Revisión actual - 05:03 5 oct 2023

La siguiente pagina, es una traducción de la pagina "Green's vector identity"

La segunda derivada de dos funciones vectoriales, esta relacionada con la divergencia de las funciones vectoriales con los operadores de primer orden, es decir:

\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].

Ver también wikipedia: Green's vector identity

Introducción^[1]

La segunda identidad de Green establece una relación entre las derivadas de segundo y (la divergencia de) primer orden de dos funciones escalares

p_{m}\nabla ^{2}q_{m}-q_{m}\nabla ^{2}p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right),

Donde $p_{m}$ y $q_{m}$ son dos campos escalares arbitrarios. Esta identidad es de gran importancia en física porque así se pueden establecer ecuaciones de continuidad para campos escalares como la masa o la energía. ^[2].

Aunque la segunda identidad de Green siempre se presenta en el análisis vectorial, solo se encuentra una versión escalar en los libros de texto. Incluso en la literatura especializada, no es fácil encontrar una versión vectorial. En la teoría de la difracción vectorial, se introducen dos versiones de la segunda identidad de Green. Una variante invoca la divergencia de un producto cruz ^[3]^[4]^[5] y establece una relación en términos del rotacional-rotacional de un campo

$\mathbf {P} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} -\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)$ . Esta ecuación puede ser escrita en términos del Laplaciano como:

$\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} +\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \left(\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right).$

Sin embargo, los términos $\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]$ , no podía escribirse fácilmente en términos de una divergencia. El otro enfoque introduce bi-vectores, esta formulación requiere una función de Green diádica ^[6]^[7].

Divergencia de dos campos vectoriales

Considere que los campos escalares en la segunda identidad de Green son los componentes cartesianos de los campos vectoriales, es decir $\mathbf {P} =\sum \limits _{m}p_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}$ and $\mathbf {Q} =\sum \limits _{m}q_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}$ . Sumando la ecuación para cada componente, obtenemos:

\sum \limits _{m}\left[p_{m}\nabla ^{2}q_{m}-q_{m}\nabla ^{2}p_{m}\right]=\sum \limits _{m}\left[\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)\right].

El lado izquierdo, de acuerdo con la definición de producto punto, puede ser escrito de forma vectorial como:

\sum \limits _{m}\left[p_{m}\nabla ^{2}q_{m}-q_{m}\nabla ^{2}p_{m}\right]=\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} .

El lado derecho es un poco más difícil de expresar en términos de operadores vectoriales. Debido a la distributividad del operador de divergencia sobre la suma, la suma de la divergencia es igual a la divergencia de la suma, es decir $\sum \limits _{m}\left[\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)\right]=\nabla \cdot \left(\sum \limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum \limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right)$ . Recordar que la identidad vectorial para el gradiente de un producto escalar $\nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P}$ ,la cual, escrita en componentes vectoriales viene dada por $\nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\nabla \sum \limits _{m}p_{m}q_{m}=\sum \limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum \limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}.$ Este resultado es similar a lo que deseamos evidenciar en términos vectoriales 'excepto' por el signo menos. Dado que los operadores diferenciales en cada término actúan sobre un vector (es decir $p_{m}$ ’s) o el otro ( $q_{m}$ ’s) , la contribución a cada término debe ser

\sum \limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} ,

\sum \limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} .

Se puede demostrar rigurosamente que estos resultados son correctos mediante evaluación de los componentes del vector. Por lo tanto, el lado derecho se puede escribir en forma vectorial como

\sum \limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum \limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} .

Juntando estos dos resultados, se obtiene un teorema para campos vectoriales análogo al teorema de Green para campos escalares

\color {green}{\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}

De manera tranquilizadora, a partir de la relación vectorial podemos volver al caso escalar como se muestra en el limite escalar limite escalar . El rotacional de un producto vectorial se puede escribir como $\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)$ ; La identidad vectorial de Green se puede reescribir como

\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].

Dado que la divergencia de un rotacional es cero, el tercer término desaparece y la "identidad vectorial de Green" es

\color {green}{\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}

Con un procedimiento similar, el Laplaciano del producto escalar se puede expresar en términos de los Laplacianos de los factores

\nabla ^{2}\left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\mathbf {P} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].

