Radiacion: antenas
Introducción
En esencia, una antena es un sistema conductor metálico capaz de radiar y recibir ondas electromagnéticas, y una guía de onda es un tubo metálico conductor por medio del cual se propaga energía electromagnética de alta frecuencia, por lo general entre una antena y un transmisor, un receptor, o ambos.
Electromagnetismo en las antenas
El comportamiento de las ondas electromagnéticas y de cómo se desplazan en el medio queda expresado analíticamente por medio de las ecuaciones de Maxwell[1], que se transcriben a continuación:
Para nuestro caso, las ondas electromagnéticas se propagan en el espacio libre y se tiene Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{J}=0
y la ecuación (1) se reduce a:
Por lo tanto, la ecuación (4) se cumple si el campo magnético se expresa como el rotacional de un potencial, al cual se le asigna el nombre de potencial vectorial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{A}
.
Como la divergencia de un rotacional es cero, se puede establecer entonces:
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mu es la permeabilidad magnética.
De la misma manera, se establece una relación entre el campo eléctrico y el potencial escalar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V . En este caso se tiene sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (2),
Factorizando los rotacionales:
Esta ecuación indica que el campo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
es conservativo, ya que su rotacional es cero, y en este caso se puede expresar como menos el gradiente de un potencial escalar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -\nabla V
, donde el signo menos indica que la fuerza decrece con la distancia.
Tenemos entonces:
O sea,
El campo eléctrico se expresa a través de un potencial vectorial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{A}
y otro escalar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V
.
Campos y radiación de una fuente oscilante localizada
Si consideramos que los potenciales, los campos y la radiación debidos a un sistema de cargas y corrientes varían sinusoidalmente con el tiempo
La solución para el potencial vectorial es:
La integral puede ponerse en forma más familiar si se integra por partes:
Recordemos que: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot(x'\mathbf{J})=\mathbf{J}\cdot(\nabla x')+x'(\nabla\cdot\mathbf{J})
Pero Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla x'=\hat{\mathbf{x'}}
.
Por lo tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot(x'\mathbf{J})=\mathbf{J}_{x'}+x'(\nabla\cdot\mathbf{J})
.
En consecuencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_V x'(\nabla\cdot\mathbf{J})d^3 x'=\int_V \nabla\cdot(x'\mathbf{J})d^3 x'-\int_V \mathbf{J}_{x'} d^3 x'
Donde el primer término es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_S \mathbf{J} x_3'\cdot da
, y como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{J}
esta dentro del volumen V, es cero en la superficie.
Por lo tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_V (\nabla\cdot\mathbf{J})x' d^3x' =-\int_V J_{x'} d^{3}x'
Entonces la ec (10) nos queda:
Para encontrar la ecuación de continuidad, tomamos
Ahora, haciendo uso de la divergencia en esta última ecuación, tenemos
Pero Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot D=\rho
Entonces nos queda
O sea:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\cdot\mathbf{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t} , pero de la ecuación (8) obtenemos
Sustituyendo este resultado en la ecuación (10), nos queda:
Así que el vector potencial se puede escribir como:
en donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{p}=\int x'\rho(x')d^3x'
es el momento dipolar eléctrico.
Dipolo Corto
Un dipolo corto es un dipolo que esta formado por dos conductores de longitud total Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): L muy pequeña comparada a la longitud de onda Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lambda . Los dos conductores están alimentados en el centro del dipolo. Esta vez se toma como hipótesis que la corriente es máxima en el centro del dipolo (en donde está alimentada) y que decae linealmente hacia cero a las extremidades del dipolo.
Hay que notar que la corriente circula en la misma dirección en los dos brazos del dipolo: hacia la derecha en los dos o hacia la izquierda en los dos.
El dipolo corto se diferencia del de Hertz por la distribución no uniforme de la corriente a lo largo de su longitud. No obstante, la teoría del dipolo de Hertz permite descubrir las propiedades del dipolo simétrico.
En particular, en el dipolo simétrico varía la distancia entre las secciones simétricas del conductor y sus parámetros lineales a medida que nos vamos alejando de las terminales del generador.
Dipolo infinitesimal
Un cable lineal infinitesimal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(d\ll\lambda\right) se sitúa simétricamente en el origen del sistema de coordenadas y se orienta a lo largo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_3 . El cable, además de ser muy pequeño Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(l\ll\lambda\right) , es muy delgado. La corriente se asume como constante y esta dada por
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{I}(x'_3)=\hat{a}_{x_{3}}\mathbf{I}_{0}
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): I_{0}=constante
Distribución de corriente en una antenna
El movimiento de las cargas crea una corriente de onda que viaja, con magnitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{I_{0}}{2} , a lo largo de cada uno de los cables. Cuando la corriente llega el final de cada uno de los cables, experimenta una reflexión (de igual magnitud).
