Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 3,
con el siguiente formato:
Ejercicio 3.13 (Hecht, Optics 4 ed)
Pruebe que la irradiancia de una onda electromagnética armónica está dada por:
y determinar el promedio de la energía por unidad de área transportada por una onda plana de amplitud 15.0 V/m.
- Solución:
Consideremos la onda armónica plana:
Dado este campo eléctrico, podemos obtener el campo magnético recurriendo a las ecuaciones de Maxwell, éste resulta ser:
A continuación, determinamos el vector de Poynting:
ya que,
Así, por definición:
siendo T el periodo alrededor de un ciclo completo.
Además,
.....(1)
Pues,
y ya que, el promedio temporal en un intervalo de longitud T de
y
es el mismo, podemos usar la fórmula pitagórica de las funciones trigonométricas para concluir la ecuación (2).
Por lo tanto:
......(2)
Finalmente, basta considerar la irrandiancia por segundo y sustituir la amplitud en la expresión (2).
--Diego de la Cruz López
Ejercicio 3.6
El campo eléctrico de una onda electromagnética que viaja en la dirección x positiva ,está dada por:
a) Describe verbalmente el campo,b)Determine una expresión para k.
(c) Encuentra la velocidad de fase de la onda.
- Solución:
- Analizando en el origen en z=0, tenemos que ,
, entonces el campo eléctrico es:
![\overrightarrow { E } =0\overrightarrow { j }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42436a6eddac73a47e58b7bdde37c966992d06dd)
- Otro punto donde se anula el campo eléctrico es en
, entonces el campo tiene la forma :
![\overrightarrow { E } ={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z }_{ 0 } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \overrightarrow { j }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed37678307c184f1f59110378f6b69e07257622)
- Notemos que el
, implica:
![\overrightarrow { E } =0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea883746a5dafa15e5d27c645d686c1dac6d1c56)
- Es decir, el campo eléctrico esta polarizado linealmente en la dirección
y varia sinusoidal desde cero en z=0 hasta cero en ![z={ z }_{ 0 }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0807b849ecca31223a3fa5bfcecb4afb0032528b)
- b) Usando la ecuación de onda tenemos:
![\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { y }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { z }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { c }^{ 2 } } \frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial { t }^{ 2 } } =0.........(1)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fd7f56512a00edd0b41cf6f8e5ab0c289f0507)
- Podemos evaluar la expresión para
, al diferenciar la siguiente ecuación 2 veces:
- Haciendo las derivadas:
![\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial x } =\frac { \partial }{ \partial x } \left( { E }_{ y }={ E }_{ 0 }sin\frac { \pi { z } }{ { z }_{ 0 } } cos\left( kx-\varpi t \right) \right)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccce5be56f7665b036782c9256cd3f275358a1bf)
![=-k{ E }_{ o }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } sin(kx-\varpi t)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24741d1b025c17f17608f9c3d8ac7f72e7a43f8c)
- La segunda derivada es:
![\frac { \partial { E }_{ y } }{ \partial { x }^{ 2 } } =-{ k }^{ 2 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(2)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335372ec03f890221747d8b5ba00d7549fc0fca7)
- Similar, para las segundas parciales con respecto a
y
, tenemos:
![\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial y^{ 2 } } =0........(3)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e9c9d81dd521752e377996bb6f8fefd56aae1e2)
![\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial z^{ 2 } } =\frac { -{ \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } { E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(4)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08252e4c27444e6df96a669802fc7d8d1eed2d3c)
![\frac { { \partial }^{ 2 }{ E }_{ y } }{ \partial t^{ 2 } } =-{ \varpi }^{ 2 }{ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)........(5)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edaa46f940cff3d8c4ec63536dd3a6ee74d45f12)
- Sustituyendo la ecuación (2), (3), (4) y (5) en la ecuación (1), obtenemos:
![(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ){ E }_{ 0 }sin\frac { \pi z }{ { z }_{ 0 } } cos(kx-\varpi t)=0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95627118062dec4054cdd4169ba7079608020c43)
