Compleja:z-ej-cap2.2

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

2.17. Si $f:\Omega \to \mathbb {C}$ es holomorfa, $\Omega$ una región y $u$ es constante, desmuestre que $f$ es constante. Similarmente, si $v$ es constante, entonces $f$ es constante.

Sea $f=u+iv$

a) $u(x,y)=Ref(z)={\mbox{ constante }},$ por lo tanto ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0$.
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) ${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}=0$.
Lo que implica que $v(x,y)={\mbox{ constante }}\Rightarrow f(z)={\mbox{ constante }}.$

b) $v(x,y)=Imf(z)={\mbox{ constante }},$ por lo tanto ${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}=0$.
Y por las condiciones C-R ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0$.
Por tanto $u(x,y)={\mbox{ constante }}\Rightarrow f(z)={\mbox{ constante }}.$

--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)

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2.18. Si $f:\Omega \to \mathbb {C}$ es holomorfa, $\Omega$ una región y $|f|$ es constante, desmuestre que $f$ es constante.

Si $|f(z)|=C\Rightarrow |f(z)|^{2}=f(z){\overline {f(z)}}=C^{2}$ y, por tanto,
${\overline {f(z)}}={\frac {C^{2}}{f(z)}}$.
Como el lado derecho es una función holomorfa, $\Rightarrow {\overline {f(z)}}$ es holomorfa.

Ahora, como ${\overline {f(z)}}=u-iv,$ las condiciones de C-R se traducen en:
${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}\\\end{cases}}$,
y las mismas condiciones sobre $f(z)$ implican
${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\\\end{cases}}$.

Así que tenemos que ${\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\Rightarrow {\frac {\partial v}{\partial y}}=0$
y, por lo tanto, ${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$.

Análogamente, ${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\Rightarrow {\frac {\partial v}{\partial x}}=0$ y ${\frac {\partial u}{\partial y}}=0$.
Entonces $u$ y $v$ son constantes y por tanto $f(z)={\mbox{ constante}}$.

--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)

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--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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