La siguiente pagina, es una traducción de la pagina "Green's vector identity"
La segunda derivada de dos funciones vectoriales, esta relacionada con la divergencia de las funciones vectoriales con los operadores de primer orden, es decir:
Ver también wikipedia: Green's vector identity
Introducción [1]
La segunda identidad de Green establece una relación entre las derivadas de segundo y (la divergencia de) primer orden de dos funciones escalares
Donde y son dos campos escalares arbitrarios. Esta identidad es de gran importancia en física porque así se pueden establecer ecuaciones de continuidad para campos escalares como la masa o la energía. [2].
Aunque la segunda identidad de Green siempre se presenta en el análisis vectorial, solo se encuentra una versión escalar en los libros de texto. Incluso en la literatura especializada, no es fácil encontrar una versión vectorial. En la teoría de la difracción vectorial, se introducen dos versiones de la segunda identidad de Green. Una variante invoca la divergencia de un producto cruz [3][4][5] y establece una relación en términos del rotacional-rotacional de un campo
. Esta ecuación puede ser escrita en términos del Laplaciano como:
Sin embargo, los términos , no podía escribirse fácilmente en términos de una divergencia. El otro enfoque introduce bi-vectores, esta formulación requiere una función de Green diádica [6][7].
Divergencia de dos campos vectoriales
Considere que los campos escalares en la segunda identidad de Green son los componentes cartesianos de los campos vectoriales, es decir and . Sumando la ecuación para cada componente, obtenemos:
El lado izquierdo, de acuerdo con la definición de producto punto, puede ser escrito de forma vectorial como:
El lado derecho es un poco más difícil de expresar en términos de operadores vectoriales. Debido a la distributividad del operador de divergencia sobre la suma, la suma de la divergencia es igual a la divergencia de la suma, es decir . Recordar que la identidad vectorial para el gradiente de un producto escalar
,la cual, escrita en componentes vectoriales viene dada por Este resultado es similar a lo que deseamos evidenciar en términos vectoriales 'excepto' por el signo menos. Dado que los operadores diferenciales en cada término actúan sobre un vector (es decir ’s) o el otro (’s) , la contribución a cada término debe ser
Se puede demostrar rigurosamente que estos resultados son correctos mediante evaluación de los componentes del vector. Por lo tanto, el lado derecho se puede escribir en forma vectorial como
Juntando estos dos resultados, se obtiene un teorema para campos vectoriales análogo al teorema de Green para campos escalares
De manera tranquilizadora, a partir de la relación vectorial podemos volver al caso escalar como se muestra en el limite escalar limite escalar . El rotacional de un producto vectorial se puede escribir como ; La identidad vectorial de Green se puede reescribir como
Dado que la divergencia de un rotacional es cero, el tercer término desaparece y la "identidad vectorial de Green" es
Con un procedimiento similar, el Laplaciano del producto escalar se puede expresar en términos de los Laplacianos de los factores
Corolario
Como corolario, los términos incómodos en el introduction ahora se puede escribir en términos de una divergencia en comparación con la ecuación de Green vectorial
Este resultado se puede verificar expandiendo la divergencia de un escalar por un vector en el lado derecho.
Derivación por componentes
En orden de evaluar considere el primer término en componentes cartesianos tridimensionales que puede escribirse como
The curl in the second term is The cross product is The second term is then
that expands to
Evaluate in the x direction
canceling out terms
Analogous results are obtained in the other directions so that
that may be written out in vector form as However, the terms can be rearranged as
and thus An equivalent procedure for gives
scalar case
If we take one component vectors, for example, , the vector relationship ([eq:vec green]) becomes Since ,
and . Therefore we recover Green’s second identity for the functions .
- ↑ M. Fernández-Guasti. Green's second identity for vector fields. ISRN Mathematical Physics, 2012:7, 2012. Article ID: 973968. [1]
- ↑ M. Fernández-Guasti. Complementary fields conservation equation derived from the scalar wave equation. J. Phys. A: Math. Gen., 37:4107–4121, 2004.
- ↑ A. E. H. Love. The Integration of the Equations of Propagation of Electric Waves. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, 197:pp. 1–45, 1901.
- ↑ J. A. Stratton and L. J. Chu. Diffraction Theory of Electromagnetic Waves. Phys. Rev., 56(1):99–107, Jul 1939.
- ↑ N. C. Bruce. Double scatter vector-wave Kirchhoff scattering from perfectly conducting surfaces with infinite slopes. Journal of Optics, 12(8):085701, 2010.
- ↑ W. Franz, On the Theory of Diffraction. Proceedings of the Physical Society. Section A, 63(9):925, 1950.
- ↑ Chen-To Tai. Kirchhoff theory: Scalar, vector, or dyadic? Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 20(1):114–115, jan 1972.