- Como esto es verdadero para toda x,z y t, cada término debe ser igual a cero, es decir:
![(-{ k }^{ 2 }-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } )=0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df4ddb133aeefa4b7d516f21696154b00db82f6)
- Despejando:
![-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } ={ k }^{ 2 }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d62c11513fd3856c0a4f2ab98bf921323a217a)
![{ k={ \left( -\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { z }_{ 0 }^{ 2 } } +\frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d2b818701157fd8c185ae1f758455efce04aee)
- De la expresión anterior factorizamos un
, resulta:
![{ k={ \left( \left( \frac { { \varpi }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \right) \left( 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } \right) \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66e511f925b37f6783339747f5ae5088c2b3538)
- Finalmente la expresión para
es:
![{ k=\frac { { \varpi } }{ { c } } \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66446275d8a69e8e66a472fda3a3ba4e81f3b3f2)
- (c) La velocidad de fase de la onda será
![\nu =\frac { \varpi }{ k }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fecd7062eec20e67ba29ef73e1a1d38fe31b0c05)
- Simplificando tenemos:
![\nu { =\frac { { c } }{ { \sqrt { 1-\frac { { \pi }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }{ { \varpi }^{ 2 }{ z }_{ 0 }^{ 2 } } } } } }](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6314258c7ef6a8266c1d701ffb7fe0a867c635)
- --Luis Manuel Chávez antonio
Ejercicio 3.62
Demuestre que la ecuacion (3.70) puede volverse a escribir como:
donde
- Solución:
Ecuación de dispersión:
..........(3.70)
La ecuación dada es :
sustituimos el valor
en la ecuación dada:
Como
y
Esta es la ecuación de dispersión
Por lo tanto:
se puede reescribir como:
--Enrique Ortiz Martinez
Problema 3.4
Imagine una onda electromagnética con su campo E en la dirección del eje x. Demuestre que la ecuación
- Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-∂B/∂t
- aplicada a las ondas armónicas:
y !['''B'''='''B0'''cos(kx-wt)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44da978ba5376f3712ef70578f5453b080824d24)
- lleva a la conclusión de que:
![E0=cB0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253155de3aeac97fa533e55672969bfd70d2774f)
- Solusión:
- Derivando las dos ecuación parcialmente, se tiene que:
- Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂B/∂t=B0w sin〖(kx-wt)〗
- Al igualar hacer uso de la relación entre las derivadas parciales, vemos que:
- Error al representar (error de sintaxis): ∂E/∂x=-E0k sin〖(kx-wt)〗=-∂B/∂t=-B0w sin〖(kx-wt)〗
- Lo que implica que:
![E0k=B0w](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240efad22bfbcecaf3c491615d736d00b6de76e2)
![E0=k/wB0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe97d109578c9adf614c3da91a7ee4f3ec565e5)
- Pero se sabe que
. Entonces
![E0=cB0](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253155de3aeac97fa533e55672969bfd70d2774f)
--Fernando Valencia Hernández
Problema 3.66
En 1871 Sellmeier derivo la ecuación:
Donde la
son términos constantes y cada
es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural
,tal como
. Esta formulación es una mejora considerablemente practica sobre la ecuación de Cauchy. Muestra que donde
la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier .
Pista: Escribe la expresión de arriba solo con el primer termino en la suma ; expandelo por el teorema binomial ; toma la raíz cuadrada de
y expandela otra vez.
Solución:
La ecuacion de Sellmeier dada por:
donde
es una constante y
es la onda de longitud al vació asociada con una frecuencia natural
Consideramos solo el primer termino de la sumatoria
Conocemos la expansión binomial de:
donde
por lo tanto se ignoran los términos de orden superior por que sabemos que
entonces tenemos:
despejando a
vemos que:
................(1)
Nosotros sabemos que la expansión binomial esta dada por:
realizando la expansión con la ecuación (1) tenemos:
desarrollando esta expansión tenemos:
Reordenaremos la ecuación en términos lineales y orden superior:
Ya que
y
son constantes , así que, tomaremos a los términos lineales como otra constante
A los términos cuadráticos la renombraremos por otra constante:
Y de igual forma a los de orden superior :
Por lo anterior podemos ver que
lo podemos reescribir como:
Esto es la ecuación de Cauchy esto quiere decir que la ecuación de Cauchy es una aproximación a la de Sellmeier.