Corolario

Como corolario, los términos incómodos en el introduction ahora se puede escribir en términos de una divergencia en comparación con la ecuación de Green vectorial

Introducción Identidad vectorial de Green Identidad_vectorial_de_Green#Introducción Identidad vectorial de Green#Introduccion

Identidad vectorial de Green#Introducción

$\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]-\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].$

Este resultado se puede verificar expandiendo la divergencia de un escalar por un vector en el lado derecho.

Derivación por componentes

En orden de evaluar $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q}$ considere el primer término en componentes cartesianos tridimensionales $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} =\left(p_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\left(q_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+q_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+q_{z}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}\right)$ que puede escribirse como $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} =\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}.$

El rotacional en el segundo término es $^{R}\mathbf {Q} =\nabla \times \mathbf {Q} =\left({\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left({\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}.$ el producto cruz es $\mathbf {P} \times {}^{R}\mathbf {Q} =\left(p_{y}{}^{R}q_{z}-p_{z}{}^{R}q_{y}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left(p_{z}{}^{R}q_{x}-p_{x}{}^{R}q_{z}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}{}^{R}q_{y}-p_{y}{}^{R}q_{x}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z};$ El segundo término es entonces

$\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{y}\left({\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}\right)-p_{z}\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right)\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left(p_{z}\left({\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}\right)-p_{x}\left({\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}\right)\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right)-p_{y}\left({\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}\right)\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}$

que se expande a

$\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}-p_{y}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}-p_{z}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left(p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}-p_{z}{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}-p_{x}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}+p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}-p_{x}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}-p_{y}{\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}.$

Evaluando $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q}$ en la dirección "x" $\left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} \right]_{x}=\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}-p_{y}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}-p_{z}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x},$

Cancelando los terminos $\left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} \right]_{x}=\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}.$

Se obtienen resultados análogos en las otras direcciones, de modo que

$\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}.$

que se puede escribir en forma vectorial como $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\mathbf {P} \cdot {\frac {\partial \mathbf {Q} }{\partial x}}+\mathbf {P} \cdot {\frac {\partial \mathbf {Q} }{\partial y}}+\mathbf {P} \cdot {\frac {\partial \mathbf {Q} }{\partial z}}.$ Sin embargo, los términos se pueden reorganizar como

$\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}\right)+\left(p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+p_{y}{\frac {\partial q_{y}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}\right)+\left(p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+p_{z}{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}\right),$

y por lo tanto $\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{x}\nabla q_{x}+p_{y}\nabla q_{y}+p_{z}\nabla q_{z}\right).$ Un procedimiento equivalente para $\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P}$ da como resultado $\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} =q_{x}\nabla p_{x}+q_{y}\nabla p_{y}+q_{z}\nabla p_{z}.$

Caso escalar

Si tomamos vectores de un componente, por ejemplo, $\mathbf {P} \rightarrow p_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x},\mathbf {Q} \rightarrow q_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}$ ,la relación vectorial ([eq:vec green]) se transforma $p_{x}\nabla ^{2}q_{x}-q_{x}\nabla ^{2}p_{x}=\nabla \cdot \left[p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}-q_{x}{\frac {\partial p_{x}}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].$ Since $\nabla \times \mathbf {Q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}-{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}$ ,

$\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} =\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial y}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(p_{x}{\frac {\partial q_{x}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}$

Y $\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} =\left(q_{x}{\frac {\partial p_{x}}{\partial y}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{y}+\left(q_{x}{\frac {\partial p_{x}}{\partial z}}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{z}$ . Entonces $p_{x}\nabla ^{2}q_{x}-q_{x}\nabla ^{2}p_{x}=\nabla \cdot \left[p_{x}\nabla q_{x}-q_{x}\nabla p_{x}\right],$ recuperamos la segunda identidad de Green para las funciones $p_{x},\,q_{x}$ .

