Compleja:ej-cap1.3

1. Sea $A=\left\{z\in C\mid 0<Rez<2,-{\frac {\pi }{2}}<Imz<{\frac {\pi }{2}}\right\}$. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.

La imagen de la recta horizontal $Imz={\frac {\pi }{2}}$ bajo esta función

es la semilinea que surge del origen con argumento ${\frac {\pi }{2}}$,

entonces lo que pasa por el punto

$e^{\left(i{\frac {\pi }{2}}\right)}=cos{\frac {\pi }{2}}+isen{\frac {\pi }{2}}=i$

De igual forma para $Imz=-{\frac {\pi }{2}}$

$e^{\left(-i{\frac {\pi }{2}}\right)}=cos{\frac {\pi }{2}}-isen{\frac {\pi }{2}}=-i$

Por otra parte tenemos $2\in Re$, entonces la linea vertical $\ Rez=2$

se transforma en el círculo de radio

$e^{2}\thickapprox 7.4$

De igual forma para $\ Rez=0$, se transforma en el círculo de radio

$\ e^{0}=1$

--Ralf Gutierrez 03:11 22 nov 2009 (UTC)

---

2.- Exprese $e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}$, en la forma $x+iy$.

por propiedades de la exponencial sabemos que:

$e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}=e^{4}e^{\left(i{\frac {\pi }{6}}\right)}$

y que $e^{\left(i{\frac {\pi }{6}}\right)}=cos{\frac {\pi }{6}}+isen{\frac {\pi }{6}}$

entonces la expreción completa sería:

$e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}=e^{4}\left(cos{\frac {\pi }{6}}+isen{\frac {\pi }{6}}\right)$

$=e^{4}cos{\frac {\pi }{6}}+ie^{4}sen{\frac {\pi }{6}}$

$e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}=54.59+i0.498$.

--Josua Da Vinci 18:19 17 nov 2009 (UTC)

---

3.- Demuestre que la función exponencial compleja no está acotada en ninguna semirrecta por el origen. Describa la imagen.

Para realizar esta demostración tomamos la función exponencial compleja de la siguiente manera:

$\exp \left[iy\right]=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {iy}{n}}\right)^{n}$

Recordando que la exponencial se puede escribir de la siguiente manera

$r_{n}\left(cos\theta _{n}+isen\theta _{n}\right)=\left(1+{\frac {iy}{n}}\right)$

Ahora tomando la norma al cuadrado en ambos lados

$r_{n}^{2}=\left(1+{\frac {y^{2}}{n^{2}}}\right)$

Despejando $r{}_{n}$ y elevando a la $n$, tenemos la siguiente expresión:

$r_{n}^{n}=\left(1+{\frac {y^{2}}{n^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}$

Tomando el $\ln$

$ln\left(1+{\frac {y^{2}}{n^{2}}}\right)={\frac {n}{2}}ln\left(1+{\frac {y^{2}}{n^{2}}}\right)$

Hacemos el cambio de variable $n={\frac {1}{u}}$ y tomamos el límite

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2}}ln\left(1+{\frac {y^{2}}{n^{2}}}\right)=\lim _{u\to 0}{\frac {\left(1+u^{2}y^{2}\right)}{u^{2}}}{\frac {u}{2}}=0$

$\therefore \lim _{n\to \infty }r_{n}^{n}=1$

Para $\theta _{n}=\arctan {\frac {y}{n}}$ tenemos que $n\theta _{n}=n\arctan {\frac {y}{n}}$, haciendo $n={\frac {1}{u}}$, $\lim _{u\to 0}{\frac {\arctan uy}{u}}=y$.

$\therefore n\theta _{n}\rightarrow y$

$\exp \left[iy\right]=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {iy}{n}}\right)^{n}=\cos y+i\sin y$.

Con esto queda demostrado que la exponencial compleja no está acotada por ninguna semirrecta.

La imagen se transforman en un rayo con ángulo $y$, que parte del origen y que va creciendo conforme crece la $x$.

--Oscar Adrian 04:19 2 dic 2009 (UTC)

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4.-Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos líneas horizontales, simétricas con respecto al eje $x$, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.

