuaciones, obtenemos \begin{equation} \frac{d^2}{dt^2}{\mu_x \choose \mu_y} + (\gamma B_0)^2{\mu_x \choose \mu_y}=0 \label{ecs} \end{equation}
Resolviendo, con las condiciones iniciales: \begin{equation} \boldsymbol{\mu}(0)=\hat{x}\mu_{x0} + \hat{y}\mu_{y0} + \hat{z}\mu_{z0} \label{conini} \end{equation} obtenemos, \begin{equation} \boldsymbol{\mu}(t)= \hat{x}(\mu_{xo}\cos{wt} + \mu_{yo}\sin{wt}) + \hat{y}(\mu_{yo}\cos{wt} - \mu_{xo}\sin{wt}) +\hat{z}\mu_{zo} \label{solucion} \end{equation} donde $w=\gamma B_0$.
La solución de la Eq.(\ref{solucion}) representa el moviento de precesión que tiene el momento magnético alrededor del eje del campo $B_0$. La frecuencia de esta precesión es \begin{equation} f=\frac{w}{2\pi}=\frac{\gamma B_o}{2\pi} \label{larmor} \end{equation} que es llamada frecuencia de Larmor o frecuencia de resonancia del núcleo.
De la frecuencia de Larmor, Eq.(\ref{larmor}) y de la Eq.(\ref{mu-z}), podemos obtener la constante giromagnética: \begin{equation} \gamma=\frac{4\pi\mu_z}{h} \end{equation} que sustituyendo en Eq.(\ref{larmor}), obtenemos \begin{equation} f=\frac{\gamma B_o}{2\pi}=\frac{2\mu_z}{h}B_o \label{frecuencia} \end{equation} observamos que las Eqs.(\ref{frecuencia}) y (\ref{frec}) son la misma, lo cual nos dice que la frecuencia de la radición emitida en el cambio del estado "paralelo" al "antiparalelo" o viceversa, es la frecuencia de Larmor.