↑ M. Fernández-Guasti. Green's second identity for vector fields. ISRN Mathematical Physics, 2012:7, 2012. Article ID: 973968. [1]
↑ M. Fernández-Guasti. Complementary fields conservation equation derived from the scalar wave equation. J. Phys. A: Math. Gen., 37:4107–4121, 2004.
↑ A. E. H. Love. The Integration of the Equations of Propagation of Electric Waves. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, 197:pp. 1–45, 1901.
↑ J. A. Stratton and L. J. Chu. Diffraction Theory of Electromagnetic Waves. Phys. Rev., 56(1):99–107, Jul 1939.
↑ N. C. Bruce. Double scatter vector-wave Kirchhoff scattering from perfectly conducting surfaces with infinite slopes. Journal of Optics, 12(8):085701, 2010.
↑ W. Franz, On the Theory of Diffraction. Proceedings of the Physical Society. Section A, 63(9):925, 1950.
↑ Chen-To Tai. Kirchhoff theory: Scalar, vector, or dyadic? Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 20(1):114–115, jan 1972.

[1] M. Fernández-Guasti. Green's second identity for vector fields. ISRN Mathematical Physics, 2012:7, 2012. Article ID: 973968. [1]

[2] M. Fernández-Guasti. Complementary fields conservation equation derived from the scalar wave equation. J. Phys. A: Math. Gen., 37:4107–4121, 2004.

[3] A. E. H. Love. The Integration of the Equations of Propagation of Electric Waves. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, 197:pp. 1–45, 1901.

[4] J. A. Stratton and L. J. Chu. Diffraction Theory of Electromagnetic Waves. Phys. Rev., 56(1):99–107, Jul 1939.

[5] N. C. Bruce. Double scatter vector-wave Kirchhoff scattering from perfectly conducting surfaces with infinite slopes. Journal of Optics, 12(8):085701, 2010.

[6] W. Franz, On the Theory of Diffraction. Proceedings of the Physical Society. Section A, 63(9):925, 1950.

[7] Chen-To Tai. Kirchhoff theory: Scalar, vector, or dyadic? Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, 20(1):114–115, jan 1972.