Solución.

Basta con demostrar que

${\overline {\exp \left(iy\right)}}=\exp \left(-iy\right)$

Sea

$\exp \left(iy\right)=cosy+iseny$

Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:

$\exp \left(iy\right)=cosy+iseny$ ${\overline {\exp \left(iy\right)}}={\overline {cosy+iseny}}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp \left(-iy\right)$

${\overline {\exp \left(iy\right)}}=\exp \left(-iy\right)$

Debemos tener en cuenta que $Imz=y\!$ es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir $\!Rez=x$.

--Dali 04:12 15 nov 2009 (UTC)

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5 ¿Qué puntos del plano complejo cumplen $\exp \left(iw\right)=\exp \left(i{\overline {w}}\right)$?

Solución:

Sea $w=n\pi$ y ${\overline {w}}=-n\pi$

Entonces

$\exp \left(iw\right)=\exp \left(in\pi \right)=\left(cos\left(n\pi \right)+isen\left(n\pi \right)\right)=\pm 1$ $\exp \left(i{\overline {w}}\right)=\exp \left(-in\pi \right)=\left(cos\left(-n\pi \right)+isen\left(-n\pi \right)\right)=\left(cos\left(n\pi \right)-isen\left(n\pi \right)\right)=\pm 1$

(Recordemos que: $sen\left(n\pi \right)=0$ y $cos\left(n\pi \right)=\pm 1)$

Por lo tanto

$\exp \left(iw\right)=\exp \left(i{\overline {w}}\right)=\pm 1$

5. ¿ Qué puntos del plano complejo cumplen $e^{iw}=e^{i{\bar {w}}}$?

Sea $\qquad w\in {\mbox{C}}\qquad$ con $w=x+iy$

Tenemos $e^{iw}=e^{i{\bar {w}}}\Rightarrow iw=i{\bar {w}}$

$(-i)iw=i{\bar {w}}(-i)$

$w={\bar {w}}$ es decir

$x+iy=x-iy$

$iy=-iy$

$2iy=0\Rightarrow y=0$

por lo tanto $w={\bar {w}}=x$

$e^{iw}=e^{i{\bar {w}}}$ es valido para todos los puntos del eje real del plano complejo.

--Gabita 17:47 8 dic 2009 (UTC)

--Dali 07:12 7 dic 2009 (UTC)

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SECCION 1.3.2

2 Calcule todos los valores que toman las distintas ramas del logaritmo de ${\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

Solución.

Expresemos $z={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ en su forma polar

$r={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}}}=1$

$\theta ={\frac {\pi }{3}}$

Ahora recordemos que

$\ln z=\ln r+i\left(\theta +2k\pi \right)$

Si tomamos los valores encontrados para $r$ y $\theta$ la ultima expresion toma la forma

$\ln z=\ln \left(1\right)+i\left({\frac {\pi }{3}}+2k\pi \right)=0+i\left({\frac {\pi }{3}}+2k\pi \right)$

De donde el valor principal se obtiene haciendo $k=0$.

--Dali 07:21 7 dic 2009 (UTC)

SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores $(1-i)^{4-2i}$ $i^{w}$ $z^{i}$

recordando

$lnab=lna+lnb$ , $lna^{b}=blna$ y $e^{lna}=a$

$(1-i)^{4-2i}$ = $e^{ln(1-i)^{4-2i}}$

$e^{(4-2i)ln(1-i)}$

$ln(1-i)=ln{\sqrt {2}}-i\pi /4$

sustituyendo $ln(1-i)$

$e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi /4+2k\pi )}$ Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos $2k\pi$

$e^{2ln2+2(-\pi /4+2k\pi )+i4((-\pi /4+2k\pi )-ln2)}$

$e^{ln4+((4k-1)/2)\pi +i(8k-1)\pi -iln2}$

$e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi }e^{i(8k)\pi }e^{-i\pi }e^{-iln2}$

donde

$e^{i(8k)\pi }$ y $e^{-i\pi }$ valen 1 $k=1$ los valores encontrados seran multiplos de $\pi$

$-4e^{(4k-1/2)\pi }e^{-iln2}$

$-4e^{((4k-1/2)\pi -iln2)}$ donde k pertenece a los numeros naturales.