Si el diámetro de cada cable es muy pequeño, el patrón de onda estacionaria de la corriente a lo largo de los brazos del dipolo es sinusoidal con un valor nulo al final. La corriente de un dipolo es muy pequeña y puede ser aproximada por una distribución triangular desde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sin\left(\frac{kd}{2}\right)\simeq\frac{kd}{2} donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{kd}{2} es muy pequeño. Esto se puede ver en la Figura 2.
Esta antena consta de dos cables, cada uno con longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{d}{2} con una pequeña separación entre ellos con el fin de aplicar una señal sinusoidal. El movimiento de las cargas crea una corriente de onda que viaja, con magnitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\mathbf{I}_{0}}{2} , a lo largo de cada uno de los cables.
El arreglo geométrico más conveniente para el análisis de un dipolo es generalmente hacerlo simétricamente sobre el origen con su longitud dirigida a lo largo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_3
, tal como se muestra en la Figura (2). Esto no es necesario, pero por lo general es la más simple. Por lo tanto la distribución de corriente esta dada por
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left \{\begin{matrix}\mathbf{I}_{\hat{e}}(x,t)=\rho(x){e}^{-i\omega t}\\\mathbf{J}(x,t)=\mathbf{J}(x){e}^{-i\omega t}\end{matrix}\right ...\left(8\right)
La primera derivada del momento dipolar de un sistema de cargas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): q_{\alpha}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \dot{p}(t')=\frac{d}{dt'}\sum_\alpha q_\alpha \mathbf{r'_\alpha}(t')=\sum_\alpha (q_\alpha \dot{\mathbf{r'}}+\mathbf{r'_\alpha} q_\alpha)...\left(14\right)
Haciendo ahora los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{r'_\alpha} fijos y haciendo cambiar las cargas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): q_\alpha con respecto al tiempo. Un ejemplo sencillo de esta situación se muestra en la fig (2) donde podemos considerar la variación temporal de las cargas como equivalentes al flujo de corrientes entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_3=+\frac{d}{2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_3=-\frac{d}{2} . Así,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \dot{\mathbf{p}}=\sum_\alpha \dot{\mathbf{r}}\dot{q_\alpha}=\vec{I}(t') d\hat{\mathbf{e}}_{3}...\left(15\right)
En cada una de las dos mitades de la antena la corriente tiene la misma dirección, su valor es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{I} en el punto de en el punto de excitación y disminuye de forma aproximadamente lineal hasta anularse en los extremos.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{I}(x_3)=\mathbf{I} (1-\frac{2 \left|x_{3}\right|}{d})...\left(16\right)
Según la ecuación de continuidad [11], la densidad lineal de carga Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \rho es constante a lo largo de cada brazo de la antena, y tiene el valor:
El signo superior corresponde a los valores positivos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_3 y el inferior a los negativos. El momento dipolar es paralelo al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_3 y tiene el valor:
La distribución angular de potencia radiada es
mientras que la potencia radiada total es
Vemos que para una corriente de excitación, la potencia radiada aumenta con el cuadrado de la frecuencia.
Antena Lineal
Consideremos una antena como se muestra en la Fig (2). Esta antena consta de dos cables, cada uno con longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{d}{2} con una pequeña separación entre ellos con el fin de aplicar una señal sinusoidal. El movimiento de las cargas crea una corriente de onda que viaja, con magnitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\mathbf{I}_{0}}{2} , a lo largo de cada uno de los cables.
Si el diámetro de cada cable es muy pequeño, el patrón de onda estacionaria de la corriente a lo largo de los brazos del dipolo es sinusoidal con un valor nulo al final.
