Identidad vectorial de Green

La siguiente pagina, es una traducción de la pagina "Green's vector identity"

La segunda derivada de dos funciones vectoriales, esta relacionada con la divergencia de las funciones vectoriales con los operadores de primer orden, es decir:

$\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].$

Ver también wikipedia: Green's vector identity

Introducción

La segunda identidad de Green establece una relación entre las derivadas de segundo y (la divergencia de) primer orden de dos funciones escalares

$p_{m}\nabla ^{2}q_{m}-q_{m}\nabla ^{2}p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right),$

Donde $p_{m}$ y $q_{m}$ son dos campos escalares arbitrarios. Esta identidad es de gran importancia en física porque así se pueden establecer ecuaciones de continuidad para campos escalares como la masa o la energía. .

Aunque la segunda identidad de Green siempre se presenta en el análisis vectorial, solo se encuentra una versión escalar en los libros de texto. Incluso en la literatura especializada, no es fácil encontrar una versión vectorial. En la teoría de la difracción vectorial, se introducen dos versiones de la segunda identidad de Green. Una variante invoca la divergencia de un producto cruz y establece una relación en términos del rotacional-rotacional de un campo

$\mathbf {P} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} -\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)$. Esta ecuación puede ser escrita en términos del Laplaciano como:

$\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} +\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \left(\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right).$

Sin embargo, los términos $\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]$, no podía escribirse fácilmente en términos de una divergencia. El otro enfoque introduce bi-vectores, esta formulación requiere una función de Green diádica .

Divergencia de dos campos vectoriales

Considere que los campos escalares en la segunda identidad de Green son los componentes cartesianos de los campos vectoriales, es decir $\mathbf {P} =\sum \limits _{m}p_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}$ and $\mathbf {Q} =\sum \limits _{m}q_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}$. Sumando la ecuación para cada componente, obtenemos:

$\sum \limits _{m}\left[p_{m}\nabla ^{2}q_{m}-q_{m}\nabla ^{2}p_{m}\right]=\sum \limits _{m}\left[\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)\right].$

El lado izquierdo, de acuerdo con la definición de producto punto, puede ser escrito de forma vectorial como:

$\sum \limits _{m}\left[p_{m}\nabla ^{2}q_{m}-q_{m}\nabla ^{2}p_{m}\right]=\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} .$

El lado derecho es un poco más difícil de expresar en términos de operadores vectoriales. Debido a la distributividad del operador de divergencia sobre la suma, la suma de la divergencia es igual a la divergencia de la suma, es decir $\sum \limits _{m}\left[\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)\right]=\nabla \cdot \left(\sum \limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum \limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right)$. Recordar que la identidad vectorial para el gradiente de un producto escalar $\nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P}$,la cual, escrita en componentes vectoriales viene dada por $\nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\nabla \sum \limits _{m}p_{m}q_{m}=\sum \limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum \limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}.$ Este resultado es similar a lo que deseamos evidenciar en términos vectoriales 'excepto' por el signo menos. Dado que los operadores diferenciales en cada término actúan sobre un vector (es decir $p_{m}$’s) o el otro ($q_{m}$’s) , la contribución a cada término debe ser

$\sum \limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} ,$ $\sum \limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} .$

Se puede demostrar rigurosamente que estos resultados son correctos mediante evaluación de los componentes del vector. Por lo tanto, el lado derecho se puede escribir en forma vectorial como

$\sum \limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum \limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} .$

Juntando estos dos resultados, se obtiene un teorema para campos vectoriales análogo al teorema de Green para campos escalares

$\color {green}{\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}$

De manera tranquilizadora, a partir de la relación vectorial podemos volver al caso escalar como se muestra en el limite escalar limite escalar . El rotacional de un producto vectorial se puede escribir como $\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)$; La identidad vectorial de Green se puede reescribir como

