Compleja:ej-cap1.3

SECCION 1.3.1

1. Sea $A=\left\{z\in C\mid 0<Rez<2,-{\frac {\pi }{2}}<Imz<{\frac {\pi }{2}}\right\}$. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.

La imagen de la recta horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Imz=\frac{\pi }{2} bajo esta función

es la semilinea que surge del origen con argumento ${\frac {\pi }{2}}$,

entonces lo que pasa por el punto

$e^{\left(i{\frac {\pi }{2}}\right)}=cos{\frac {\pi }{2}}+isen{\frac {\pi }{2}}=i$

De igual forma para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Imz=-\frac{\pi }{2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i

Por otra parte tenemos $2\in Re$,

--Ralf Gutierrez 03:11 22 nov 2009 (UTC)

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2.- Exprese Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) , en la forma $x+iy$.

por propiedades de la exponencial sabemos que:

$e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}=e^{4}e^{\left(i{\frac {\pi }{6}}\right)}$

y que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}

entonces la exprecion completa seria:

$e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}=e^{4}\left(cos{\frac {\pi }{6}}+isen{\frac {\pi }{6}}\right)$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}

$e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}=54.59+i0.498$.

--Josua Da Vinci 18:19 17 nov 2009 (UTC)

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4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x , se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.

Solución.

Basta con demostrar que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)

Sea

$\exp \left(iy\right)=cosy+iseny$

Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:

$\exp \left(iy\right)=cosy+iseny$ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)

Debemos tener en cuenta que $Imz=y\!$ es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir $\!Rez=x$.

--Dali 04:12 15 nov 2009 (UTC)

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SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores $(1-i)^{4-2i}$ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): i^w Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^i

recordando

$lnab=lna+lnb$ , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): lna^b=blna y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{lna}=a

$(1-i)^{4-2i}$ = $e^{ln(1-i)^{4-2i}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{(4-2i)ln(1-i)}

$ln(1-i)=ln{\sqrt {2}}-i\pi /4$

sustituyendo $ln(1-i)$

$e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi /4+2k\pi )}$ Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos $2k\pi$

$e^{2ln2+2(-\pi /4+2k\pi )+i4((-\pi /4+2k\pi )-ln2)}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}

donde

$e^{i(8k)\pi }$ y $e^{-i\pi }$ valen 1 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k=1 los valores encontrados seran multiplos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \pi

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}

$-4e^{((4k-1/2)\pi -iln2)}$ donde k pertenece a los numeros naturales.

ahora encontrando los valores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): i^w

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): i^w = e ^{lni^{w}} donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): lni=ln1+i\pi/2 Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 2k\pi

$e^{w+i(\pi /2+2k\pi }$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{iw((4k+1)/2)\pi} para cualquier w

finalmente calculando los valores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^i

$z^{i}=e^{ilnz}$

$e^{i(ln|z|+iargz)}$

$e^{-(argz+iln|z|}$ para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.

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3.- Demuestre que si $w\in \mathbb {R}$, entonces $\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}$.

Solución.

Sea $z^{w}=r^{w}\exp \left(iw\theta \right)$

Entonces

$\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|$

pues

$r=\left|z\right|$

como

$\left|\exp \left(i\theta \right)\right|={\sqrt {cos^{2}\theta +sen^{2}\theta }}=1$

si tomamos el cambio $\gamma =w\theta \!$ obtenemos que

$\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp \left(i\gamma \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}$

Pues $w\in \mathbb {R}$.

--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)

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4. Exhiba $z,w\in {\mbox{C}}$ para las cuales no se cumpla ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}$.

Sean $z,w\in {\mbox{C}}$ de la forma $w=a+ib$ $z=x+iy$

como ${\big |}w{\big |}\in {\mbox{R}}$ se cumple ${\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}={\big |}{z^{{\big |}w{\big |}}}{\big |}$

desarrollamos: ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}{z^{{\big |}w{\big |}}}{\big |}$

$e^{w(log{\big |}z{\big |}+iargz)}=e^{{\big |}w{\big |}(log{\big |}z{\big |}+iargz)}$

$\Longleftrightarrow$ $\qquad w(log{\big |}z{\big |}+iargz)={\big |}w{\big |}(log{\big |}z{\big |}+iargz)$

$\Rightarrow w={\big |}w{\big |}$

Esta igualdad se cumple para $w=a+ib$ con $b=0$

por lo tanto ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}$ no se cumple para $w=a+ib$ con $b\neq 0$--Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.3.4

1. Pruebe la identidad $\ {cosht=cos(it)}$.

Sabemos que

$cost={\frac {e^{it}+e^{-it}}{2}}$

$cosht={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$

Entonces

$cos(it)={\frac {e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}={\frac {1}{2}}(e^{-t}+e^{t})={\frac {1}{2}}(e^{t}+e^{-t})=cosht$

$\therefore$

$\ {cosht=cos(it)}$

--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)

3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.

Dadas $\ z,w\in C$, se cumple la siguiente igualdad

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$.

Sabemos que

$cosz={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

$senz={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

Entonces

$cosz{cosw}-senz{senw}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac {e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac {e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}$

$={\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right]+{\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right]$

$={\frac {1}{2}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right]=cos(z+w)$

$\therefore$

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)

KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla

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