Compleja:z-ej-cap2.2

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

2.17. Si $f:\Omega \to \mathbb {C}$ es holomorfa, $\Omega$ una región y $u$ es constante, desmuestre que $f$ es constante. Similarmente, si $v$ es constante, entonces $f$ es constante.

Sea $f=u+iv$

a) $u(x,y)=Ref(z)={\mbox{ constante }},$ por lo tanto ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0$ .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) ${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}=0$ .
Lo que implica que $v(x,y)={\mbox{ constante }}\Rightarrow f(z)={\mbox{ constante }}.$

b) $v(x,y)=Imf(z)={\mbox{ constante }},$ por lo tanto ${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}=0$ .
Y por las condiciones C-R ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0$ .
Por tanto $u(x,y)={\mbox{ constante }}\Rightarrow f(z)={\mbox{ constante }}.$