Compleja:ej-cap3.3

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6.- Describa el tipo de singularidad en el origen de ${\displaystyle {\dfrac {z^{4}}{\left(\cos z-1\right)^{2}}}}$

SOLUCION

Tiene una singularidad en ${\displaystyle z=0}$ , y un polo de orden 2.

Pero como el ${\displaystyle lim_{z\longrightarrow 0}}{\displaystyle {\dfrac {z^{4}}{\left(\cos z-1\right)^{2}}}}=0$ se trata de una singularidad evitable.--Emmanuel Lopez Ortiz 19:05 8 dic 2010 (UTC)

mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)

4.- Encuentre la expansión de Laurent de la función ${\frac {6}{z\left(z-1\right)\left(z-3\right)}}$ en los anillos $0<|z|<1$ y $1<|z|<3$ .

Resolviendo en fracciones parciales la función ${\frac {6}{z\left(z-1\right)\left(z-3\right)}}={\frac {a}{z}}+{\frac {b}{z-1}}+{\frac {c}{z-3}}$

$6=a\left(z-1\right)\left(z-3\right)+b\left(z\right)\left(z-3\right)+c\left(z\right)\left(z-1\right)$

Evaluamos para $z=0$

y encuentro que $6=3a\,,a=2$

con $z=1$

$6=-2b,\,b=-3$

con $z=3$

$6=6c,\,c=1$

Ahora escribimos nuestra función como:

${\frac {6}{z\left(z-1\right)\left(z-3\right)}}={\frac {2}{z}}-{\frac {3}{z-1}}+{\frac {1}{z-3}}$

La función tiene tres singularidades que son en, $z=0,z=1,z=3$

Para $|z|>0$

${\frac {2}{z}}=2\left({\frac {1}{z}}\right)=2\left(1-{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {1}{z^{3}}}+.....\right)$

Para $|z|<1$

${\frac {3}{z-1}}={\frac {3}{1-{\frac {1}{z}}}}=3\left(-1+{\frac {1}{z}}-{\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{z^{3}}}-........\right)$

Para $|z|>3$

${\frac {1}{z-3}}={\frac {1}{1-{\frac {3}{z}}}}={\frac {1}{z}}\left(-1+{\frac {3}{z}}-{\frac {9}{z^{2}}}+{\frac {27}{z^{3}}}-...\right)$

--Federico Espinoza Sosa 07:27 9 dic 2010 (UTC)

10. Demuestre de dos maneras que la funcion ${\frac {cosz}{z^{2}}}$ tiene un polo doble en el origen, ¿cual es el residuo?.

Sea $f(z)={\frac {cosz}{z^{2}}}$

vemos que tiene un polo doble de orden 2 en el origen. Esto se debe ya que $z^{2}$ tiene en ese punto, en cero (en el origen)un polo de orden 2 por lo que $cos(0)=1$ . Esto se obtiene calculando el limite.

${\underset {z\rightarrow 0}{lim}}({\frac {cosz}{z^{2}}})z^{2}={\underset {z\rightarrow 0}{lim}}(cosz)=1$ esto es en el origen.

Otra manera de probar este hecho es aplicando la serie de Laurent entonces:

$f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(z-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(z-a)^{3}+{\frac {f^{IV}(a)}{4!}}(z-a)^{4}+....$

Sacando las respectivas derivadas tenemos:

$f\prime \left(z\right)=-\sin \left(z\right)$ , $f\prime \prime \left(z\right)=-\cos \left(z\right)$ , $f\prime \prime \prime \left(z\right)=\sin \left(z\right)$ , $f\prime \prime \prime \prime \left(z\right)=\cos \left(z\right),....$

igualandolo en el origen que es en $z=0$ nos da:

$f\left(0\right)=1$ , $f\prime \left(0\right)=0$ , $f\prime \prime \left(0\right)=-1$ , $f\prime \prime \prime \left(0\right)=0$ , $f\prime \prime \prime \prime \left(0\right)=1,....$