SECCIÓN 1.1.4
1. Demuestre que:
Se conoce como igualdad de Lagrange
Solución.
Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento esta en el conjunto.
Sea
Supongamos que esta en , es decir,
Tenemos que:
(recordemos algunas expresiones que no serán de utilidad en adelante
♠;
♣ en esta expresión se toma la suma de términos y adicionar el n-ésimo (para tener el lado izquierdo de la expresión)
(En la expresión se utilizó ♣ para posteriormente en hacer un poco de algebra y llegar a la expresión .)
Necesitamos saber si alguno de los elementos de la expresión tiene parecido con algo conocido ó si se anulan entre si, es por eso que se desarrolla el 3er termino de la misma.
Donde nuevamente se utiliza la idea de la expresión ♣ .
Al comparar las expresiones con se observa que:
(Observese bien que el segundo termino de lado derecho de la expresión son los términos.)
Entonces si ahora utilizamos las expresiones , e podemos re-escribir de la manera siguiente:
(En las expresiones se utilizo ♠ y ♣ mas un poco de álgebra)
Resultado Expandido
Error al representar (función desconocida «\begin{align}»): {\displaystyle \begin{align} <center><math>\begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (xii)\\ \end{align} }
(En recordamos que , agrupamos términos y claro mas álgebra)
por lo tanto si .
Aporte de: Dali 03:31 14 oct 2009 (UTC)
2.- Sean numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que ?
Si , entonces
por otro lado
y por lo tanto
--Luis Nava 02:52 5 oct 2009 (UTC)
2.- Sean numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que ?
Vemos que esto es realmente una igualdad cuando los puntos son colineales.
Por demostrar que
Para realizar esta demostración definiremos nuestros numeros en forma polar
Ahora sustuyendo esto en nuestra igualdad tenemos que:
Tamando la norma al cuadrado
Desarrollando temenos que
Simplificando un poco y factorizando del lado izquierdo llegamos a lo siguiente
Escribiendo estas exponenciales en terminos de senos y cosenos
Ya que la función es impar
Despejando
Entonces
para
Esto nos dice que esta igualdad solo se cumple cuando nuestros vectores son colineales, es decir son linealmente dependientes o uno de ellos es cero.
Generalizando esto para n, suponemos que se cumple para n-1
Donde nuestros primeros n-1 terminos lo redefinimos como y el n-esimo como
Y utlizamos el mismo razonamiento
Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.
Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.
Demostracion grafica
Aporte de:Oscar Adrian 03:07 6 oct 2009 (UTC)
3. Encuentre el ínfimo de en la región , y describa en qué puntos se alcanza.
Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que
Por tanto,
Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.
Por otro lado, tenemos que, si
Si tomamos la cota inferior, , la expresión anterior es entonces:
Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una tal que . Para este caso, tenemos dos valores: y ,
de tal forma que, con estos valores,
Con la Fórmula de Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en y tales que
y
Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores y tales que
y
Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, y .
Aporte de: Belen 04:08 12 oct 2009 (UTC)
4. Describir la ecuación de la hipérbola en lenguaje de números complejos.(Este ejercicio no forma parte de los EJERCICICIOS 1.1.4 de CURSO BÁSICO DE VARIABLE COMPLEJA, a sido agregado a está sección porque este tema forma parte de ella
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico
formado por un conjunto de puntos , en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias , a dos puntos fijos llamados focos y , es una costante positiva igual al doble de la distancia (osea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal. (vease fig. 1.1).
Esta es la ecuación de la hipérbola en su forma compleja ,
Aporte de: Pedro Pablo Ramírez Martínez 23:08 17 oct 2010 (UTC)
Compleja:ej-cap1.2
Compleja:ej-cap1.3
Compleja:ej-cap1.4