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-La siguiente pagina, es una traducción de la pagina anterior, "Green's vector identity"
+La siguiente pagina, es una traducción de la pagina "Green's vector identity"
 La segunda derivada de dos funciones vectoriales, esta relacionada con la divergencia de las funciones vectoriales con los operadores de primer orden, es decir:
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 Ver también [http://en.wikipedia.org/wiki/Green%27s_identities#Green.27s_vector_identity wikipedia: Green's vector identity]
-= Introduction <ref> M. Fernández-Guasti. Green's second identity for vector fields. ISRN Mathematical Physics, 2012:7, 2012. Article ID: 973968. [http://dx.doi.org/10.5402/2012/973968]</ref>=
+=Introducción<ref> M. Fernández-Guasti. Green's second identity for vector fields. ISRN Mathematical Physics, 2012:7, 2012. Article ID: 973968. [http://dx.doi.org/10.5402/2012/973968]</ref>=
+La segunda identidad de Green establece una relación entre las derivadas de segundo y (la divergencia de) primer orden de dos funciones escalares
-Green’s second identity establishes a relationship between second and (the divergence of) first order derivatives of two scalar functions
 <center><math>p_{m}\nabla^{2}q_{m}-q_{m}\nabla^{2}p_{m}=\nabla\cdot\left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right),</math></center>
-where <math>p_{m}</math> and <math>q_{m}</math> are two arbitrary scalar fields. This identity is of great importance in physics because continuity equations can thus be established for scalar fields such as mass or energy <ref>M. Fernández-Guasti. Complementary fields conservation equation derived from the scalar wave equation. ''J. Phys. A: Math. Gen.'', 37:4107–4121, 2004.</ref>.
-Although the second Green’s identity is always presented in vector analysis, only a scalar version is found on textbooks. Even in the specialized literature, a vector version is not easily found. In vector diffraction theory, two versions of Green’s second identity are introduced. One variant invokes the divergence of a cross product <ref>A. E. H. Love. The Integration of the Equations of Propagation of Electric Waves. ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character'', 197:pp. 1–45, 1901.</ref><ref>J. A. Stratton and L. J. Chu. Diffraction Theory of Electromagnetic Waves. ''Phys. Rev.'', 56(1):99–107, Jul 1939.</ref><ref>N. C. Bruce. Double scatter vector-wave Kirchhoff scattering from perfectly conducting surfaces with infinite slopes. ''Journal of Optics'', 12(8):085701, 2010.</ref>and states a relationship in terms of the curl-curl of the field <math>\mathbf{P}\cdot\left(\nabla\times\nabla\times\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q}\cdot\left(\nabla\times\nabla\times\mathbf{P}\right)=\nabla\cdot\left(\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}-\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}\right)</math>. This equation can be written in terms of the Laplacians:
+Donde <math>p_{m}</math> y <math>q_{m}</math> son dos campos escalares arbitrarios. Esta identidad es de gran importancia en física porque así se pueden establecer ecuaciones de continuidad para campos escalares como la masa o la energía. <ref>M. Fernández-Guasti. Complementary fields conservation equation derived from the scalar wave equation. ''J. Phys. A: Math. Gen.'', 37:4107–4121, 2004.</ref>.
+Aunque la segunda identidad de Green siempre se presenta en el análisis vectorial, solo se encuentra una versión escalar en los libros de texto. Incluso en la literatura especializada, no es fácil encontrar una versión vectorial. En la teoría de la difracción vectorial, se introducen dos versiones de la segunda identidad de Green. Una variante invoca la divergencia de un producto cruz <ref>A. E. H. Love. The Integration of the Equations of Propagation of Electric Waves. ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character'', 197:pp. 1–45, 1901.</ref><ref>J. A. Stratton and L. J. Chu. Diffraction Theory of Electromagnetic Waves. ''Phys. Rev.'', 56(1):99–107, Jul 1939.</ref><ref>N. C. Bruce. Double scatter vector-wave Kirchhoff scattering from perfectly conducting surfaces with infinite slopes. ''Journal of Optics'', 12(8):085701, 2010.</ref> y establece una relación en términos del rotacional-rotacional de un campo
+<math>\mathbf{P}\cdot\left(\nabla\times\nabla\times\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q}\cdot\left(\nabla\times\nabla\times\mathbf{P}\right)=\nabla\cdot\left(\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}-\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}\right)</math>. Esta ecuación puede ser escrita en términos del Laplaciano como:
 <math>\mathbf{P}\cdot\nabla^{2}\mathbf{Q}-\mathbf{Q}\cdot\nabla^{2}\mathbf{P}+\mathbf{Q}\cdot\left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right)\right]-\mathbf{P}\cdot\left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)\right]=\nabla\cdot\left(\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}-\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}\right).</math>
