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Utilizando los resultados del ejercicio anterior (ejercicio 2.21) demuestre que para una onda armónica con fase $\varphi (x,t)=k(x-vt)$ podemos calcular la velocidad estableciendo $\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0$. Aplique la tecnica a la función de onda $\psi (y,t)= A \mathrm{cos} \pi (3*10^{6}y+9*10^{14}t)$. |
Revisión del 19:12 20 oct 2018
Bienvenidos. En esta página pueden dejar las soluciones a sus problemas del Hecht- Capítulo 2, con el siguiente formato:
Problema 1
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
--Gael
Problema 2
Planteamiento del problema
Solución
y su respectiva firma
Etcétera.
Ejercicio 2.39
Indique cuales de las siguientes ecuaciones representan a una onda viajera:
- $\psi (y,t) = exp\left[-\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right)\right]$
- Solución: Para tener una onda viajera se debe tener una dependencia funcional de la forma:
- $\psi = f(y \mp vt)$
- donde $y$ será la dirección de propagación si el signo de $vt$ es negativo y $-y$ si el signo de $vt$ es positivo. Además
- $v = \dfrac{\omega}{k}$
- Notamos que dentro de la exponencial se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo que
- $\left(a^2 y^2 + b^2 t^2 -2abty\right) = \left(ay - bt\right)^2 = a^2 \left(y - bt/a\right)^2$
- de donde concluimos que
- * La onda es viajera con dirección de propagación $+y$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = b / a$
- $\psi (z,t) = A \sin \left(az^2 - bt^2\right)$
- Solución: En este caso el argumento de la función seno tiene una dependencia funcional cuadrática en las coordenadas espaciales y temporales, por ello no tiene una dependencia funcional de la forma $f(z \mp vt)$ y no se trata de una onda viajera.
- $\psi (x,t) = A \sin 2\pi \left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b} \right)^2$
- Solución: Tenemos dentro de la función seno los términos $\left(\dfrac{x}{a} + \dfrac{t}{b}\right)^2 = \dfrac{1}{a^2} \left(x + \dfrac{at}{b}\right)^2$ y por ello
- * La onda es viajera con dirección de propagación $-x$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = a / b$
- $\psi (x,t) = A \cos^2 2\pi \left(t-x\right)$
- Solución: En este caso resulta simple ver que $(t-x) = - (x - t)$ y por ello
- * La onda es viajera con dirección de propagación $+x$
- * La onda tiene una velocidad $v = \omega / k = 1$
Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 13:31 14 oct 2018 (CDT)
Ejercicio 2.21
Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t), y=h(t)$, entonces
- $\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$
- Derive la ecuación (2.34)
- $\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
- Solución:
Para una onda que se propaga con fase constante:
- $\psi(x,t)=A \sin k(x\pm vt)$
- con $\phi(x,t)=k(x\pm vt)=constante$
- Cualquier punto de onda armónica con magnitud fija, se mueve de tal manera que $\phi(x,t)$ sea constante en el tiempo, i.e.,
- $\frac{d}{dt}\phi(x,t)=0$ o de otra forma, $\frac{d}{dt}\psi(x,t)=0$.
- Esto es cierto para toda clase de onda, periódica o no.
Así:
- $\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{dx}{dt}+ \frac{\partial \psi}{\partial t} \frac{dt}{dt}$
- $\frac{d\psi}{dt}=\frac{\partial \psi}{\partial x} (\pm v)+ \frac{\partial \psi}{\partial t} =0$
- Despejando $\pm v$ se obtiene la expersión requerida:
$\pm v=- \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)_x /\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)_t$
- donde el signo de $v$ depende del sentido de propagación de la onda.
--Sergio
Ejercicio 2.49
Demuestre que las ecuaciones (2.64) y (2.65) las cuales son ondas planas de forma arbitraria, satisfacen la ecuación de onda de tres dimensiones diferencial.
- Solución:
Las siguientes dos ecuaciones:
......................(2.64)
......................(2.65)
Son funciones, en las cuales f y g son dos veces diferenciables consideremos una función de la forma:
........(1)
Calculando las derivadas parciales de la ecuación (1) obtenemos:
...............(2)
Agregando las tres derivadas espaciales y utilizando el echo que obtenemos:
Por la consideración anterior tenemos entonces que :
.......(3)
De la ecuación (2) notamos que se puede reescribir como :
..........(4)
Ahora combinando la parte temporal ecuación (4) y la parte espacial ecuación (3) por transitividad tenemos:
Por lo tanto cumple con la ecuación de onda en tres dimensiones
Ruben Espinosa Guzman 21:22 15 oct 2018
Ejercicio 2.45
Demostrar que la parte imaginaria de un número complejo está dada por .
- Solución:
El numero complejo z, tiene la siguiente forma: Donde , es la parte real y es la parte imaginaria del numero complejo Se tiene tambien que el complejo conjugado del numero es Restando el complejo conjugado a el numero complejo antes definido se tiene:
Reorganizando la ecuación anterior para la parte imaginaria , se tiene:
Por lo tanto la parte imaginaria de una numero complejo es:
Luis Gutiérrez Melgarejo 22:13 15 oct 2018
Ejercicio 2.48
Empezando por la ecuación (2.51), compruebe que
y que
- Solución:
La onda armónica plana en coordenadas cartesianas se expresa como:
..........(2.51)
Si , y son los cosenos de dirección de en las direcciones , y respectivamente, entonces:
así, la ecuación (2.51) puede expresarse como:
La magnitud del vector de propagación es:
..........(1)
en términos de componentes, magnitud de ,
..........(2)
de la ecuación (1) y (2):
Enrique Ortiz Martinez 23:08 15 oct 2018
Ejercicio 2.56
Mostrar explícitamente, que la función: describe una onda siempre que
- Solución:
Empecemos escribiendo el vector k y el vector r, en coordenadas cartesianas:
- :
- Haciendo el producto punto de K con r.
