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==La esfera de Riemann y el plano extendido== | |||
'''1.67. Usando la proyección estereográfica demuestre que la proyección de un círculo S en <math> \mathbb{S}</math> corresponde a un círculo T en el plano <math> \mathbb{C}</math>. Demuestre que si S contiene al polo norte, entonces su proyección T en <math> \mathbb{C}</math> es una recta.''' | |||
Un círculo en S en <math> \mathbb{S}</math> es la intersección de un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuación de la forma <math>Ax+By+Cz=D</math>.<br/> | |||
Por tanto este círculo es la imagen bajo la proyección estereográfica (2), satisfaciendo<br/> | |||
<math>A \left ( \frac{2x}{1+|w|^2} \right ) + B \left ( \frac{2y}{1+|w|^2} \right ) + c \left ( \frac{|w|^2 -1}{1+|w|^2} \right ) = D, </math><br/> | |||
donde <math> w = (x,y,0), </math> por tanto <math>|w|^2=x^2+y^2 </math> <br/> | |||
<math>\Rightarrow 2Ax+2By+(x^2+y^2-1)C=D(1+x^2+y^2)</math><br/> | |||
<math>\Rightarrow 2Ax+2By+Cx^2+Cy^2-C=Dx^2+Dy^2+D</math><br/> | |||
<math>\Rightarrow (C-D)x^2+2Ax+(C-D)y^2+2By-(C+D)=0</math><br/> | |||
Si <math>C = D</math>, tenemos<br/> | |||
<math>2Ax+2By=2C </math>, i.e., <math>Ax+By=C </math>, la ecuación de una recta. | |||
Si <math>C \ne D</math>, completando cuadrados: <br/> | |||
<math>x^2 + 2 \frac{A}{C-D} x + \left ( \frac{A}{C-D} \right )^2 + y^2 + 2 \frac{B}{C-D} y + \left ( \frac{B}{C-D} \right )^2 = \frac{C+D}{C-D} + \left ( \frac{A}{C-D} \right )^2 + \left ( \frac{B}{C-D} \right )^2 </math>.<br/> | |||
<math> \Rightarrow \left ( x + \frac{A}{C-D} \right )^2 + \left ( y + \frac{B}{C-D} \right )^2 = \frac {(C+D)(C-D)+A^2+B^2}{(C-D)^2} = \frac{C^2-D^2+A^2+B^2}{(C-D)^2}</math>.<br/> | |||
<math> \Rightarrow \left ( x + \frac{A}{C-D} \right )^2 + \left ( y + \frac{B}{C-D} \right )^2 = \frac{A^2+B^2+C^2-D^2}{(C-D)^2}</math>, la ecuación de un círculo con centro en <math>\left ( -\frac{A}{C-D},-\frac{B}{C-D} \right ) </math> y radio <math>r=\frac{\sqrt{A^2+B^2+C^2-D^2}}{C-D}</math>. | |||
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 22:51 22 nov 2012 (CST) | |||
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--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC) | --[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC) |
Revisión del 23:51 22 nov 2012
La esfera de Riemann y el plano extendido
1.67. Usando la proyección estereográfica demuestre que la proyección de un círculo S en corresponde a un círculo T en el plano . Demuestre que si S contiene al polo norte, entonces su proyección T en es una recta.
Un círculo en S en es la intersección de un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuación de la forma .
Por tanto este círculo es la imagen bajo la proyección estereográfica (2), satisfaciendo
donde por tanto
Si , tenemos
, i.e., , la ecuación de una recta.
Si , completando cuadrados:
.
.
, la ecuación de un círculo con centro en y radio .
--Belen (discusión) 22:51 22 nov 2012 (CST)