Compleja:z-ej-cap1.4

La esfera de Riemann y el plano extendido

1.67. Usando la proyección estereográfica demuestre que la proyección de un círculo S en $\mathbb {S}$ corresponde a un círculo T en el plano $\mathbb {C}$ . Demuestre que si S contiene al polo norte, entonces su proyección T en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb{C} es una recta.

Un círculo en S en $\mathbb {S}$ es la intersección de un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuación de la forma $Ax+By+Cz=D$ .
Por tanto este círculo es la imagen bajo la proyección estereográfica (2), satisfaciendo
$A\left({\frac {2x}{1+|w|^{2}}}\right)+B\left({\frac {2y}{1+|w|^{2}}}\right)+c\left({\frac {|w|^{2}-1}{1+|w|^{2}}}\right)=D,$
donde $w=(x,y,0),$ por tanto $|w|^{2}=x^{2}+y^{2}$
$\Rightarrow 2Ax+2By+(x^{2}+y^{2}-1)C=D(1+x^{2}+y^{2})$
$\Rightarrow 2Ax+2By+Cx^{2}+Cy^{2}-C=Dx^{2}+Dy^{2}+D$
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Rightarrow (C-D)x^2+2Ax+(C-D)y^2+2By-(C+D)=0

Si $C=D$ , tenemos
$2Ax+2By=2C$ , i.e., $Ax+By=C$ , la ecuación de una recta.

Si $C\neq D$ , completando cuadrados:
$x^{2}+2{\frac {A}{C-D}}x+\left({\frac {A}{C-D}}\right)^{2}+y^{2}+2{\frac {B}{C-D}}y+\left({\frac {B}{C-D}}\right)^{2}={\frac {C+D}{C-D}}+\left({\frac {A}{C-D}}\right)^{2}+\left({\frac {B}{C-D}}\right)^{2}$ .
$\Rightarrow \left(x+{\frac {A}{C-D}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {B}{C-D}}\right)^{2}={\frac {(C+D)(C-D)+A^{2}+B^{2}}{(C-D)^{2}}}={\frac {C^{2}-D^{2}+A^{2}+B^{2}}{(C-D)^{2}}}$ .
$\Rightarrow \left(x+{\frac {A}{C-D}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {B}{C-D}}\right)^{2}={\frac {A^{2}+B^{2}+C^{2}-D^{2}}{(C-D)^{2}}}$ , la ecuación de un círculo con centro en $\left(-{\frac {A}{C-D}},-{\frac {B}{C-D}}\right)$ y radio $r={\frac {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}-D^{2}}}{C-D}}$ .