-However, the terms <math>\mathbf{Q}\cdot\left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right)\right]-\mathbf{P}\cdot\left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)\right]</math>, could not be readily written in terms of a divergence. The other approach introduces bi-vectors, this formulation requires a dyadic Green function <ref>W. Franz, On the Theory of Diffraction. ''Proceedings of the Physical Society. Section A'', 63(9):925, 1950.</ref><ref>Chen-To Tai. Kirchhoff theory: Scalar, vector, or dyadic? ''Antennas and Propagation, IEEE Transactions on'', 20(1):114–115, jan 1972.</ref>.
+Sin embargo, los términos <math>\mathbf{Q}\cdot\left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right)\right]-\mathbf{P}\cdot\left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)\right]</math>, no podía escribirse fácilmente en términos de una divergencia. El otro enfoque introduce bi-vectores, esta formulación requiere una función de Green diádica <ref>W. Franz, On the Theory of Diffraction. ''Proceedings of the Physical Society. Section A'', 63(9):925, 1950.</ref><ref>Chen-To Tai. Kirchhoff theory: Scalar, vector, or dyadic? ''Antennas and Propagation, IEEE Transactions on'', 20(1):114–115, jan 1972.</ref>.
+= Divergencia de dos campos vectoriales =
+Considere que los campos escalares en la segunda identidad de Green son los componentes cartesianos de los campos vectoriales, es decir <math>\mathbf{P}=\sum\limits _{m}p_{m}\hat{\mathbf{e}}_{m}</math> and <math>\mathbf{Q}=\sum\limits _{m}q_{m}\hat{\mathbf{e}}_{m}</math>. Sumando la ecuación para cada componente, obtenemos:
-= Divergence of two vector fields =
-Consider that the scalar fields in Green's second identity are the Cartesian components of vector fields, i.e. <math>\mathbf{P}=\sum\limits _{m}p_{m}\hat{\mathbf{e}}_{m}</math> and <math>\mathbf{Q}=\sum\limits _{m}q_{m}\hat{\mathbf{e}}_{m}</math>. Summing up the equation for each component, we obtain
 <center><math>\sum\limits _{m}\left[p_{m}\nabla^{2}q_{m}-q_{m}\nabla^{2}p_{m}\right]=\sum\limits _{m}\left[\nabla\cdot\left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)\right].</math></center>
-The LHS according to the definition of the dot product may be written in vector form as
+El lado izquierdo, de acuerdo con la definición de producto punto, puede ser escrito de forma vectorial como:
 <center><math>\sum\limits _{m}\left[p_{m}\nabla^{2}q_{m}-q_{m}\nabla^{2}p_{m}\right]=\mathbf{P}\cdot\nabla^{2}\mathbf{Q}-\mathbf{Q}\cdot\nabla^{2}\mathbf{P}.</math></center>
-The RHS is a bit more awkward to express in terms of vector operators. Due to the distributivity of the divergence operator over addition, the sum of the divergence is equal to the divergence of the sum, i.e. <math>\sum\limits _{m}\left[\nabla\cdot\left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)\right]=\nabla\cdot\left(\sum\limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum\limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right)</math>. Recall the vector identity for the gradient of a dot product
-<math>\nabla\left(\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}\right)=\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}+\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}</math>,
+El lado derecho es un poco más difícil de expresar en términos de operadores vectoriales. Debido a la distributividad del operador de divergencia sobre la suma, la suma de la divergencia es igual a la divergencia de la suma, es decir <math>\sum\limits _{m}\left[\nabla\cdot\left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)\right]=\nabla\cdot\left(\sum\limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum\limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right)</math>. Recordar que la identidad vectorial para el gradiente de un producto escalar
-which, written out in vector components is given by <math>\nabla\left(\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}\right)=\nabla\sum\limits _{m}p_{m}q_{m}=\sum\limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum\limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}.</math> This result is similar to what we wish to evince in vector terms ’except’ for the minus sign. Since the differential operators in each term act either over one vector (say <math>p_{m}</math>’s) or the other (<math>q_{m}</math>’s) , the contribution to each term must be
+<math>\nabla\left(\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}\right)=\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}+\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}</math>,la cual, escrita en componentes vectoriales viene dada por <math>\nabla\left(\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}\right)=\nabla\sum\limits _{m}p_{m}q_{m}=\sum\limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum\limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}.</math> Este resultado es similar a lo que deseamos evidenciar en términos vectoriales 'excepto' por el signo menos. Dado que los operadores diferenciales en cada término actúan sobre un vector (es decir <math>p_{m}</math>’s) o el otro (<math>q_{m}</math>’s) , la contribución a cada término debe ser