La corriente de un dipolo es muy pequeña y puede ser aproximada por una distribución triangular desde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sin\left(\frac{kd}{2}\right)\simeq\frac{kd}{2} donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{kd}{2} es muy pequeño. Esto se puede ver en la Figura 2. La corriente se anula en los extremos de la antena; por lo tanto, la densidad de corriente puede escribirse:
donde la señal de entrada es:
y la densidad de corriente puede escribirse:
para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |x_3|<d_2 . Las funciones delta nos garantizan que la corriente fluye solamente a lo largo del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_3 , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{I} es el valor máximo de la corriente si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): kd\geq\pi . El valor de la corriente en el centro es, por tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{I}=\vec{I}=\sin(\frac{kd}{2})
De modo que
Para calcular las propiedades del campo de radiación producido por esa antena, iniciaremos con la expresión general para el vector potencial:
El vector de inducción magnética esta dado por la expresión:
Expandiendo el rotacional y despreciando el término grad(1/r) ya que no contribuye a la radiación, obtenemos
donde
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{f}(t')\equiv\int_V \vec{J}(r',t')dv'...\left(27\right)
Ahora escribimos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times\vec{f}(t)\sum_{i,j,k}\epsilon_{i,j,k}\hat{\mathbf{e}}_{i}\frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}}=\sum_{i,j,k}\epsilon_{i,j,k}\hat{\mathbf{e}}_{i}\frac{\partial f_{k}}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial x_{j}}=-\frac{1}{c}\sum_{i,j,k}\epsilon_{i,j,k}\hat{\mathbf{e}}_{i} n_j \frac{\partial f_{k}}{\partial t'}...\left(28\right)
Por lo tanto,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times\vec{f}(t')=-\frac{1}{c}\hat{n}\times\frac{\partial \vec{f}}{\partial t'}...\left(29\right)
de lo cual obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B}_{rad}=-\frac{1}{c^{2}r}\hat{n}\times\frac{\partial}{\partial t}\int_{V} \vec{J}(\vec{r'},t')dv'...\left(30\right)
haciendo la sustitución de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial}{\partial t} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial}{\partial t'} es permitible en una aproximación de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): t'=t-\frac{r}{c} , donde r es una constante. Así
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B}_{rad}=-\frac{1}{c}\hat{n}\times \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}...\left(31\right)
Este resultado solo depende de la suposición de que en el punto el el que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B} se mide esta lejos de la fuente.
Regresando a la ecuación (24) y escribiendo explícitamente la dependencia del tiempo, obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{A}(\vec{r},t)=\vec{A}(\vec{r})\mathbf{e}^{-i\omega t}=\frac{1}{c}\int_{V} \frac{\vec{J}(\vec{r'})\mathbf{e}^{-i\omega t} \mathbf{e}^{-i k |\vec{r}-\vec{r'}|}}{|\vec{r}-\vec{r'}|}...\left(32\right) .
Ahora por la ley de los cosenos.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |\vec{r}-\vec{r'}|=(r^2-2\vec{r}\cdot\vec{r'}+r'^2)^{\frac{1}{2}}...\left(33\right)
Donde asumimos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r'\ll r , expandiendo esta expresión obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |\vec{r}-\vec{r'}|=r\left[1-\frac{\hat{n}\cdot\vec{r'}}{r}+\frac{r'^2}{2r^2}-\frac{1}{8}\left(\frac{2\hat{n}\cdot\vec{r'}}{r}\right)^2+...\right]=r-\hat{n}\cdot\vec{r'}+\frac{r'^2}{2r}\sin^2\theta+...\left(34\right)
El denominador de la ecuación (33) se puede aproximar simplemente por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r
Ahora la ecuación (24) se reduce a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{A}\left(\vec{r}\right)=\frac{\mathbf{e}^{i k r}}{cr}\int_V \vec{J}\left(\vec{r'}\right)\mathbf{e}^{-i k r'}\cos\theta dv' ...\left(35\right)
Ahora la cantidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |\vec{r}-\vec{r'}| en el denominador de la ecuación (32) se puede aproximar simplemente por r.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{A}\left(\vec{r}\right)=\hat{\mathbf{e}}_{3}\frac{\vec{I}\mathbf{e}^{i k r}}{c r}\int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}\sin \left(\frac{kd}{2}-k|x_3'|\right)\mathbf{e}^{-i k x_3'\cos \theta}dx'_3...\left(36\right)
por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{A}\left(\vec{r}\right)=\hat{\mathbf{e}}_{3} \frac{2\vec{I}\mathbf{e}^{i k r}}{c k r}\left(\frac{\cos\left(\frac{k d}{2}\cos\theta\right)-\cos\frac{kd}{2}}{\sin^2\theta}\right)...\left(37\right)
puesto que tiene una sola componente, en la dirección Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_3 , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |\hat{n}\times\vec{A}|=A_3 \sin\theta . Por lo tanto, para la ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B}_{rad} , obtenemos
Ahora Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B}_{rad} tiene una dependencia sinusoidal respecto al tiempo, de modo que el promedio al cuadrado de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B}_{rad} es
El tiempo promedio en que el vector de Poyting contribuye a la radiación es
y el promedio de energía radiada por unidad de ángulo sólido es
a distribución angular depende del valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k d . En el límite de las longitudes de onda larga (kd«1), se reduce al caso del dipolo. Para los valores particulares Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k d=\pi , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 2\pi , que corresponden a una (dos) semilongitudes de onda, de oscilación de la corriente a lo largo de la antena, las distribuciones angulares son
Apéndice
Operadores DIferenciales Vectoriales
Teoremas de integrales
Integral por partes
Teorema de la divergencia (Teorema de Gauss)