Esta expresion puede tomar muchos valores, tantos como variemos "k" porquela expresion que tenemos no tiene modulo $2\pi$

ahora encontrando los valores $i^{w}$

$i^{w}=e^{lni^{w}}$ donde $lni=ln1+i\pi /2$ Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos $2k\pi$

$e^{w+i(\pi /2+2k\pi }$

$e^{iw((4k+1)/2)\pi }$ para cualquier w

finalmente calculando los valores $z^{i}$

$z^{i}=e^{ilnz}$

$e^{i(ln|z|+iargz)}$

$e^{-(argz+iln|z|}$ para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.

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3.- Demuestre que si $w\in \mathbb {R}$, entonces $\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}$.

Solución.

Sea $z^{w}=r^{w}\exp \left(iw\theta \right)$

Entonces

$\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|$

pues

$r=\left|z\right|$

como

$\left|\exp \left(i\theta \right)\right|={\sqrt {cos^{2}\theta +sen^{2}\theta }}=1$

si tomamos el cambio $\gamma =w\theta \!$ obtenemos que

$\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp \left(i\gamma \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}$

Pues $w\in \mathbb {R}$.

--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)

---

4. Exhiba $z,w\in {\mbox{C}}$ para las cuales no se cumpla ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}$.

Sean $z,w\in {\mbox{C}}$ de la forma $w=a+ib$ $z=x+iy$

como ${\big |}w{\big |}\in {\mbox{R}}$ se cumple ${\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}={\big |}{z^{{\big |}w{\big |}}}{\big |}$

desarrollamos: ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}{z^{{\big |}w{\big |}}}{\big |}$

$e^{w(log{\big |}z{\big |}+iargz)}=e^{{\big |}w{\big |}(log{\big |}z{\big |}+iargz)}$

$\Longleftrightarrow$ $\qquad w(log{\big |}z{\big |}+iargz)={\big |}w{\big |}(log{\big |}z{\big |}+iargz)$

$\Rightarrow w={\big |}w{\big |}\Rightarrow w\geq 0$

Esta igualdad se cumple para $w=a+ib$ con $b=0$ y $w\geq 0$

por lo tanto ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}$ no se cumple para $w=a+ib$

con $b\neq 0$ y $w\leq 0$ --Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.3.4

1. Pruebe la identidad $\ {cosht=cos(it)}$.

Sabemos que

$cost={\frac {e^{it}+e^{-it}}{2}}$

$cosht={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$

Entonces

$cos(it)={\frac {e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}={\frac {1}{2}}(e^{-t}+e^{t})={\frac {1}{2}}(e^{t}+e^{-t})=cosht$

$\therefore$

$\ {cosht=cos(it)}$

--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)

2. Pruebe que el minimo periodo de las funciones $\quad sen{z}$ y $\quad cos{z}\quad$ es $\quad 2\pi \quad$.

sen z = sen(z + 2kπ)

Desarrollamos:

sen(z + 2kπ) = sen z cos(2kπ) + sen(2kπ) cos z

como

sen z cos(2kπ) + sen(2kπ) cos z = sen z

entonces

cos(2kπ) = 1

sen(2kπ) = 0

esto se cumple para

$\qquad k\in {\mbox{Z}}\qquad$ con k = 0,1,2,...

por lo tanto

senz = sen(z + 0) = sen(z +2π) = sen(z +2nπ) con n = 2,3,...

para k = 0 no hay traslacion, para k = 1 hay traslacion por 2π, entonces el minimo periodo para sen z es 2π.

cos z = cos(z + 2kπ)

Desarrollamos:

cos(z + 2kπ) = cos z cos(2kπ) - sen(2kπ) sen z

como

cos z cos(2kπ) - sen(2kπ) cos z = cos z

entonces

cos(2kπ) = 1

sen(2kπ) = 0

esto se cumple para

$\qquad k\in {\mbox{Z}}\qquad$ con k = 0,1,2,...

por lo tanto

cos z = cos(z + 0) = cos(z +2π) = cos(z +2nπ) con n = 2,3,...

para k = 0 no hay traslacion, para k = 1 hay traslacion por 2π, entonces el minimo periodo para cos z es 2π.