 <center><math>
 \sum\limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}  =  \left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q},</math></center>
 <center><math>\sum\limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}  =  \left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}+\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}.</math></center>
-These results can be rigorously proven to be correct through [[Green's_vector_identity#derivation_by_components|evaluation of the vector components]]. Therefore, the RHS can be written in vector form as
+Se puede demostrar rigurosamente que estos resultados son correctos mediante [[Green's_vector_identity#derivation_by_components|evaluación de los componentes del vector]]. Por lo tanto, el lado derecho se puede escribir en forma vectorial como
 <center><math>\sum\limits _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum\limits _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}-\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}-\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}.</math></center>
-Putting together these two results, a '''theorem for vector fields''' analogous to Green’s theorem for scalar fields is obtained
+Juntando estos dos resultados, se obtiene un '''teorema para campos vectoriales''' análogo al teorema de Green para campos escalares
 <center><math>\color{green}{
@@ Línea 40: / Línea 48: @@
-Reassuringly, from the vector relationship we can go back to the scalar case as shown in the [[Green's_vector_identity#scalar_case|scalar limit]]. The curl of a cross product can be written as <math>\nabla\times\left(\mathbf{P}\times\mathbf{Q}\right)=\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}-\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q}\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right)</math>; Green’s vector identity can then be rewritten as
+De manera tranquilizadora, a partir de la relación vectorial podemos volver al caso escalar como se muestra en el limite escalar [[Green's_vector_identity#scalar_case|limite escalar ]]. El rotacional de un producto vectorial se puede escribir como <math>\nabla\times\left(\mathbf{P}\times\mathbf{Q}\right)=\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}-\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q}\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right)</math>; La identidad vectorial de Green se puede reescribir como
 <center><math>\mathbf{P}\cdot\nabla^{2}\mathbf{Q}-\mathbf{Q}\cdot\nabla^{2}\mathbf{P}=
 \nabla\cdot\left[\mathbf{P}\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q}\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right)-\nabla\times\left(\mathbf{P}\times\mathbf{Q}\right)+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}-\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}\right].</math></center>
+Dado que la divergencia de un rotacional es cero, el tercer término desaparece y la "identidad vectorial de Green" es
-Since the divergence of a curl is zero, the third term vanishes and ''Green’s vector identity'' is
@@ Línea 51: / Línea 58: @@
-With a similar porcedure, the Laplacian of the dot product can be expressed in terms of the Laplacians of the factors
+Con un procedimiento similar, el Laplaciano del producto escalar se puede expresar en términos de los Laplacianos de los factores
 <center><math>\nabla^{2}\left(\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}\right)=\mathbf{P}\cdot\nabla^{2}\mathbf{Q}-\mathbf{Q}\cdot\nabla^{2}\mathbf{P}+2\nabla\cdot\left[\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}+\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}\right].</math></center>
-== corollary ==
+== Corolario ==
+Como corolario, los términos incómodos en el [[Green's_vector_identity#Introduction|introduction]] ahora se puede escribir en términos de una divergencia en comparación con la ecuación de Green vectorial
+[[Identidad_vectorial_de_Green#Introducción|Introducción]]
+[[Identidad vectorial de Green]]
+[[Identidad_vectorial_de_Green#Introducci%C3%B3n]]
+[[Identidad vectorial de Green#Introduccion]]
+[[Identidad vectorial de Green#Introducci%C3%B3n]]
-As a corollary, the awkward terms in the [[Green's_vector_identity#Introduction|introduction]] can now be written in terms of a divergence by comparison with the vector Green equation
 <math>\mathbf{P}\cdot\left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)\right]-\mathbf{Q}\cdot\left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right)\right]=\nabla\cdot\left[\mathbf{P}\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q}\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right)\right].</math>