--Ruben Espinosa Guzmán
Ejercicio 3.21
La siguiente es la expresión para el campo $\vec{\bf E}$ de una onda electromagnética que se desplaza en un dieléctrico homogéneo:
- $\vec{\bf E}=\left(-100 V/m\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_x$
- En este caso, $\omega=1.80 \times 10^{15} rad/s$ y $k=1.20 \times 10^7 rad/m$
- (a) Determine el campo $\vec{\bf B}$ asociado. (b) Calcule el índice de refracción. (c) Calcule la permitividad. (d) Encuentre la irradiancia.
- Solución:
- (a) $\vec{\bf B}$ está en la dirección $\hat{\bf e}_y$, dado que la onda se desplaza en la dirección $\vec{\bf E} \times \vec{\bf B}$ y que apunta en la dirección $\hat{\bf e}_z$
- La velocidad es $v=\omega/k$:
- $v=\frac{1.80 \times 10^{15} rad/s}{1.20 \times 10^7 rad/m}=1.5 \times 10^8 m/s$
- $E_0=vB_0=\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)B_0$
- $B_0=\frac{-100 V/m}{1.5 \times 10^8 m/s}=-6.7 \times 10^{-8} T$
- $\vec{\bf B}=\left(-6.7 \times 10^{-8} T\right) e^{i(kz-\omega t)}\hat{\bf e}_y$
- (b) $n=\frac{c}{v}=\frac{2.99\times 10^8 m/s}{1.5 \times 10^8 m/s}$
- $n=1.993$
- (c) $n=\sqrt{K_E}$
- $n^2=K_E$
- $K_E=3.973$
- $\epsilon=\epsilon_0 K_E$
- $\epsilon=(8.8542 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2})3.973$
- $\epsilon=(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2})$
- (d) $I=\frac{\epsilon v}{2}E_0^2$
- $I=\frac{1}{2}\left(3.5181 \times 10^{-11} \frac{C^2}{N m^2}\right)\left(1.5 \times 10^8 m/s\right)\left(-100 V/m\right)$
- $I=26.38575\frac{W}{m^2}$
--Sergio
Problema 3.57
Muestre que para sustancias de baja densidad, como los gases, que tienen una sola frecuencia de resonancia
, el índice de refracción viene dado por:
- Solución:
De la ecuación de dispersión:
Donde:
= Frecuencia de resonancia
= Frecuencia
= Numero de electrones
= Carga del electrón
= Masa del electrón
= Permitividad del espacio libre
= Indice de refracción
Para una sola frecuencia de resonancia, tenemos:
Ya que para materiales de baja densidad
Por lo tanto el segundo termino de la Ec.
es
Y solo se tendra que conservar los dos primeros terminos de la expansión binomial de
Así mediante el uso de la expansión binomial:
Despreciando terminos de orden superior, tenemos:
Comparando la Ec.
con
, obtenemos:
Asi:
ya que partir de la Ec.
--Luis Gutiérrez Melgarejo
Problema 3.16
Demostrar que una formulación más general del problema anterior produce:
Error al representar (error de sintaxis): { \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right]
Para cualquier intervalo T
solución:
el promedio de tiempo de una función viene dado por la sig. ecuación integral:
Error al representar (error de sintaxis): { \left< f(t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ f({ t }^{ , }){ dt }^{ \quad , } }
aquí
esta la función cuyo promedio de tiempo que se desea calcular, T es el periodo de de la función armónica y t una variable ficticia.
