Prueba
Ésta es una página de prueba, pueden jugar aqui y modificar para ver que les sale ...
\nabla^{2}
hay que ver la pagina que hizo Elsa
que la guadalupe tiene más visitas que jerusalem.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla^{2}\
Propagación del pulso Gaussiano en la dirección positiva del eje Z
- Esto es una prueba
- prueba 2
- prueba 3
- prueba 2
- Probando, probando: uno, dos, tres.
Mi firma: --Belen 21:46 20 ene 2009 (CST)
que
- ===quefdvvv parffhgnf===
Probando notación
\[Mu] - \[Beta]
\Psi^2 - \[PartialD] x/\[PartialD] t
--topological_neutrino 02:05 11 oct 2007 (CDT)
.gif)
--topological_neutrino 02:05 11 oct 2007 (CDT)
Medios estratificados - Ecuación diferencial
Manuel Fernández Guasti
Medio estratificado
Medios dieléctricos con permitivdad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \varepsilon y permeabilidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mu dependientes de la posicién. La dependencia espacial esté restringida a una direccién en el caso estratificado (digamos en el eje z ). Ondas monocrométicas linealmente polarizadas.
La ecuaciones de Maxwell son equivalentes ante la transformacién Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{E}\leftrightarrow\mathbf{H},\;\varepsilon\leftrightarrow-\mu . De manera que solo ondas TE se necesitan analizar en detalle.
Campo Eléctrico
El campo eléctrico de las ecuaciones de Maxwell para un medio estático,
isotrópico y lineal es
En ausencia de cargas y corrientes
Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ,
entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \varepsilon\left(z\right),\mu\left(z\right) .
Si el campo es TE y la propagación en el plano y-z , entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): E=E_{x}\hat{\mathbf{i}}+E_{y}\hat{\mathbf{j}}+E_{z}\hat{\mathbf{k}}\rightarrow E=E_{x}\left(y,z\right)\hat{\mathbf{i}}
.
puesto que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}\hat{\mathbf{k}} y entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \hat{\mathbf{k}}\times\nabla\times E_{x}\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{k}}\times\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{j}}=-\frac{\partial E_{x}}{\partial z}\hat{\mathbf{i}} .
Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mu\varepsilon\omega^{2}=\frac{n^{2}}{c^{2}}\omega^{2}=n^{2}k_{0}^{2} . ésta ecuacién \eqref{eq: Hy wave eq strat} es el punto de partida del tratamiento que en el B\&W se obtiene de las ecs. de Maxwell en primeras derivadas.
\subsection[soluciones]{Soluciones de la ecuacién diferencial}
Considere que se pueden separar las variables
de manera que se obtiene
donde hay dos partes que dependen solamente de z y y respectivamente \cite[p. 56]{Born05}. Dado que éstas variables son independientes, cada una debe cumplirse para cualquier valor de la otra variable \footnote{ésta condición proviene de la separacién de variables independientes. }. Sea la funcién constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f\left(z\right)=-f\left(y\right)=\sigma^{2}k_{0}^{2} . La existencia de ésta cantidad invariante es la generalizacién de la relacién de Snell para medios inhomogéneos. Las ecuaciones son
entonces para la variable y
y para la variable en z
El parametro variable sufre un corrimiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega^{2}\rightarrow\Omega^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}
respecto al caso unidimensional
\footnote{Como se veré en la siguiente subseccién, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sigma=0
para incidencia
normal.
}. La ecuacién \eqref{eq: ode U} se resuelve por métodos matriciales
en el formalismo de Abeles.
En (nuestro) el formalismo de amplitud y fase, se puede resolver numéricamente ésta ecuacién. Primeramente, eliminar la primera derivada mediante la transformacién Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U=u\sqrt{\mu} , como se muestra en el \ref{sec:ap=E9ndice-amplitud}.