-This result can be verified by expanding the divergence of a scalar times a vector on the RHS.
+Este resultado se puede verificar expandiendo la divergencia de un escalar por un vector en el lado derecho.
-= derivation by components =
-In order to evaluate <math>\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}</math> consider the first term in three dimensional Cartesian components <math>\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}=\left(p_{x}\frac{\partial}{\partial x}+p_{y}\frac{\partial}{\partial y}+p_{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\left(q_{x}\hat{\mathbf{e}}_{x}+q_{y}\hat{\mathbf{e}}_{y}+q_{z}\hat{\mathbf{e}}_{z}\right)</math> that may be written as
+= Derivación por componentes =
+En orden de evaluar <math>\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}</math> considere el primer término en componentes cartesianos tridimensionales <math>\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}=\left(p_{x}\frac{\partial}{\partial x}+p_{y}\frac{\partial}{\partial y}+p_{z}\frac{\partial}{\partial z}\right)\left(q_{x}\hat{\mathbf{e}}_{x}+q_{y}\hat{\mathbf{e}}_{y}+q_{z}\hat{\mathbf{e}}_{z}\right)</math> que puede escribirse como
 <math>
 \left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}  =  \left(p_{x}\frac{\partial q_{x}}{\partial x}+p_{y}\frac{\partial q_{x}}{\partial y}+p_{z}\frac{\partial q_{x}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{x}
@@ Línea 72: / Línea 86: @@
    +  \left(p_{x}\frac{\partial q_{z}}{\partial x}+p_{y}\frac{\partial q_{z}}{\partial y}+p_{z}\frac{\partial q_{z}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{z}.</math>
-The curl in the second term is <math>^{R}\mathbf{Q}=\nabla\times\mathbf{Q}=\left(\frac{\partial q_{z}}{\partial y}-\frac{\partial q_{y}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{x}+\left(\frac{\partial q_{x}}{\partial z}-\frac{\partial q_{z}}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{e}}_{y}+\left(\frac{\partial q_{y}}{\partial x}-\frac{\partial q_{x}}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{e}}_{z}.</math> The cross product is <math>\mathbf{P}\times{}^{R}\mathbf{Q}=\left(p_{y}{}^{R}q_{z}-p_{z}{}^{R}q_{y}\right)\hat{\mathbf{e}}_{x}+\left(p_{z}{}^{R}q_{x}-p_{x}{}^{R}q_{z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{y}+\left(p_{x}{}^{R}q_{y}-p_{y}{}^{R}q_{x}\right)\hat{\mathbf{e}}_{z};</math> The second term is then
+El rotacional en el segundo término es <math>^{R}\mathbf{Q}=\nabla\times\mathbf{Q}=\left(\frac{\partial q_{z}}{\partial y}-\frac{\partial q_{y}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{x}+\left(\frac{\partial q_{x}}{\partial z}-\frac{\partial q_{z}}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{e}}_{y}+\left(\frac{\partial q_{y}}{\partial x}-\frac{\partial q_{x}}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{e}}_{z}.</math> el producto cruz es <math>\mathbf{P}\times{}^{R}\mathbf{Q}=\left(p_{y}{}^{R}q_{z}-p_{z}{}^{R}q_{y}\right)\hat{\mathbf{e}}_{x}+\left(p_{z}{}^{R}q_{x}-p_{x}{}^{R}q_{z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{y}+\left(p_{x}{}^{R}q_{y}-p_{y}{}^{R}q_{x}\right)\hat{\mathbf{e}}_{z};</math> El segundo término es entonces
 <math>
@@ Línea 79: / Línea 93: @@
    +  \left(p_{x}\left(\frac{\partial q_{x}}{\partial z}-\frac{\partial q_{z}}{\partial x}\right)-p_{y}\left(\frac{\partial q_{z}}{\partial y}-\frac{\partial q_{y}}{\partial z}\right)\right)\hat{\mathbf{e}}_{z}</math>
-that expands to
+que se expande a
 <math>
@@ Línea 86: / Línea 100: @@
    +  \left(p_{x}\frac{\partial q_{x}}{\partial z}-p_{x}\frac{\partial q_{z}}{\partial x}-p_{y}\frac{\partial q_{z}}{\partial y}+p_{y}\frac{\partial q_{y}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{z}.</math>
-Evaluate <math>\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}</math> in the ''x'' direction
+Evaluando <math>\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}</math> en la dirección "x"
 <math>
 \left[\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}\right]_{x}=
 \left(p_{x}\frac{\partial q_{x}}{\partial x}+p_{y}\frac{\partial q_{x}}{\partial y}+p_{z}\frac{\partial q_{x}}{\partial z}+p_{y}\frac{\partial q_{y}}{\partial x}-p_{y}\frac{\partial q_{x}}{\partial y}-p_{z}\frac{\partial q_{x}}{\partial z}+p_{z}\frac{\partial q_{z}}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{e}}_{x},</math>
-canceling out terms <math>\left[\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}\right]_{x}=\left(p_{x}\frac{\partial q_{x}}{\partial x}+p_{y}\frac{\partial q_{y}}{\partial x}+p_{z}\frac{\partial q_{z}}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{e}}_{x}.</math>
+Cancelando los terminos <math>\left[\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}\right]_{x}=\left(p_{x}\frac{\partial q_{x}}{\partial x}+p_{y}\frac{\partial q_{y}}{\partial x}+p_{z}\frac{\partial q_{z}}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{e}}_{x}.</math>