sustituyendo
de
Error al representar (error de sintaxis): { \left< { cos }^{ 2 }\omega t \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ T } \int _{ t }^{ t+T }{ { cos }^{ 2 }(\omega { t }^{ \quad , }){ dt }^{ \quad , } }
usamos la siguiente relación del lado derecho:
eso da:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ T } \quad \int _{ t }^{ t+T }{ \left[ \frac { 1+cos(2\omega { t }^{ \quad , }) }{ 2 } \right] }
Error al representar (error de sintaxis): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \{ \int _{ t }^{ t+T }{ d{ t }^{ , }+\int _{ t }^{ t+T }{ \left[ cos(2\omega { t }^{ , }d{ t }^{ , } \right] \} } }
Error al representar (error de sintaxis): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ { t }^{ , }+\left[ \frac { \left[ sen(2\omega { t }^{ , } \right] }{ 2\omega } \right] \right]
Error al representar (error de sintaxis): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } \quad \left[ \left[ t+T \right] -t \right] +\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega (t+T)-sen2\omega t \right]
la ecuación anterior da:
Error al representar (error de sintaxis): \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> =\frac { 1 }{ 2T } [T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left[ sen(2\omega t+2\omega T)-sen2\omega t \right]
se escribe
como la suma en el segundo termino
también en el tercer termino y queda:
Error al representar (error de sintaxis): \frac { 1 }{ 2T } \left[ T+\frac { 1 }{ 2\omega } \left\{ sen(2\omega t+\omega T+\omega T)\\ -sen(2\omega t+\omega T-\omega T) \right\} \right] ec(1)
recordando la relación trigonométrica general:
sustituyendo
usando esto en la ec(1)
usando el termino
para el ultimo parentesis...
=
ahora usamos la expresion general:
y esto da:
Error al representar (error de sintaxis): { \left< { cos }^{ 2 }(\omega t) \right> }_{ T }=\frac { 1 }{ 2 } \left[ 1+senc\omega Tcos2\omega T \right]
--Salvador Alejandro Morales Carranza
Problema 3.35
Una antena parabólica de radar con $2m$ de diámetro trasmite $200 KW$ pulsos de energía. Si la tasa de repetición son $500$ pulsos por segundo, cada uno durando $2 \mu s$. Determinar el promedio de la fuerza de reacción sobre la antena.
-- Solución --
La fuerza se puede calcular mediante la definición de presión:
$F= PA$
- A--> Area de la antena
- Con F la fuerza promediada sobre la antena y P la presión promediada. En este caso la presión por radiación ejerce una fuerza de reacción sobre la antena, entonces:
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/ c$
- Con $\langle{S}\rangle$ el promedio en la energía radiada por la antena:
- $\langle{S}\rangle= Energía/(tiempo)(área)$
- $\langle{S}\rangle= (2 \times 10^5 W)(500 \times 2 \times 10^-{6})/A$
- Entonces $\langle{P}\rangle$ es:
$\langle{P}\rangle= \langle{S}\rangle/c= 6.66 \times 10^{-7}/A [Joules/metro]$
- Por lo tanto, $F=PA= \langle{P}\rangle A= 6.66 \times 10^{-7} [Joules/Metro]= 6.66 \times 10^{-7} [Newtons]$
--Pedro Jesús Julián Salgado
Problema 3.33
Un haz de luz con una irradiancia de 2.00 x 10^6 W / m2 incide normalmente en una superficie que refleja 70.0% y absorbe 30.0%. Calcule la presión de radiación resultante en la superficie.
- Solución:
EL componente reflejado tiene un cambio de impulso, y por lo tanto una presión, de dos veces el impulso incidente.
Entonces:
- $P(reflejado)= 2(70 $%$) \frac{I}{c}$
Mientras para el absorbido
- $P(absorbido)= 2(30 $%$) \frac{I}{c}$
Realizando los calculos
- $P_r=2(70 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.93x10^{-2} N/m^2$
- $P_a=2(30 \%)\frac{2x10^6 W/m^2}{3x10^8 m/s} =0.20x10^{-2} N/m^2$
Por lo tanto
- $P=P_{r} + P_{a} = 1.13x10^{-2}N/m^2$
--Flor Vivar
Ejercicio 3.15
El promedio temporal de una función $f(t)$ calculado sobre un intervalo $T$ está dado por
$ \dfrac{1}{T} \int_t^{t+T} f(t') dt'$
donde $t'$ es una variable muda. Si $\tau = 2 \pi / \omega$ es el periodo de una función armónica, muestre que
$<sin^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = \dfrac{1}{2}$ ,
$<cos^2(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = \dfrac{1}{2}$ ,
$<sin(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t) cos(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t)> = 0$
cuando $T = \tau$ y cuando $T >> \tau$.
