El arco iris

El ARCO IRIS es la exhibición mas espectacular del espectro de la luz blanca en la naturaleza. Las condiciones requeridas para la aparición de este fenómeno, son que el Sol esté brillando en alguna parte del cielo y la lluvia esté cayendo en la parte opuesta. Dando uno la espalda al Sol, se pueden ver arcos de círculos, el arco iris primario brillante, y, a veces, el arco iris secundario, más débil, con los colores invertidos. Vistos desde alguna altura conveniente o desde un avión, estos arcos pueden formar círculos completos, cuyo centro común esta situado es la dirección de la sombra del observador. La teoría elemental del arco iris fue dada primero por Antonius de Demini en el año de 1611 y, posteriormente, desarrollado con mayor exactitud por Descartes. Las características generales de los arcos primario y secundario son explicadas satisfactoriamente al considerar solo la reflexión y la refracción de la luz por una gota esférica de lluvia. Para comprender como se produce el fenómeno, concentremos primero nuestra atención en una sola gota de lluvia. Se muestra un rayo de luz solar entrando entrando en una gota de lluvia por un punto A, cerca de su parte superior. En este punto, algo de luz se refleja, y el resto se refracta dentro de la esfera liquida. En esta primera refracción la luz se dispersa en sus colores espectrales, el color violeta es el que se desvía más, y el rojo el que se desvía menos. Llegando al lado opuesto de la gota, cada color es parcialmente refractado hacia afuera (dentro del aire), y en parte reflejado hacia atrás (dentro del liquido). Alcanzando la superficie en el límite inferior, cada uno de los colores es otra vez reflejado y refractado. Esta segunda refracción es muy similar a la de un prisma, en donde la refracción en la segunda superficie aumenta la dispersión ya producida en la primera. Ésta es la trayectoria de la luz en las miles de gotas que producen el brillante arco iris.

Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138º.

Ángulo de salida del arco iris primario

Sea la circunferencia la proyección en dos dimensiones de una esfera de radio r centrada en O.

La dirección del rayo es representada por la recta $y=-b$. Sin embargo, como b es un parámetro que tomará los valores entre 0 y r, expresaré la recta como $y=-\alpha r$, siendo $\alpha$ un número entre 0 y 1.

La descripción algebraica de la circunferencia es $x^{2}+y^{2}=r^{2}$.

De ambas se deduce que el punto A de incidencia del rayo con la circunferencia es $A(-r{\sqrt {1-\alpha ^{2}}},-\alpha r)$.

La recta que pasa por O y A sería: $y={{\alpha } \over {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}x$.

El vector normal interior a la superficie es: ${\vec {N}}=({\sqrt {1-\alpha ^{2}}},\alpha )$

Haciendo el producto vectorial de un vector unitario en la dirección del eje OX, ${{\vec {u}}_{x}}$, y el vector normal obtengo: $|{{\vec {u}}_{x}}||{\vec {N}}|\sin {\gamma }=|{{\vec {u}}_{x}}x{\vec {N}}|$

luego de aquí se deduce que: $\gamma =\arcsin(\alpha )$

Si aplico la ley de Snell: $n\ \sin \gamma =n'\ \sin \gamma '$ ; $\gamma '=\arcsin({3 \over 4}\alpha )$ siendo n=1 y n' = 4/3.

El ángulo que forma respecto de la horizontal es: $\delta =\gamma -\gamma '=\arcsin(\alpha )-\arcsin({3 \over 4}\alpha )$

Según observamos en la figura, el triángulo AOB es isósceles de lado r, luego el ángulo de reflexión en B es $\gamma '$

El ángulo $\lambda =\pi -2\gamma '+\delta$.

Igualmente en el triángulo OBC, el ángulo del vértice C es $\gamma '$. El ángulo de refracción, por la ley de Snell, vuelve a ser $\gamma$. El ángulo total desviado respecto a la horizontal, puedo calcularlo como:

$\Theta =\lambda -\gamma '+\gamma$ que puede expresarse como: $\Theta =\lambda -\gamma '+\gamma =\pi -2\gamma '+\delta -\gamma '+\gamma =\pi -4\gamma '+2\gamma$.

$\Theta$ es una función de $\alpha$. Puede expresarse como:

$\Theta (\alpha )=\pi -4\arcsin({3 \over 4}\ \alpha )+2\arcsin(\alpha )$

Haciendo la derivada: $\Theta '(\alpha )={-3 \over {\sqrt {1-{9 \over 16}\ \alpha ^{2}}}}+{2 \over {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}$

Igual a cero, para calcular el mínimo, y éste se produce para ${\alpha _{min}}=0.86$. Corresponde a un ángulo:

${\Theta _{min}}=\pi -4\arcsin({3 \over 4}\ 0.86)+2\arcsin(0.86)=137.97^{\circ }$

funciones de theta respecto del parámetro de impacto

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Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º.

Ángulo de salida del arco iris secundario

Nos basamos en la demostración anterior. Se produce una reflexión más. Nuestro objetivo es calcular el ángulo de salida en función de $\alpha$.

El ángulo $\beta$ puede expresarse como (punto C): $\beta =\lambda +\pi -2\gamma '$

De igual forma, el ángulo de salida respecto de la horizontal es:

$\Psi =\beta -\gamma '+\gamma$

$\Psi$ es una función de $\alpha$. Puede expresarse como:

$\Psi (\alpha )=2\pi -6\arcsin({3 \over 4}\ \alpha )+2\arcsin(\alpha )$

Haciendo la derivada: $\Psi '(\alpha )={-18 \over {\sqrt {16-9\alpha ^{2}}}}+{2 \over {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}$

Igual a cero, para calcular el máximo, y éste se produce para ${\alpha _{max}}=0.95$. Corresponde a un ángulo:

${\Psi _{max}}=2\pi -6\arcsin({3 \over 4}\ 0.95)+2\arcsin(0.95)=230.9^{\circ }$

¿Nos hemos equivocado? Bueno, algo sí. Hemos supuesto que la dirección de impacto es la recta $y=-\alpha r$. Si supongo que b<0, entonces $\alpha$ es un número entre -1 y 0. Si supongo que el impacto es por encima de la horizontal, en vez de tomar ${\alpha _{max}}=0.95$ lo tomo como ${\alpha _{max}}=-0.95$ y el ángulo sería ${\Psi _{max}}=2\pi -6\arcsin({3 \over 4}\ \cdot (-0.95))+2\arcsin(-0.95)=489,03^{\circ }=129.02^{\circ }$.

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--Antonio de Jesus Jimenez Lopez 06:00 17 abr 2012 (UTC)