$\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].$

Dado que la divergencia de un rotacional es cero, el tercer término desaparece y la "identidad vectorial de Green" es

$\color {green}{\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}$

Con un procedimiento similar, el Laplaciano del producto escalar se puede expresar en términos de los Laplacianos de los factores

$\nabla ^{2}\left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].$

Corolario

Como corolario, los términos incómodos en el introduction ahora se puede escribir en términos de una divergencia en comparación con la ecuación de Green vectorial

Introducción Identidad vectorial de Green Identidad_vectorial_de_Green#Introducción Identidad vectorial de Green#Introduccion

Identidad vectorial de Green#Introducción

$\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]-\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].$

Este resultado se puede verificar expandiendo la divergencia de un escalar por un vector en el lado derecho.

Derivación por componentes

En orden de evaluar $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q}$ considere el primer término en componentes cartesianos tridimensionales $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} =\left(p_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\left(q_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+q_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+q_{z}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}\right)$ que puede escribirse como $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} =\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}.$

El rotacional en el segundo término es $^{R}\mathbf {Q} =\nabla \times \mathbf {Q} =\left({\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left({\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}.$ el producto cruz es $\mathbf {P} \times {}^{R}\mathbf {Q} =\left(p_{y}{}^{R}q_{z}-p_{z}{}^{R}q_{y}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left(p_{z}{}^{R}q_{x}-p_{x}{}^{R}q_{z}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}{}^{R}q_{y}-p_{y}{}^{R}q_{x}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z};$ El segundo término es entonces

$\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{y}\left({\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}\right)-p_{z}\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right)\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left(p_{z}\left({\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}\right)-p_{x}\left({\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}\right)\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right)-p_{y}\left({\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}\right)\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}$

que se expande a

$\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}-p_{y}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}-p_{z}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left(p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}-p_{z}{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}-p_{x}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}+p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}-p_{x}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}-p_{y}{\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}.$

Evaluando $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q}$ en la dirección "x" $\left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} \right]_{x}=\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}-p_{y}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}-p_{z}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x},$

Cancelando los terminos $\left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} \right]_{x}=\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}.$

Se obtienen resultados análogos en las otras direcciones, de modo que

$\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}.$

que se puede escribir en forma vectorial como $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\mathbf {P} \cdot {\frac {\partial \mathbf {Q} }{\partial x}}+\mathbf {P} \cdot {\frac {\partial \mathbf {Q} }{\partial y}}+\mathbf {P} \cdot {\frac {\partial \mathbf {Q} }{\partial z}}.$ Sin embargo, los términos se pueden reorganizar como

$\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}\right)+\left(p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}\right)+\left(p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}\right),$

y por lo tanto $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{x}\nabla q_{x}+p_{y}\nabla q_{y}+p_{z}\nabla q_{z}\right).$ Un procedimiento equivalente para $\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P}$ da como resultado $\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} =q_{x}\nabla p_{x}+q_{y}\nabla p_{y}+q_{z}\nabla p_{z}.$

Caso escalar

Si tomamos vectores de un componente, por ejemplo, $\mathbf {P} \rightarrow p_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x},\mathbf {Q} \rightarrow q_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}$,la relación vectorial ([eq:vec green]) se transforma $p_{x}\nabla ^{2}q_{x}-q_{x}\nabla ^{2}p_{x}=\nabla \cdot \left[p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}-q_{x}{\frac {\partial p_{x}}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].$ Since $\nabla \times \mathbf {Q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}-{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}$,

$\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}$

Y $\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} =\left(q_{x}{\frac {\partial p_{x}}{\partial y}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(q_{x}{\frac {\partial p_{x}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}$. Entonces $p_{x}\nabla ^{2}q_{x}-q_{x}\nabla ^{2}p_{x}=\nabla \cdot \left[p_{x}\nabla q_{x}-q_{x}\nabla p_{x}\right],$ recuperamos la segunda identidad de Green para las funciones $p_{x},\,q_{x}$.

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