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| =Sucesiones y series de números complejos== | | ==Sucesiones y series de números complejos== |
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| '''1.36. Demuestre que toda serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.''' | | '''1.36. Demuestre que toda serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.''' |
Sucesiones y series de números complejos
1.36. Demuestre que toda serie
absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.
Recordemos que una serie
se dice absolutamente convergente si y sólo si
converge.
Proposiciones preliminares:
a) Si
converge,
converge y
, entonces
converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.
b) Si
converge, entonces
converge.
Es consecuencia de a) usando que
.
c) Sea
con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_n, b_n ∈ \mathbb{R}
, entonces
converge si y sólo si
converge y
converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.
Demostración.
Sea
con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_n, b_n ∈ \mathbb{R}
y
convergente.
Como
, por la proposición a) se deduce que
converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que
converge. (B)
Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.
Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.
--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)
1.40 Si Error al representar (error de sintaxis): \alpha ∈ \mathbb{R}
y
, demuestre que
.
Proposición preliminar:
a) Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.
Demostración:
Tenemos que
Además ![0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ea4001390e5a2c72c49b0ef0ecb723c602a6b5)
![\Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0.](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb34f5d5e684f38c5af92c7d6398e59d092cd71b)
De aquí,
Demostración:
Sean
Primero supongamos que
Ya que
, por la proposición a),
.
El recíproco:
Sea
convergente, i.e.,
.
Supongamos
Tenemos que
(*)
Por otra parte, fijemos
.
Como ![a_n-a_m = a_n -a +a - a_m, \Rightarrow \mbox{ (por desigualdad del triángulo) } , |a_n-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a| < \epsilon \mbox{ si } n,m>N.](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e2a1ba4e55b2f0b2ba5b0e98b5fde0f5c32dbe)
De esto y con (*) tenemos que
y como esto sucede
.
--Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
Compleja:z-ej-cap1.0
Compleja:z-ej-cap1.1