Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap1.2»
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Por otro lado, si tomamos la serie <br/> | Por otro lado, si tomamos la serie <br/> | ||
<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{-1^n}{n} </math>, ésta converge, pero <br/> | <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} </math>, ésta converge, pero <br/> | ||
<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} </math>. <br/> | <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} </math>. <br/> | ||
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente. | Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente. | ||
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 19:48 22 nov 2012 (CST) | --[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 19:48 22 nov 2012 (CST) | ||
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'''1.40 Si <math> \alpha ∈ \mathbb{R} </math> y <math> \left\{ a_n \right\} \subseteq \mathbb{R} </math>, demuestre que <math> \lim \left\{a_n \right\} = \alpha \iff \limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} </math>.''' | |||
<span style="color:#C71585"> Proposición preliminar: | |||
<span style="color:#C71585"> a) Sean <math> \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.</math> | |||
<span style="color:#C71585"> Demostración: <br/> | |||
Tenemos que <math> \lim \left\{ z_n - x_n \right\} = \lim \left\{z_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = a - a. </math> <br/> | |||
Además <math> 0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n </math><br/> | |||
<math> \Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0. </math><br/> | |||
De aquí, <math> \lim \left\{ (y_n - x_n) + x_n \right\} = \lim \left\{ y_n - x_n \right\} + \lim \left\{ x_n \right\} = 0 + a. <br/> | |||
\Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a</math> | |||
'''Demostración:''' | |||
Sean <math> \overline {a}_n = sup \left\{ a_i : i \ge n \right\} \mbox { y } \underline {a}_n = inf \left\{ a_i : i \ge n \right\} </math> | |||
Primero supongamos que <math>\limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} </math> <br/> | |||
Ya que <math> \underline {a}_n \le a_n \le \overline {a}_n </math>, por la proposición a), <br/> | |||
<math> \lim \left\{a_n \right\} = \alpha </math>. | |||
El recíproco: <br/> | |||
Sea <math> \left\{ a_n \right\} </math> convergente, i.e., <math>\lim \left\{a_n \right\} = \alpha </math> . <br/> | |||
Supongamos <math>\limsup \left\{a_n \right\}= \overline{\alpha} \mbox{ y } | |||
\liminf \left\{a_n \right\} = \underline {\alpha}.</math> <br/> | |||
Tenemos que <math>\overline {a}_n - \underline {a}_n = sup \left\{ |a_i-a_j| : i,j \ge n \right\}. </math> (*) <br/> | |||
Por otra parte, fijemos <math> \epsilon > 0 \Rightarrow \exists n_0 \mbox{ tal que } |a_n-a| < \frac{\epsilon}{2} \mbox{ si } n \ge n_0 </math>.<br/> | |||
Como <math>a_n-a_m = a_n -a +a - a_m, \Rightarrow \mbox{ (por desigualdad del triángulo) } , |a_n-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a| < \epsilon \mbox{ si } n,m>N. </math><br/> | |||
De esto y con (*) tenemos que <math>\overline {a}_n - \underline {a}_n \le \epsilon, \mbox{ si } n \ge n_0 \Rightarrow | \overline{\alpha} - \underline {\alpha} | \le \epsilon, </math> <br/> | |||
y como esto sucede <math> \forall \epsilon > 0, \overline{\alpha} = \underline {\alpha} </math>. | |||
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:13 22 nov 2012 (CST) | |||
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Revisión del 22:13 22 nov 2012
Sucesiones y series de números complejos=
1.36. Demuestre que toda serie absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.
Recordemos que una serie se dice absolutamente convergente si y sólo si converge.
Proposiciones preliminares:
a) Si converge, converge y , entonces converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.
b) Si converge, entonces converge.
Es consecuencia de a) usando que .
c) Sea con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R}
, entonces converge si y sólo si converge y converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.
Demostración.
Sea con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R}
y convergente.
Como , por la proposición a) se deduce que converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que converge. (B)
Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.
Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.
--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)
1.40 Si Error al representar (error de sintaxis): \alpha ∈ \mathbb{R} y , demuestre que .
Proposición preliminar:
a) Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.
Demostración:
Tenemos que
Además
De aquí,
Demostración:
Sean
Primero supongamos que
Ya que , por la proposición a),
.
El recíproco:
Sea convergente, i.e., .
Supongamos
Tenemos que (*)
Por otra parte, fijemos .
Como
De esto y con (*) tenemos que
y como esto sucede .
--Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)