SECCION 1.3.1
1. Sea . ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.
La imagen de la recta horizontal bajo esta función
es la semilinea que surge del origen con argumento ,
entonces lo que pasa por el punto
De igual forma para
Por otra parte tenemos , entonces la linea vertical
se transforma en el circulo de radio
De igual forma para , se transforma en el circulo de radio
--Ralf Gutierrez 03:11 22 nov 2009 (UTC)
2.- Exprese , en la forma .
por propiedades de la exponencial sabemos que:
y que
entonces la exprecion completa seria:
.
--Josua Da Vinci 18:19 17 nov 2009 (UTC)
3.- Demuestre que la funcion exponencial compleja no está acotada en ninguna semirrecta por el origen. Describa la imagen.
Para realizar esta demostracion tomamos la función exponencial compleja de la siguiente manera:
Recordando que la exponencial se puede escribir de la siguiente manera
Ahora tomando la norma al cuadrado en ambos lados
Despejando y elevando a la , tenemos la siguiente expresion:
Tomando el
Hacemos el cambio de variable y tomamos el limite
Para tenemos que ,
haciendo , .
.
Con esto queda demostrado que la exponencial compleja no está acotada
por ninguna semirrecta.
La imagen se transforman en un rayo con ángulo , que parte del
origen y que va creciendo conforme crece la .
--Oscar Adrian 04:19 2 dic 2009 (UTC)
4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje , se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.
Solución.
Basta con demostrar que
Sea
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:
Debemos tener en cuenta que es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir .
--Dali 04:12 15 nov 2009 (UTC)
5 ¿Que puntos del plano complejo cumplen ?
Solución:
Sea y
Entonces
(Recordemos que: y
Por lo tanto
--Dali 07:12 7 dic 2009 (UTC)
SECCION 1.3.2
2 Calcule todos los valores que toman las distintas ramas del logaritmo de .
Solución.
Expresemos en su forma polar
Ahora recordemos que
Si tomamos los valores encontrados para y la ultima expresion toma la forma
De donde el valor principal se obtiene haciendo .
--Dali 07:21 7 dic 2009 (UTC)
SECCION 1.3.3
1.Calcule todos los valores
recordando
, y
=
sustituyendo
Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos
donde
y valen 1 los valores encontrados seran multiplos de
donde k pertenece a los numeros naturales.
Esta expresion puede tomar muchos valores, tantos como variemos "k" porquela expresion que tenemos no tiene modulo
ahora encontrando los valores
donde Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos
para cualquier w
finalmente calculando los valores
para cualquier z
--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.
3.- Demuestre que si , entonces .
Solución.
Sea
Entonces
pues
como
si tomamos el cambio obtenemos que
Pues .
--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)
4. Exhiba para las cuales no se cumpla .
Sean de la forma
como se cumple
desarrollamos:
Esta igualdad se cumple para con
por lo tanto no se cumple para con --Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)
SECCION 1.3.4
1. Pruebe la identidad .
Sabemos que
Entonces
--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)
2. Pruebe que el minimo periodo de las funciones y es .
y para con
Error al representar (función desconocida «\pin»): {\displaystyle sen(z + 2\pi) = sen(z + 2\pin)}
con
entonces el minimo periodo de es .
y para con
Error al representar (función desconocida «\pin»): {\displaystyle cos(z + 2\pi) = cos(z + 2\pin)}
con
entonces el minimo periodo de es .
3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.
Dadas , se cumple la siguiente igualdad
.
Sabemos que
Entonces
--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)
4.- Resuelva , y .
Sabemos que
Y queremos reolver
Entonces igualando estas dos ecuaciones tenemos lo siguiente:
Haciendo un poco de algebra que a continuación se muestra, despejamos , que es el valor del numero que queremos encontrar
Multiplicando lo anterior por
Que esta ya es facil de resolver a partir de
Entonces tetenemos que
Y tomando el logaritmo en ambos lados
para , tenemos que
Y para
Ahora haciendo el mismo procedimiento para , tenemos que
para , tenemos que
--Oscar Adrian 06:05 4 dic 2009 (UTC)
5. Demuestre la identidad
partiendo de que puedo expresar:
y
.
entonces en terminos de las exponenciales obtengo.
.
resolviendo el producto y simplificando, obtengo:
--Josua Da Vinci 18:08 1 dic 2009 (UTC)
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.
--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla
9.- Describa la geometría de en la región .
Sugerencia: Usar (1.8).
Para describir la geometría de esta función tomamos la siguiente igualdad
Que esto nos dice que nuestra nueva grafica sera la del seno pero desfasada
Asi mismo tomando como referencia la figura 1.23 de la pagina 44 del
libro de texto nuestro resultado geometrico es el siguiente:
--Oscar Adrian 05:09 2 dic 2009 (UTC)
Compleja:ej-cap1.1
Compleja:ej-cap1.2
Compleja:ej-cap1.4