La ecuacién para la la variable Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): u es entonces
El parámetro dependiente de la posicién puede escribirse como
La constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sigma se puede establecer de una regién donde el éndice de refraccién es constante. Si la fase puede escribirse como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}=\mathbf{k}\cdot\mathbf{y}+\mathbf{k}\cdot\mathbf{z}=\left|\mathbf{k}\right|\left|\mathbf{y}\right|\sin\theta+\left|\mathbf{k}\right|\left|\mathbf{z}\right|\cos\theta donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left|\mathbf{k}\right|=k_{0}n\left(z\right) , y el éngulo se mide con respecto a la normal a la superficie estratificada. De
\eqref{eq: ode Y}
Este resultado es consistente con la propagacién en z en una
regién de éndice constante pues
Representacién de amplitud y fase
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int\limits_C n_1\vec s_1 \cdot d\vec r +
Si se considera un medio no magnético Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mu=\mu_{0}
, entonces la
ecuacién \eqref{eq: ode u} se simplifica a
La representacién de amplitud y fase nos permite escribir la ecuacién
para la amplitud (Ermakov) como
Considere una solucién de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): u=A\exp\left(i\phi\right) donde la amplitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A y la fase Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \phi son cantidades reales. La ecuacién
(\ref{eq: ode u sin mu}) deviene en
Para un medio transparente sin abosrcién la permitividad es real.
La parte real de la ecuacién anterior es
mientras que la parte imaginaria es
ésta éltima ecuacién la escribimos como
de manera que si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A no es cero, existe el invariante
Substitucién de este resultado en (\ref{eq: re ode u})
Esta ecuacién es la ecuacién de Ermakov. Para obtener una ecuacién adimensional se escribe el invariante como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Q=k_{0}A_{0}^{2} . La
ecuacién adimensional para la amplitud es entonces
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A_{d}=A/A_{0} es la amplitud adimensional \footnote{El resultado anterior se puede obtener de proponer una solucién de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): u=A\exp[i\int(Q/A^{2})dz] , donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Q es constante. La
segunda derivada de esta funcién es
que al sustituir en (\ref{eq: ode u sin mu}) se obtiene de nuevo la ecuacién de Ermakov. }.
En una comunicacién anterior abordamos el problema de incidencia normal
([#References|references]). La ecuacién diferencial a resolverse es
la misma que \ref{eq: ode amp adi} excepto que en incidencia normal, de la ecuacién de \ref{eq: snell} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \sigma=0 . --FJ777 18:48 13 ago 2008 (CDT) --FJ777 18:51 13 ago 2008 (CDT) --FJ777 18:52 13 ago 2008 (CDT) --FJ777 18:54 13 ago 2008 (CDT) --FJ777 18:54 13 ago 2008 (CDT) --FJ777 18:55 13 ago 2008 (CDT) --FJ777 19:47 13 ago 2008 (CDT) --FJ777 19:48 13 ago 2008 (CDT) --FJ777 19:49 13 ago 2008 (CDT) --FJ777 19:50 13 ago 2008 (CDT)
Soluciones de tangente hiperbólica
Permita que la variacién del éndice de refraccién sea
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_{2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n_{1} son los éndices de refraccién en las regiones 1 y 2 lejos de la interfase donde el éndice es constante y el parémetro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): D corresponde al espesor donde el éndice varéa dentro del 90\ de sus valores iniciales y finales.
La ecuacién diferencial a resolver es entonces
La condicién de frontera se establece en la condicién final. El problema corresponde a establecer la amplitud transmitida y a partir de dicho resultado encontrar las amplitudes incidentes y reflejadas. No es adecuado establecer la condicién inicial como la amplitud incidente, pues en esa regién existiré simulténeamente una onda reflejada cuyo valor es desconocido ([#References|references]).
