Discusión:Vibraciones y ondas 19-I

Capítulo 1. Problema 1.3

Un sistema idéntico al del problema 1.2 se pone en vibración con la misma amplitud, pero con un avance en la fase de 90 grados. Calcule:

• a)El desplazamiento en t=0
• b)La velocidad del oscilador en t=0
• c)¿En qué tiempo regresará al origen?

A partir de los problemas 1.1 y 1.2 podemos obtener la ecuación que describe a nuestro oscilador

$x(t)=0.057m\,cos(60s^{-1}t+0.515)$ Con la fase en radianes y

$x(t)=0.057m\,cos(60s^{-1}t+29.53)$ Con la fase en grados.

Cambiando la fase a 90°, tenemos

$x(t)=0.057m\,cos(60s^{-1}t+90)$

• a) Para conocer el desplazamiento en t=0, evaluamos:

$x(0)=0.057m,cos(60s^{-1}(0s)+90)$ $x(0)=0.057m,cos(90)$ $x(0)=0m$

Por lo tanto, el desplazamiento en t=0 es de 0 m.

• b) Para conocer la velocidad en t=0 primero derivamos la ecuación:

$x'(t)={\frac {d}{dx}}(0.057m\,cos(60s^{-1}t+90))$ $x'(t)=-3.42{\frac {m}{s}}\,sen(60s^{-1}t+90)$

Ahora, evaluamos con t=0

$x'(0)=-3.42{\frac {m}{s}},sen(60s^{-1}(0s)+90)$ $x'(0)=-3.42{\frac {m}{s}},sen(90)$ $x'(0)=-3.42{\frac {m}{s}}$

Así, la velocidad del oscilador en t=0 es de -3.42 m/s

• c) Por último, para saber en qué tiempo el oscilador regresará al origen (o posición de equilibrio) debemos considerar que en t=0 se encuentra en dicho lugar, puesto que $cos(90)=0$. La función coseno da 0 para ángulos de 90 y 270 grados, por lo que debemos encontrar un tiempo el cual al evaluarlo en la ecuación nos genere un argumento de 270 grados. Con ésto en mente, planteamos la siguiente ecuación y resolvemos:

$60t+90=270$ $60t=180$ $t=3$

Por lo tanto, el oscilador volverá a la posición de equilibrio en 3 segundos.

---

Aportación por usuario: ArturoCabrera (discusión) 23:35 31 ene 2019 (CST)

Arreglé ecuación en problema 2.7, ya se lee correctamente mfg-wiki (discusión)

---

Capítulo 2. Problema 2.5

---

Una unidad de altavoz en miniatura tiene un cono de 80 mm de diámetro montado en un agujero del mismo diámetro en un gabinete cerrado de dimensiones interiores 150 mm X 150 mm X 300 mm. La masa del cono es 5.0 g, y el montaje es tal que la rigidez de la suspensión puede ser despreciada. Estimar la frecuencia de vibración libre del cono.

'Planteamiento:

Debemos considerar el sistema cono-aire como aquel que alrededor de una posición de equilibrio describe un movimiento armónico simple. Pensemos que estas oscilaciones ocurren en la dirección del vector normal al plano en que se encuentra la parte circular el cono de diámetro D, D = 80 mm.

Sea $\psi (t)$${\boldsymbol {e_{n}}}$ el vector de posición en la dirección de ${\boldsymbol {e_{n}}}$. Nuestro origen de coordenadas se encuentra tal como sugiere el esquema 1, de aquí que la posición de equilibrio sea $\psi _{o}={0}$. Las oscilaciones del cono son provocadas por la diferencia de presión que se genera al emitir un sonido; las moléculas de aire cercanas a la fuente del sonido transmiten mecánicamante la onda por choques entre ellas. De la segunda relación Newton tenemos

                                           ${m}$${\ddot {\psi }}={-Adp}$                                         ${[2.5.1]}$

donde ${A=}$área transversal del cono, y ${dp}$ una variación de presión. Asumimos que el signo es negativo pues es una fuerza restauradora.

Ahora, esta variación de presión es debida a la presencia del aire, para construir una ecuación tipo oscilador armónico es necesario relacionar las variaciones de presión con $\psi (t)$. Si aproximamos al aire como un gas ideal y además pedimos que sea un proceso cuasiestático y adiabático tenemos la siguiente relación

                                            ${PV^{\gamma }={constante}}$                                    ${[2.5.2]}$

donde $\gamma =1.4$ es el coeficiente entre capacidades caloríficas del gas; al tomar su logaritmo y diferenciar obtenemos

                                        ${\ln {P}+\gamma \ln {V}={constante}}$                                  ${[2.5.3]}$
   
                                             ${{\cfrac {dP}{P}}+\gamma {\cfrac {dV}{V}}={0}}$ .                                   ${[2.5.4]}$

de la ecuación anterior reescribimos

                                           ${\cfrac {dP}{P}}$ ${=}$ ${-}$${\gamma {\cfrac {dV}{V}}}$

                                            ${dP}$ ${=}$ ${-P}$${\gamma {\cfrac {dV}{V}}}$                                      ${[2.5.5]}$

De la ecuación ${[2.5.4]}$ notamos lo siguiente: ${dV}$ es una variación de volumen en nuestro sistema, y el volumen que cambia con respecto a $\psi$ es el volumen del cono $v_{c}$; entonces ${dV}$ ${=}$$dv_{c}$ ${=}$${A\Delta \psi {=}A\psi }$. Sustituyenddo este resultado en la ecuación ${[2.5.5]}$ y, a su vez en ${[2.5.1]}$ obtenemos lo siguiente

                                                 ${m}$${\ddot {\psi }}={\cfrac {-A^{2}\gamma P}{V}}\psi$

consecuentemente obtenemos la ecuación de oscilador armónico en donde identificamos a $\omega _{o}^{2}$

                                             ${\ddot {\psi }}+{\cfrac {A^{2}\gamma P}{mV}}\psi ={0}$                                    ${[2.5.6]}$

                                                    $\omega _{o}^{2}={\cfrac {A^{2}\gamma P}{mV}}$ .                               ${[2.5.7]}$

Para expresar numéricamente a la frecuencia natural del sistema es necesario expresar a ${P}$ en términos de constantes y valores conocidos, por lo que invocamos a la Ley de los Gases ideales y así como a las definiciones de densidad, masa y volumen molar, tal que

                                                    $P={\cfrac {\rho _{aire}RT}{M}}$ .                               ${[2.5.8]}$

donde $\rho _{aire}=1.225{\cfrac {kg}{m^{3}}}[1]$ es la densidad del aire, ${R=8.3{\cfrac {J}{molK}}}$ es la constante universal de los gases, $T=300K$ es la temperatura del sistema y $M=0.029{\cfrac {kg}{mol}}$. (Salvo la densidad, las cantidades fueron tomadas de la tabla 2.1, pág. 21; I. Main). Además, $m=0.005kg$ y $V=(0.150m)(0.150m)(0.300m)$. De todo lo anterior calculamos que

                                         $\omega _{o}={\sqrt {\cfrac {A^{2}\gamma \rho _{aire}RT}{mVM}}}\approx 56.54Hz$ .

Referencias

[1] Iain G. Main. Vibrations and waves in physics. CUP, 1994.

[2] A. P. French. Vibraciones y ondas. MIT. Editorial Reverte, Barcelona, 6ta edition, 2001.

[3] http://diccionario.raing.es/es/lema/densidad-del-aire

---

Arreglé problema de ecuación en 2.6, mfg-wiki (discusión) 06:02 28 jun 2019 (CDT)

---