Sucesiones y series de números complejos=
1.36. Demuestre que toda serie
absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.
Recordemos que una serie
se dice absolutamente convergente si y sólo si
converge.
Proposiciones preliminares:
a) Si
converge,
converge y
, entonces
converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.
b) Si
converge, entonces
converge.
Es consecuencia de a) usando que
.
c) Sea
con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R}
, entonces
converge si y sólo si
converge y
converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.
Demostración.
Sea
con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R}
y
convergente.
Como
, por la proposición a) se deduce que
converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que
converge. (B)
Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.
Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.
--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)
1.40 Si Error al representar (error de sintaxis): \alpha ∈ \mathbb{R}
y
, demuestre que
.
Proposición preliminar:
a) Sean Error al representar (error de sintaxis): \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.
Demostración:
Tenemos que
Además ![0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ea4001390e5a2c72c49b0ef0ecb723c602a6b5)
![\Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0.](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb34f5d5e684f38c5af92c7d6398e59d092cd71b)
De aquí,
Demostración:
Sean
Primero supongamos que
Ya que
, por la proposición a),
.
El recíproco:
Sea
convergente, i.e.,
.
Supongamos
Tenemos que
(*)
Por otra parte, fijemos
.
Como ![a_n-a_m = a_n -a +a - a_m, \Rightarrow \mbox{ (por desigualdad del triángulo) } , |a_n-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a| < \epsilon \mbox{ si } n,m>N.](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e2a1ba4e55b2f0b2ba5b0e98b5fde0f5c32dbe)
De esto y con (*) tenemos que
y como esto sucede
.
--Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
Compleja:z-ej-cap1.0
Compleja:z-ej-cap1.1