Considere que la onda incidente viaja en la direccién positiva de la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z y el éndice de refraccién varia alrededor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=0 . Las condiciones
iniciales para la ecuacién diferencial son entonces
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A_{t} es la amplitud adimensional transmitida lejos de la interfase.
campo magnético -revisar/completar
El campo magnético de las ecuaciones de Maxwell para un medio estético,
isotrépico y lineal es
En ausencia de cargas y corrientes
Mientras que si el medio esté estratificado en la direccién Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ,
entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \varepsilon\left(z\right),\mu\left(z\right) .
Si el campo es TE y la propagacién en el plano y-z , entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{H}=H_{x}\hat{\mathbf{i}}+H_{y}\hat{\mathbf{j}}+H_{z}\hat{\mathbf{k}}\rightarrow\mathbf{H}=H_{y}\left(y,z\right)\hat{\mathbf{j}}+H_{z}\left(y,z\right)\hat{\mathbf{k}} .
puesto que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \nabla\times\left[H_{y}\left(y,z\right)\hat{\mathbf{j}}+H_{z}\left(y,z\right)\hat{\mathbf{k}}\right]=\left(\frac{\partial H_{z}}{\partial y}-\frac{\partial H_{y}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{i}} y entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(\frac{\partial H_{z}}{\partial y}-\frac{\partial H_{y}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}}=\left(\frac{\partial H_{z}}{\partial y}-\frac{\partial H_{y}}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{j}} .
Si escribimos explécitamente el laplaciano y la dependencia monocromética
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mu\varepsilon\omega^{2}=\frac{n^{2}}{c^{2}}\omega^{2}=n^{2}k_{0}^{2} .
Invariante
Sean dos soluciones linealmente independientes
Del producto de \eqref{eq: U der V 2} por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{1} menos \eqref{eq: U der V 1}por
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{2} se obtiene
De manera anéloga Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{1}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{1}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): V_{2}'=i\omega\left(\varepsilon-\frac{\alpha^{2}}{c^{2}\mu}\right)U_{2}
De la diferencia \eqref{eq: U V ders}-\eqref{eq:V U ders} de éstas
dos ecuaciones
Coeficientes de reflexión y transmisión
Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): R y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): T las amplitudes complejas del campo eléctrico incidente, reflejado y transmitido.
Continuidad de las contribuciones tangenciales de los campos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{E}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbf{H} , asi como la relación entre ellos para una onda plana
Para una onda TM (transverso eléctrico) plana
Es decir, al incidir en el medio estratificado que inicia en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U\left(z=0\right)=U_{0} existe una onda incidente y una reflejada. Nótese que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U es el campo eléctrico independiente del tiempo como se describe en la ecuación (5) \cite[sec. 1.6.1, p.52 ]{Born75}. Sin embargo, B\&W se refiere a las amplitudes complejas \cite[sec. 1.6.3, p.59-60]{Born75} iguales a los campos.
El campo en la ec. (46) \cite[sec. 1.6.3, p.60]{Born75} se escribe el argumento de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_{1} que es la última capa; nosotros preferimos escribir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_{l} (la última capa) donde ya solamente hay onda transmitida.
\bibliographystyle{alpha} \bibliography{/home/mfg/acad/ext/ref/libros-doc,/home/mfg/acad/dif/curri/ref-mias/mfg-arti}
\appendix
==
La primera derivada de \eqref{eq: ode U} se puede eliminar mediante
la transformación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U=u\sqrt{\mu} , entonces la primera derivada es
mientras que la segunda derivada es
que podemos reagrupar como
La ecuacién diferencial\eqref{eq: ode U} es entonces\begin{multline*} \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}+\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial z}+\left(\frac{1}{4}\left(\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\ln\mu}{\partial z^{2}}\right)u\\ -\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{1}{2}u\frac{\partial\ln\mu}{\partial z}\right)+\left(n^{2}k_{0}^{2}-\sigma^{2}k_{0}^{2}\right)u=0,\end{multline*}
que simplifica a
\end{document}
Solo estoy de curioso pero vamos a ver si entendi bien. --FJ777 18:47 13 ago 2008 (CDT)
--Kanon1106 20:56 20 ene 2009 (CST)
