Compleja:ej-cap1.4

EJERCICIOS 1.4.1

1.-Demuestre la identidad $\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)$.

sean $f$ y $g$, dos funciones definidas y derivables en un mismo punto $z$.

${\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

si se suma y se resta en el numerador $f\left(z\right).g\left(z+h\right)$, la fraccion anterior no varia.

$={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right).g\left(z+h\right)+f\left(z\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

sacando $g\left(z+h\right)$ factor comun en los dos primeros sumandos, y $f\left(z\right)$, en los otros dos.

$={\frac {g\left(z+h\right)\left[f\left(z+h\right)-f\left(z\right)\right]+f\left(z\right)\left[g\left(z+h\right)-g\left(z\right)\right]}{h}}$

$=g\left(z+h\right).{\frac {f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}}+f\left(z\right).{\frac {g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}}$.

si ahora se toman limites cuando $h$ tiende a cero.

$\lim _{h\rightarrow 0}g\left(z+h\right)=g\left(z\right)$, pues $g$ es continua en $z$ ya que es derivable en $z$.

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}}=f'\left(z\right)$, por definicion de derivada.

$\lim _{h\rightarrow 0}f\left(z\right)=f\left(z\right)$, al no depender $f\left(z\right)$ de $h$.

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}}=g'\left(z\right)$, por definicion.

por tanto, $\left(f.g\right)'\left(z\right)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}$

$\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)$

--Josua Da Vinci 20:36 17 nov 2009 (UTC)

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2.- Encuentre una región donde ${\frac {3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}}$ sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes

$f\left(z\right)={\frac {u}{g}}$

$f'\left(z\right)={\frac {u'g-g'u}{g^{2}}}$

se tiene lo siguiente

$f\left(z\right)={\frac {3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f'\left(z\right)=\frac{\left(12z^{3}-4z\right)\left(z^{3}-27i\right)-\left(3z^{2}\right)\left(3z^{4}-2z^{2}+i\right)}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f'\left(z\right)=\frac{3z^{6}+5z^{4}-324z^{3}-3iz+96z}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f\left(z\right) es holomorfa en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb{C-\left\{ \pm\right\} }

--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)

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3 Sea f la funcion deError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb R^2 en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb R^2 en definida por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{array}{lcr} f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array} (en notación compleja Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z\Rightarrow\ |z|^2 ),calcule su matriz jacobiana.

por definicion la matriz jacodiana es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{vmatrix} \frac{f_1}{dx} & \frac{f_1}{dy} \\ \frac{f_2}{dx} & \frac{f_2}{dy} \end{vmatrix}

Para números que pertenecen al campo de los reales.

partiendo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{array}{lcr} f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f_1=x^2+y^2 y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f_2=0

Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_1}{dx}= 2x , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_1}{dy}= 2y , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_2}{dx}= 0 , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_2}{dy}= 0 ,

Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{vmatrix} 2x & 2y \\ 0 & 0 \end{vmatrix}

--Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla

4. Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z) =

EJERCICIOS 1.4.2

1.Verifique directamente que se cumplen las ecucaiones de Cauchy-Riemann para la funcion Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z\longmapsto\ 3z^3+2z .

Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A abierto en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \C , y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f:A\longmapsto\C ,una funcion holomorfa en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_0\in A , entonces si $f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right),$ se tiene.

(Ecuaciones de Cauchy-Riemann).

${\frac {\partial u}{\partial x\,}}(z_{0})={\frac {\partial v}{\partial y\,}}(z_{0})$

${\frac {\partial u}{\partial y\,}}(z_{0})=-{\frac {\partial v}{\partial x\,}}(z_{0})$

$\delta \left(z\right)=3z^{3}+2z$ y $Z=X+iY$.

