Un número complejo se puede representar mediante una expresión de la forma , donde y son números reales, e es un símbolo con la propiedad de que . El número complejo también se puede denotar por medio del par ordenado y graficar como un punto en un plano llamado (plano de Argand), donde el eje es el eje real y el eje , el eje imaginario, como en la figura 1.
La parte real del número complejo es el número real la parte imaginaria, el número real .
La suma y la resta de dos números complejos se definen sumando o restando sus partes reales e imaginarias, respectivamente:
El producto de los números complejos se define de la siguiente manera:
Ya que , lo anterior se transforma en
El complejo conjugado del numero complejo , se define como .
Para determinar el cociente de dos números complejos, multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.
Forma polar
Si consideramos todo número complejo
como un punto en el plano de Argand (figura 1)este puede representarse en términos de coordenadas polares.[1] .Tenemos
,
Donde
La forma polar de los números complejos proporciona una perspectiva de la multiplicación y la división, Sean
y expresados en forma polar.Entonces
Con las formulas adición de angulos para coseno y seno, llegamos a
Entonces al multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos:[2]
,(figura 3).
Un análisis similar muestra que para dividir dos números complejos, se dividen los módulos y se restan los argumentos.
La multiplicación y la divisiónen en forma polares muy simple y se expresan de la iguiente manera:
En donde utilizamos la formula de Euler para expresarla de esta manera.
LA fórmula de Euler es:
por lo anterior
debido a que por ser una función par y por ser una función impar
tenemos que
sumando y substrayendo la ecuación(1)y (2 ) llegamos a
,
Esta misma formula nos permite escribir
Cualquier número complejo se puede representar como la suma de una parte real y una parte imaginaria .:[3]
tal como se menciono anteriormente.
En la forma polar donde
y
En el caso particular, como es el de describir una onda armónica en su representación compleja, tenemos la libertad de escoger cualquier parte.
Referencias
- ↑ Ruel V.Churchill,Variable compleja y aplicaciones,Ed.McGraww-Hill,1 ed, 1988 pp.14-19
- ↑ James Stewart,Cálculo,Ed.Thomson,México 2006, pp.A79-A85
- ↑ Óptica 3ra ED, Hetch Eugene, Editorial Pearson 2006, pp.289-290
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