-Analogous results are obtained in the other directions so that
+Se obtienen resultados análogos en las otras direcciones, de modo que
 <math>
@@ Línea 101: / Línea 114: @@
    +  \left(p_{x}\frac{\partial q_{x}}{\partial z}+p_{y}\frac{\partial q_{y}}{\partial z}+p_{z}\frac{\partial q_{z}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{z}.</math>
-that may be written out in vector form as <math>\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}=\mathbf{P}\cdot\frac{\partial\mathbf{Q}}{\partial x}+\mathbf{P}\cdot\frac{\partial\mathbf{Q}}{\partial y}+\mathbf{P}\cdot\frac{\partial\mathbf{Q}}{\partial z}.</math> However, the terms can be rearranged as
+que se puede escribir en forma vectorial como <math>\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}=\mathbf{P}\cdot\frac{\partial\mathbf{Q}}{\partial x}+\mathbf{P}\cdot\frac{\partial\mathbf{Q}}{\partial y}+\mathbf{P}\cdot\frac{\partial\mathbf{Q}}{\partial z}.</math> Sin embargo, los términos se pueden reorganizar como
 <math>
@@ Línea 108: / Línea 121: @@
    +  \left(p_{z}\frac{\partial q_{z}}{\partial x}\hat{\mathbf{e}}_{x}+p_{z}\frac{\partial q_{z}}{\partial y}\hat{\mathbf{e}}_{y}+p_{z}\frac{\partial q_{z}}{\partial z}\hat{\mathbf{e}}_{z}\right),</math>
-and thus <math>\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}=\left(p_{x}\nabla q_{x}+p_{y}\nabla q_{y}+p_{z}\nabla q_{z}\right).</math> An equivalent procedure for <math>\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}+\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}</math> gives <math>\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}+\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}=q_{x}\nabla p_{x}+q_{y}\nabla p_{y}+q_{z}\nabla p_{z}.</math>
+y por lo tanto <math>\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}=\left(p_{x}\nabla q_{x}+p_{y}\nabla q_{y}+p_{z}\nabla q_{z}\right).</math> Un procedimiento equivalente para <math>\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}+\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}</math> da como resultado <math>\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}+\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}=q_{x}\nabla p_{x}+q_{y}\nabla p_{y}+q_{z}\nabla p_{z}.</math>
-== scalar case ==
+== Caso escalar ==
-If we take one component vectors, for example, <math>\mathbf{P}\rightarrow p_{x}\hat{\mathbf{e}}_{x},\mathbf{Q}\rightarrow q_{x}\hat{\mathbf{e}}_{x}</math>, the vector relationship ([eq:vec green]) becomes <math>p_{x}\nabla^{2}q_{x}-q_{x}\nabla^{2}p_{x}=\nabla\cdot\left[p_{x}\frac{\partial q_{x}}{\partial x}\hat{\mathbf{e}}_{x}-q_{x}\frac{\partial p_{x}}{\partial x}\hat{\mathbf{e}}_{x}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}-\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}\right].</math> Since <math>\nabla\times\mathbf{Q}=\frac{\partial q_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{e}}_{y}-\frac{\partial q_{x}}{\partial y}\hat{\mathbf{e}}_{z}</math>,
+Si tomamos vectores de un componente, por ejemplo, <math>\mathbf{P}\rightarrow p_{x}\hat{\mathbf{e}}_{x},\mathbf{Q}\rightarrow q_{x}\hat{\mathbf{e}}_{x}</math>,la relación vectorial ([eq:vec green]) se transforma <math>p_{x}\nabla^{2}q_{x}-q_{x}\nabla^{2}p_{x}=\nabla\cdot\left[p_{x}\frac{\partial q_{x}}{\partial x}\hat{\mathbf{e}}_{x}-q_{x}\frac{\partial p_{x}}{\partial x}\hat{\mathbf{e}}_{x}+\mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q}-\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}\right].</math> Since <math>\nabla\times\mathbf{Q}=\frac{\partial q_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{e}}_{y}-\frac{\partial q_{x}}{\partial y}\hat{\mathbf{e}}_{z}</math>,
 <math>
 \mathbf{P}\times\nabla\times\mathbf{Q} = \left(p_{x}\frac{\partial q_{x}}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{e}}_{y}+\left(p_{x}\frac{\partial q_{x}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{z}</math>
-and <math>\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}=\left(q_{x}\frac{\partial p_{x}}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{e}}_{y}+\left(q_{x}\frac{\partial p_{x}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{z}</math>. Therefore <math>p_{x}\nabla^{2}q_{x}-q_{x}\nabla^{2}p_{x}=\nabla\cdot\left[p_{x}\nabla q_{x}-q_{x}\nabla p_{x}\right],</math> we recover Green’s second identity for the functions <math>p_{x},\, q_{x}</math>.
+Y <math>\mathbf{Q}\times\nabla\times\mathbf{P}=\left(q_{x}\frac{\partial p_{x}}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{e}}_{y}+\left(q_{x}\frac{\partial p_{x}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{e}}_{z}</math>. Entonces <math>p_{x}\nabla^{2}q_{x}-q_{x}\nabla^{2}p_{x}=\nabla\cdot\left[p_{x}\nabla q_{x}-q_{x}\nabla p_{x}\right],</math> recuperamos la segunda identidad de Green para las funciones <math>p_{x},\, q_{x}</math>.
 ----
 <references />
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