Discusión:Vibraciones y ondas 19-I

Capítulo 1. Problema 1.3

Un sistema idéntico al del problema 1.2 se pone en vibración con la misma amplitud, pero con un avance en la fase de 90 grados. Calcule:

• a)El desplazamiento en t=0
• b)La velocidad del oscilador en t=0
• c)¿En qué tiempo regresará al origen?

A partir de los problemas 1.1 y 1.2 podemos obtener la ecuación que describe a nuestro oscilador

$x(t)=0.057m\,cos(60s^{-1}t+0.515)$ Con la fase en radianes y

$x(t)=0.057m\,cos(60s^{-1}t+29.53)$ Con la fase en grados.

Cambiando la fase a 90°, tenemos

$x(t)=0.057m\,cos(60s^{-1}t+90)$

• a) Para conocer el desplazamiento en t=0, evaluamos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x(0)=0.057m \,cos(60s^{-1}(0s)+90)\\ x(0)=0.057m \,cos(90)\\ x(0)=0 m

Por lo tanto, el desplazamiento en t=0 es de 0 m.

• b) Para conocer la velocidad en t=0 primero derivamos la ecuación:

Error al representar (error de sintaxis): x'(t)= \frac{d}{dx}(0.057m\,cos(60s^{-1}t+90))\\ x'(t)=-3.42\frac{m}{s}\,sen(60s^{-1}t+90)

Ahora, evaluamos con t=0

Error al representar (error de sintaxis): x'(0)=-3.42\frac{m}{s}\,sen(60s^{-1}(0s)+90)\\ x'(0)=-3.42\frac{m}{s}\,sen(90)\\ x'(0)=-3.42\frac{m}{s}

Así, la velocidad del oscilador en t=0 es de -3.42 m/s

• c) Por último, para saber en qué tiempo el oscilador regresará al origen (o posición de equilibrio) debemos considerar que en t=0 se encuentra en dicho lugar, puesto que $cos(90)=0$. La función coseno da 0 para ángulos de 90 y 270 grados, por lo que debemos encontrar un tiempo el cual al evaluarlo en la ecuación nos genere un argumento de 270 grados. Con ésto en mente, planteamos la siguiente ecuación y resolvemos:

Error al representar (error de sintaxis): 60t+90=270\\ 60t=180\\ t=3

Por lo tanto, el oscilador volverá a la posición de equilibrio en 3 segundos.

Capítulo 2. Problema 2.5

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Una unidad de altavoz en miniatura tiene un cono de 80 mm de diámetro montado en un agujero del mismo diámetro en un gabinete cerrado de dimensiones interiores 150 mm X 150 mm X 300 mm. La masa del cono es 5.0 g, y el montaje es tal que la rigidez de la suspensión puede ser despreciada. Estimar la frecuencia de vibración libre del cono.

'Planteamiento:

Debemos considerar el sistema cono-aire como aquel que alrededor de una posición de equilibrio describe un movimiento armónico simple. Pensemos que estas oscilaciones ocurren en la dirección del vector normal al plano en que se encuentra la parte circular el cono de diámetro D, D = 80 mm.

Sea $\psi (t)$${\boldsymbol {e_{n}}}$ el vector de posición en la dirección de ${\boldsymbol {e_{n}}}$. Nuestro origen de coordenadas se encuentra tal como sugiere el esquema 1, de aquí que la posición de equilibrio sea $\psi _{o}={0}$. Las oscilaciones del cono son provocadas por la diferencia de presión que se genera al emitir un sonido; las moléculas de aire cercanas a la fuente del sonido transmiten mecánicamante la onda por choques entre ellas. De la segunda relación Newton tenemos

                                      ${m}$${\ddot {\psi }}={-Adp}$

donde ${A=}$área transversal del cono, y ${dp}$ una variación de presión. Asumimos que el signo es negativo pues es una fuerza restauradora.

Ahora, esta variación de presión es debida a la presencia del aire, si aproximamos al aire como un gas ideal y además pedimos que sea un proceso cuasiestático y adiabático tenemos la siguiente relación

                                            ${PV^{\gamma }={constante}}$

que al tomar su logaritmo y diferenciar obtenemos

${\ln {p}={constante}}$