Un número complejo se puede representar mediante una expresión de la forma
, donde
y
son números reales, e
es un símbolo con la propiedad de que
. El número complejo
también se puede denotar por medio del par ordenado
y graficar como un punto en un plano llamado (plano de Argand), donde el eje
es el eje real y el eje
, el eje imaginario, como en la figura 1.
La parte real del número complejo
es el número real
la parte imaginaria, el número real
.
La suma de dos números complejos se define sumando sus partes reales e imaginarias, respectivamente:
El producto de los números complejos se define de la siguiente manera:
![x_1x_2+x_1y_2i+y_1x_2i+(y_1y_2)i^2](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981effe60f5196b9bde220034590c7793d9f3783)
Ya que
, lo anterior se transforma en
El complejo conjugado del numero complejo
, se define como
.
Para determinar el cociente de dos números complejos, multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.
Forma polar
Si consideramos todo número complejo
![\tilde{z}=x+iy](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31bb333e3458bf5eae215fe3ca09d29ff22e7e4e)
como un punto
en el plano de Argand (figura 1)este puede representarse en términos de coordenadas polares.[1]
.Tenemos
,
Donde
La forma polar de los números complejos proporciona una perspectiva de la multiplicación y la división, Sean
y
expresados en forma polar.Entonces
Con las formulas adición de angulos para coseno y seno, llegamos a
Entonces al multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos:[2]
,(figura 3).
Un análisis similar muestra que para dividir dos números complejos, se dividen los módulos y se restan los argumentos.
La multiplicación y la divisiónen en forma polar es muy simple y se expresan de la iguiente manera:
En donde utilizamos la fórmula de Euler para expresarlas así.
LA fórmula de Euler es:
![\mathbf{e}^{i\theta}=cos\theta+isen\theta\qquad (1)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24917fba25e2c9d9be84ceee76f8ef26aa0bfbbb)
por lo anterior
debido a que
por ser una función par y
por ser una función impar
tenemos que
sumando y substrayendo la ecuación(1)y (2) llegamos a
,
Esta misma formula nos permite escribir
Cualquier número complejo se puede representar como la suma de una parte real
y una parte imaginaria
tal como se menciono anteriormente.
En la forma polar donde
![Re(\tilde{z})=rcos\theta](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bf3657fed46273560471b317af100cac9c70a9)
y
En el caso particular, como es el de describir una onda armónica en su representación compleja , tenemos la libertad de escoger cualquier parte.[3]
Referencias
- ↑ Ruel V.Churchill,Variable compleja y aplicaciones,Ed.McGraww-Hill,1 ed, 1988 pp.14-19
- ↑ James Stewart,Cálculo,Ed.Thomson,México 2006, pp.A79-A85
- ↑ Hehc,Óptica,Ed.Pearson, 3ra ed 2006,pp.23-24
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