--Gabita 17:47 8 dic 2009 (UTC)

3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.

Dadas $\ z,w\in C$, se cumple la siguiente igualdad

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$.

Sabemos que

$cosz={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

$senz={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

Entonces

$cosz{cosw}-senz{senw}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac {e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac {e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}$

$={\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right]+{\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right]$

$={\frac {1}{2}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right]=cos(z+w)$

$\therefore$

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)

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4.- Resuelva $\cos z=-{\frac {1}{2}}$, $\cos z=0$ y $\sin z=i$.

Sabemos que

$\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

Y queremos reolver

$\cos z=w$

Entonces igualando estas dos ecuaciones tenemos lo siguiente:

${\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}=w$

Haciendo un poco de algebra que a continuación se muestra, despejamos $z$, que es el valor del numero que queremos encontrar

$e^{iz}+e^{-iz}-2w=0$

Multiplicando lo anterior por $e{}^{iz}$

$e^{2iz}-2e^{iz}+1=0$

Que esta ya es facil de resolver a partir de

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Entonces tetenemos que

$e{}^{iz}={\frac {2w\pm {\sqrt {4w^{2}-4}}}{2}}=w\pm {\sqrt {w^{2}-1}}$

Y tomando el logaritmo en ambos lados

$iz=\ln \left(w\pm {\sqrt {w^{2}-1}}\right)$

$z=-i\ln \left(w\pm {\sqrt {w^{2}-1}}\right)$

$\therefore$ para $w=-{\frac {1}{2}}$, tenemos que

$z=-i\ln \left(-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {i}{2}}{\sqrt {3}}\right)=-{\frac {2\pi }{3}}$

Y para

$w=0$

$z=-i\ln \left(\pm {\sqrt {-1}}\right)=\pi$

Ahora haciendo el mismo procedimiento para $\sin z$, tenemos que

$z=-i\ln \left(iw\pm {\sqrt {1-w^{2}}}\right)$

$\therefore$ para $w=i$, tenemos que

$z=i\ln(-1\pm {\sqrt {2}})$

--Oscar Adrian 06:05 4 dic 2009 (UTC)

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5. Demuestre la identidad $senz-senw=2sen\left({\frac {z-w}{2}}\right)cos\left({\frac {z+w}{2}}\right).$

partiendo de que puedo expresar:

$cos(z)={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

y

$sen(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$.

entonces en terminos de las exponenciales obtengo.

$2sen\left({\frac {z-w}{2}}\right)cos\left({\frac {z+w}{2}}\right)=2\left({\frac {e^{i\left({\frac {z-w}{2}}\right)}-e^{-i\left({\frac {z-w}{2}}\right)}}{2i}}\right)\left({\frac {e^{i\left({\frac {z+w}{2}}\right)}+e^{-i\left({\frac {z+w}{2}}\right)}}{2}}\right)$.

resolviendo el producto y simplificando, obtengo:

$=2\left({\frac {e^{iz}+e^{-iw}-e^{iw}-e^{-iz}}{4i}}\right)=\left({\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\right)-\left({\frac {e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}\right)$

$=sen\left(z\right)-sen\left(w\right)$

--Josua Da Vinci 18:08 1 dic 2009 (UTC)

KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla

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9.- Describa la geometría de $\cos z$ en la región $\left\{z\epsilon \mathbb {C\mid } 0<Rez<\pi \right\}$. Sugerencia: Usar (1.8).

Para describir la geometría de esta función tomamos la siguiente igualdad

$\sin \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos z$

Que esto nos dice que nuestra nueva grafica sera la del seno pero desfasada ${\frac {\pi }{2}}$

Asi mismo tomando como referencia la figura 1.23 de la pagina 44 del libro de texto nuestro resultado geometrico es el siguiente:

--Oscar Adrian 05:09 2 dic 2009 (UTC)

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