$\delta \left(z\right)=3x^{3}-9xy^{2}+2x+i\left(9x^{2}y-3y^{3}+2y\right)$

donde:

$u\left(z_{0}\right)=3x^{3}-9xy^{2}+2x$ y $v\left(z_{0}\right)=9x^{2}y-3y^{3}+2y$

${\frac {\partial u}{\partial x\,}}(z_{0})=9x^{2}-9y^{2}+2$

${\frac {\partial v}{\partial y\,}}(z_{0})=9x^{2}-9y^{2}+2$

Y

${\frac {\partial u}{\partial y\,}}(z_{0})=-18xy$

$-{\frac {\partial v}{\partial x\,}}(z_{0})=-\left(18xy\right)$

por tanto se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

--Josua Da Vinci 23:40 3 dic 2009 (UTC)

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4.- Demuestre que la función $z\rightarrow \sin {\overline {z}}$ no es holomorfa en ningún punto del plano.

Primero desarrollando $\sin {\overline {z}}$ como $\sin \left(x-iy\right)$ tenemos lo siguiente:

$f\left(z\right)=\sin {\overline {z}}=\sin x\cosh y-i\sinh y\cos x=u+iv$

$\therefore u=\sin x\cosh y;v=-\sinh y\cos x$

Ahora para mostrar que nuestra función no es holomorfa basta con probar que no se cumplen las Ecuaciones de Cauchy-Riemann

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ y ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Calculando estas parciales tenemos que:

${\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x\cosh y$

${\frac {\partial v}{\partial y}}=-\cos x\cosh y$

Donde es facil ver que

${\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x\cosh y\neq -\cos x\cosh y={\frac {\partial v}{\partial y}}$

Para la otra igualdad calculamos las parciales

${\frac {\partial u}{\partial y}}=\sin x\sinh y$

${\frac {\partial v}{\partial x}}=\sin x\sinh y$

Y hacemos la comparación de la misma forma

${\frac {\partial u}{\partial y}}=\sin x\sinh y\neq -\sin x\sinh y=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Como se puede ver son distintas.

$\therefore$ La función $\sin {\overline {z}}$ no es holomorfa en ningun punto del plano.

--Oscar Adrian 06:23 4 dic 2009 (UTC)

6.Encuentre un dominio de analiticidad para la funciòn$z\rightarrow \log(e^{z}+1)$ y encuentre la derivada, donde log denota la rama $(0,2\pi )$ de logaritmo

Para encontrar los punto de analiticidad, localizamos aquellos ddonde la funciòn no es analitica; es dexcir donde la funcion es real positiva, por tanto los puntos localizados se excluiràn del dominio.

Condiciòn:

$e^{z}+1\ >0$

Donde $e^{z}=e^{x}e^{iy}$

$e^{iy}=0$

$e^{z}>-1$

$e^{x}>-1$ se cumple excepto en $k\pi$

CASO 1 k=0

$cos\pi k$=1 obteniendo el logaritmo $log1=0$ y por lo tanto la condicion $e^{x}>-1$ no se cumple

CASO 2 k= Nùmero impar, por ejemplo k=1

$cos\pi k$=-1 , $log(-1)=\mathbb {C}$ por lo tanto $e^{x}>-1$ no se cumple

CASO 3 k=Nùmero par, por ejmplo k=2

$cos\pi k$=1 , $log1=0$ en k=2 no se cumple

Entonces en estos puntos la funciòn es no analitica; por lo tanto ent odos los demàs puntos la funciòn serà analìtica. En estos puntos de no analiticidad no tiene sentido hablar de derivada.

$z\rightarrow \log(e^{z}+1)$

El dominio de la funcion son todos los puntos tales que cumplan la condiciòn.

$e^{z}>-1$ excepto donde $\pi k$ donde k es un nùmero real, y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0\le \k\le \2 }

--Karla 16:56 4 dic 2009 (UTC)karla

EJERCICIOS 1.4.3

1. Interprete geometricamente la no conformalidad de la funcion $\quad z\rightarrow \ z^{4}\quad$ en el origen.

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Compleja:ej-cap1.1

Compleja:ej-cap1.2

Compleja:ej-cap1.3