Solución:
Haremos un cambio de variable donde $x = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y por ello $dx = - \omega dt \Rightarrow dt = -dx / \omega$. Ahora tenemos las siguientes identidades trigonométricas
$sin^2(x) = \dfrac{1}{2} \left[1 - cos(2 x)\right]$
$cos^2(x) = \dfrac{1}{2} \left[1 + cos(2 x)\right]$
Como debemos integrar estas funciones, haremos lo siguiente:
$I_{\pm} = -\dfrac{1}{2\omega T} \int_a^b \left[1 \pm cos(2 x)\right] dx$
donde $a$ y $b$ son los límites de integración, entonces
$I_{\pm} = -\dfrac{1}{2\omega T} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b$
Consideremos los dos casos, cuando $T = \tau$ y cuando $T >> \tau$.
- $T = \tau = 2 \pi / \omega$
Entonces
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{2 \omega} \dfrac{\omega}{2 \pi} \left[x \pm \dfrac{1}{2} sen(2 x)\right]_a^b$
con $a = \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t$ y $b=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega)$
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{4 \pi} \left\{\left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega (t+2\pi/\omega) \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega (t+2\pi/\omega)\right)\right] - \left[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right)\right]\right\}$
de donde notamos que
$sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega (t+2\pi/\omega)\right) = sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right)$
y por ello simplificamos
$I_{\pm} = - \dfrac{1}{4 \pi} \left\{\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - \omega t - 2 \pi \pm sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right) - \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} + \omega t \mp sin\left(2\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r} - 2\omega t\right) \right\} = \dfrac{2 \pi}{4 \pi} = \dfrac{1}{2}$
Lo cual prueba las primeras dos igualdades.
- Ahora, si $T >> \tau$
Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 21:37 27 oct 2018 (CDT)
Ejercicio 3.65
El cuarzo cristalino tiene indices de refracción de 1.557 y 1.547 a longitudes de onda de 410 ,0 nm y 550 nm, respectivamente. Utilizando solo los primeros dos términos en la ecuación de Cauchy . calcule $C_1$ y $C_2$ y determine el índice de refracción del cuarzo a 610nm.
- Solución:
Augustin-Louis Cauchy definió una ecuación empírica para $n(\lambda)$, su expresión corresponde a la relación en serie de potencias :
$n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}+\frac{C_3}{\lambda^4+...}$
donde las C son todas constantes.
Tomamos los primeros dos términos
$n=C_1+\frac{C_2}{\lambda^2}$
Usaremos el Subíndice A para $\lambda=410.0 nm$ y el subíndice B para $\lambda=550,0 nm$
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$n_A=C_1+\frac{C_2}{\lambda_A^2}$
$n_B=C_1+\frac{C_2}{\lambda_B^2}$
Despejamos $C_1$ de la primera y $C_2$ de la segunda:
$n_A- \frac{C_2}{\lambda_A^2}=C_1$
$n_B \lambda_B^2-C_1 \lambda_B^2=C_2$
Sustituimos $C_1$ en la segunda expresión:
$n_B \lambda_B^2- \left(n_A- \frac{C_2}{\lambda_A^2}\right) \lambda_B^2 = C_2$
Para despejar $C_2$:
$n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 = C_2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)$
$n_B \lambda_B^2- n_ A \lambda_A^2 \left( 1- \frac{ \lambda_B^2 }{ \lambda_A^2 } \right)^{-1} = C_2$
Al sustituir los valores encontramos que $ C_2 = 0.02617 \mu m^2 $
Sustituyendo este valor para encontrar $C_1$:
$n_A- \frac{0.02617 \mu m^2}{\lambda_A^2}=C_1$
$C_1 = 1.401$
Para determinar el valor del índice de refracción del cuarzo cuando $\lambda = 610 nm$, sustituimos los valores de $C_1$ y $C_2$ en la ecuación de Cauchy
$n(610 \times 10^{-9} nm) =1.401+ \frac{0.02617 \times 10^{-12}}{(610 \times 10^{-9})^2 }$
$n(610 \times 10^{-9} nm) = 1.471$