- Sustituyendo en la función de onda:
- Tenemos que la ecuación de onda es:
- sustituyendo la función de onda en la ecuación anterior, obtenemos primero del laplaciano:
- El signo menos proviene del hecho de que
- Ahora calculando las parciales con respecto a t:
- Donde la magnitud de k es:
- Tenemos que la función de onda es:
- Ahora comparando con la segunda parcial del tiempo, tenemos que la función de onda es solución si se cumple lo siguiente:
- La última igualdad se cumple solo si:
Finalmente la función de onda es solución si:
Ejercicio 2.40
Dada la onda , calcule su dirección de propagación. Determine algunos valores de y realice un boceto del perfil de onda en t=0 para a=25m^-2 y b=9.0s^2. ¿Cuál es la velocidad de la onda?.
Solución:
Para siplificar los calculos, podemos ver que Por tanto:
- Claramente, como se vio en cursos de cálculo básico. Una función de la forma
- Siendo A y B valores positivos, la función f se desplazará hacía el eje positivo de las x. Por lo tanto la dirección de la propagación de dicha onda, será hacia el eje positivo de x.
- Para encontrar explicitamente el valor de la velocidad, se sabe que la ecucaión dada, el argumento de la exponencial es de la forma:
- Y se sabe que:
- Asi que
- m/s.
- A tiempo t=0 la ecuación de onda queda como:
- .
- Que claramente es una función Gausseana. Es facil ver que cuando x=0. Implica que Por otro lado, cuando x^2>>>1, tiende a 0.
- Se anexa la gráfica de dicha función para apreciar el comportamiento de la Gausseana.
José Fernando Valencia Hernández
Ejercicio 2.25
Muestra que es solución de la ecuación de onda diferencial.
solución:
ecuación de onda diferencial unidimensional es:
aquí es la función de onda, v es la velocidad de onda, t es el tiempo y x representa la distancia
La relación entre velocidad angular, número de onda y velocidad de onda es:
aqui es la velocidad angular y es el numero de onda
por la relacion, ...(1)
sacamos su diferencial con respecto a x
de nuevo diferenciar con respeto a x
....(2)
y sustituyendo en (2) a
diferenciar la ecuación (1) con respecto a una t
y diferenciando de nuevo con respecto a t
multiplicando por
arreglando de nuevo:
...(3)
por ecuación (2) y (3)
.
queda demostrado que la ecuación diferencial dada es solución.
Ejercicio 2.38
¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden a ondas en desplazamiento? ¿Cuál es la velocidad de cada una? Las cantidades a,b y c son constantes positivas.
- (a) $\psi (z,t) = \left(az-bt\right)^2$
- (b)$\psi (x,t) = \left(ax+bt+c\right)^2$
- (c)$\psi (x,t) = \frac{1}{\left(ax^2+b\right)}$
Solución: La forma de las ecuaciones que describen las ondas en desplazamiento es :
- $\psi = f (x \pm vt )$
Y debe satisfacer la ecuación diferencial de onda :
- $\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
Para el inciso (a)
- $\psi (z,t) = \left(z-\frac{b}{a}t\right)^2$
Calculamos sus derivadas parciales a primer orden:
- $\frac{\partial \psi}{\partial z}= 2\left(z-\frac{b}{a}t\right)$
- $\frac{\partial \psi}{\partial t}= -2 \frac{b}{a}\left(z-\frac{b}{a}t\right)$
Sus derivadas a segundo orden :
- $\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}= 2$
- $\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}= 2 \frac{b^2}{a^2}$
Con :$\frac{1}{v^2}= \frac{a^2}{b^2}$
Se cumple que:
- $\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=2=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
- $\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
- Se satisface la ecuación de onda
- Su velocidad es $|v|=\frac{b}{a}$
- Al ser de la forma $\psi = f (x -vt )$ sabemos que la velocidad va en el sentido positivo del eje z
Para el inciso (b)
- $\psi (x,t) = \left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right)^2$
Al igual que en el inciso anterior, para comprobar si se cumple la ecuación de onda , obtenemos las primeras derivadas:
- $\frac{\partial \psi}{\partial x}= 2\left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right)$
- $\frac{\partial \psi}{\partial t}= 2 \frac{b}{a}\left(x+\frac{b}{a}t+\frac{c}{a}\right) $
Las segundas derivadas son:
- $\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}= 2$
- $\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}= 2 \frac{b^2}{a^2}$
Con :$\frac{1}{v^2}= \frac{a^2}{b^2}$
- $\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=2=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
- $\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$
- Se satisface la ecuación de onda
- Su velocidad es $|v|=\frac{b}{a}$
- Como es de la forma $\psi = f (x + vt )$ su velocidad va en el sentido negativo del eje z
Para el inciso (c)
- $\psi (x,t) = \frac{1}{\left(ax^2+b\right)}$
- No tiene una dependencia en t
- $\psi = f (x \pm vt )$
- No cumple con la ecuación de onda
- Por lo tanto, no describe una onda.
Aurea Espin (discusión) 18:26 20 oct 2018 (CDT)
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Ejercicio 2.22
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Utilizando los resultados del ejercicio anterior (ejercicio 2.21) demuestre que para una onda armónica con fase $\varphi (x,t)=k(x-vt)$ podemos calcular la velocidad estableciendo $\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0$. Aplique la tecnica a la función de onda $\psi (y,t)= A \mathrm{cos} \pi (3*10^{6}y+9*10^{14}t)$.