Compleja:ej-cap1.2

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EJERCICIOS 1.2.1

1.Demuestre que una una funcion \(f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} \) es continua en \({z_0}\in A\) si y soló si para toda sucesión \({z_n},n\in\mathbb{N}, \) tal que \({z_n}\rightarrow {z_0}\) cuando \(n\rightarrow\infty,\) se tiene \(f(z_n)\rightarrow f(z_0),\) cuando\(n\rightarrow \infty.\)


DEMO:

Supongamos que \( \ f \) es continua en \(\ z_0 \) , es decir\[\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 \]

tal que \(\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon \)

y supongamos que \(\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} \) es una sucesión en \(\ A \) tal que \({z_n}\rightarrow {z_0}\)

P.D.

\(f(z_n)\rightarrow f(z_0)\)


\(\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon \)


como \(\ f\) es continua en \(\ z_0\)


\(\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0\)

\(\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 \)

\(\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta \)


\(\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon\)


\(\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square \)

--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)



2.Demuestre que una sucesión \( \ \lbrace a_n \rbrace\) en \(\mathbb R^n \) es de Cauchy si y sólo es convergente.


DEMO:

Una sucesión en \(\mathbb R^n \) se dice que es de Cauchy si para todo \(\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N \) tal que \(|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N\) .


P.D.


Si la sucesión es convergente, esto es si \(\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N \)


tal que \(|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N\)


\(\Rightarrow \) si \(m,n\geq N ,\) se tiene que


\(\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} \)


\(\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square \)

--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)



EJERCICIOS 1.2.2

4.Demuestre que si AB son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius f,g, respectivamente, entonces la matriz BA representa la composicion gf, que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.

SOLUCION:

tenemos que \(\ f, g \) son transformaciones de Möbius


\(f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}\)


sean \(\ A, B \) las representaciones matriciales de \(\ g, f \) respectivamente


\(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \\ \end{bmatrix}\)

entonces

\(BA = \begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a'a + b'c & c'a + d'c \\ a'b + b'd & c'b + d'd \\ \end{bmatrix}\)


entonces

\(gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}\)

los elementos de la matriz BA son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto gf es biyectiva y de Möbius.


Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que gf es continua y que

\(\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}\)


tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.

--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)


12.¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion \(\quad z\rightarrow \frac{1}{z}\) ?


SOLUCIÓN:

para la imagen notemos que \(\quad z\rightarrow \frac{1}{z}\) es continua exepto cuando \(\ z=0\), por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.

--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)