Introducción
En esencia, una antena es un sistema conductor metálico capaz de radiar y recibir ondas electromagnéticas, y una guía de onda es un tubo metálico conductor por medio del cual se propaga energía electromagnética de alta frecuencia, por lo general entre una antena y un transmisor, un receptor, o ambos.
Electromagnetismo en las antenas
El comportamiento de las ondas electromagnéticas y de cómo se desplazan en el medio queda expresado analíticamente por medio de las ecuaciones de Maxwell[1], que se transcriben a continuación:
Para nuestro caso, las ondas electromagnéticas se propagan en el espacio libre y se tiene
y la ecuación (1) se reduce a:
Por lo tanto, la ecuación (4) se cumple si el campo magnético se expresa como el rotacional de un potencial, al cual se le asigna el nombre de potencial vectorial
.
Como la divergencia de un rotacional es cero, se puede establecer entonces:
donde
es la permeabilidad magnética.
De la misma manera, se establece una relación entre el campo eléctrico y el potencial escalar
. En este caso se tiene sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (2),
Factorizando los rotacionales:
Esta ecuación indica que el campo
es conservativo, ya que su rotacional es cero, y en este caso se puede expresar como menos el gradiente de un potencial escalar
, donde el signo menos indica que la fuerza decrece con la distancia.
Tenemos entonces:
O sea,
El campo eléctrico se expresa a través de un potencial vectorial
y otro escalar
.
Campos y radiación de una fuente oscilante localizada
Si consideramos que los potenciales, los campos y la radiación debidos a un sistema de cargas y corrientes varían sinusoidalmente con el tiempo
La solución para el potencial vectorial es:
La integral puede ponerse en forma más familiar si se integra por partes:
Recordemos que:
Pero
.
Por lo tanto
.
En consecuencia
Donde el primer término es
, y como
esta dentro del volumen V, es cero en la superficie.
Por lo tanto
Entonces la ec (10) nos queda:
Para encontrar la ecuación de continuidad, tomamos
Ahora, haciendo uso de la divergencia en esta última ecuación, tenemos
Pero
Entonces nos queda
O sea:
, pero de la ecuación (8) obtenemos
Sustituyendo este resultado en la ecuación (10), nos queda:
Así que el vector potencial se puede escribir como:
en donde
es el momento dipolar eléctrico.
Dipolo Corto
Un dipolo corto es un dipolo esta formado por dos conductores de longitud total
muy pequeña comparada a la longitud de onda
. Los dos conductores están alimentados en el centro del dipolo. Esta vez se toma como hipótesis que la corriente es máxima en el centro del dipolo (en donde está alimentada) y que decae linealmente hacia cero a las extremidades del dipolo. Hay que notar que la corriente circula en la misma dirección en los dos brazos del dipolo: hacia la derecha en los dos o hacia la izquierda en los dos.
El dipolo corto se diferencia del de Hertz por la distribución no uniforme de la corriente a lo largo de su longitud. No obstante, la teoría del dipolo de Hertz permite descubrir las propiedades del dipolo simétrico.
En particular, en el dipolo simétrico varía la distancia entre las secciones simétricas del conductor y sus parámetros lineales a medida que nos vamos alejando de las terminales del generador.
Un cable lineal infinitesimal
se sitúa simétricamente en el origen del sistema de coordenadas y se orienta a lo largo del eje
. El cable, además de ser muy pequeño
, es muy delgado. La corriente se asume como constante y esta dada por
donde
es constante.
La primera derivada del momento dipolar de un sistema de cargas
Sistema de cargas ![q_{\alpha}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed889eab78ea8c87191a6868306d90600164d00c)
Haciendo ahora los vectores
fijos y haciendo cambiar las cargas
con respecto al tiempo. Un ejemplo sencillo de esta situación se muestra en la fig (2) donde podemos considerar la variación temporal de las cargas como equivalentes al flujo de corrientes entre
y
. Así,
En cada una de las dos mitades de la antena la corriente tiene la misma dirección, su valor es
en el punto de en el punto de excitación y disminuye de forma aproximadamente lineal hasta anularse en los extremos.
Según la ecuación de continuidad [11], la densidad lineal de carga
es constante a lo largo de cada brazo de la antena, y tiene el valor:
El signo superior corresponde a los valores positivos de
y el inferior a los negativos. El momento dipolar es paralelo al eje
y tiene el valor:
La distribución angular de potencia radiada es
mientras que la potencia radiada total es
Vemos que para una corriente de excitación, la potencia radiada aumenta con el cuadrado de la frecuencia.
Antena Lineal
Consideremos una antena como se muestra en la Fig (2). Esta antena consta de dos cables, cada uno con longitud
con una pequeña separación entre ellos con el fin de aplicar una señal sinusoidal. El movimiento de las cargas crea una corriente de onda que viaja,
con magnitud
, a lo largo de cada uno de los cables.
Si el diámetro de cada cable es muy pequeño, el patrón de onda estacionaria de la corriente a lo largo de los brazos del dipolo es sinusoidal con un valor nulo al final.
La corriente de un dipolo es muy pequeña y puede ser aproximada por una distribución triangular desde
donde
es muy pequeño. Esto se puede ver en la Figura 2. La corriente se anula en los extremos de la antena; por lo tanto, la densidad de corriente puede escribirse:
donde la señal de entrada es:
y la densidad de corriente puede escribirse:
para
. Las funciones delta nos garantizan que la corriente fluye solamente a lo largo del eje
,
es el valor máximo de la corriente si
. El valor de la corriente en el centro es, por tanto,
De modo que
Para calcular las propiedades del campo de radiación producido por esa antena, iniciaremos con la expresión general para el vector potencial:
El vector de inducción magnética esta dado por la expresión:
Expandiendo el rotacional y despreciando el término grad(1/r) ya que no contribuye a la radiación, obtenemos
donde
Ahora escribimos
Por lo tanto,
de lo cual obtenemos
haciendo la sustitución de
por
es permitible en una aproximación de
, donde r es una constante. Así
Este resultado solo depende de la suposición de que en el punto el el que
se mide esta lejos de la fuente.
Regresando a la ecuación (24) y escribiendo explícitamente la dependencia del tiempo, obtenemos
.
Ahora por la ley de los cosenos.
Donde asumimos
, expandiendo esta expresión obtenemos
El denominador de la ecuación (33) se puede aproximar simplemente por
Ahora la ecuación (24) se reduce a
Ahora la cantidad
en el denominador de la ecuación (32) se puede aproximar simplemente por r.
por lo que
puesto que tiene una sola componente, en la dirección
,
. Por lo tanto, para la ecuación
, obtenemos
Ahora
tiene una dependencia sinusoidal respecto al tiempo, de modo que el promedio al cuadrado de
es
El tiempo promedio en que el vector de Poyting contribuye a la radiación es
y el promedio de energía radiada por unidad de ángulo sólido es
a distribución angular depende del valor de
. En el límite de las longitudes de onda larga (kd«1), se reduce al caso del dipolo. Para los valores particulares
,
, que corresponden a una (dos) semilongitudes de onda, de oscilación de la corriente a lo largo de la antena, las distribuciones angulares son
Apéndice
Operadores DIferenciales Vectoriales
Teoremas de integrales
Integral por partes
Teorema de la divergencia (Teorema de Gauss)