Diferencia entre revisiones de «Fractales»
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Las estructuras fractales son objetos que exhiben | La palabra fractal fue acuñada en 1975 por el matemático Benoît Mandelbrot.Tomando esta palabra del latín fractus o frangere, que sugiere “fragmentado, interrumpido, discontinuo e irregular”. | ||
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A éstos objetos se les asocia una dimensión fraccionaria, de ahí su nombre. | |||
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Los objetos fractales se han desarrollado fundamentalmente en el plano complejo, es decir, con números que contienen una parte real y una imaginaria. | Los objetos fractales se han desarrollado fundamentalmente en el plano complejo, es decir, con números que contienen una parte real y una imaginaria. | ||
Un importante grupo de fractales se produce | Un importante grupo de fractales se produce ante el mapeo cuadrático. | ||
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Se utiliza la iteración | Se utiliza la iteración | ||
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para los distintos puntos del plano complejo y se asocia un valor | para los distintos puntos del plano complejo y se asocia un valor | ||
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Se inicia la iteración con <math>z=0</math>, de manera que los primeros valores | Se inicia la iteración con <math>z=0</math>, de manera que los primeros valores | ||
de <math>z</math> son | de <math>z</math> son | ||
<math>z_{1} = 0 \quad | <math>z_{1} = 0 , \quad z_{2} = c, \quad z_{3} = c^{2}+c,\quad z_{4} = \left(c^{2}+c\right)^{2}+c</math> | ||
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Después de muchas iteraciones se observa si la magnitud del número | Después de muchas iteraciones se observa si la magnitud del número complejo <math>z</math> diverge o se mantiene acotada. | ||
complejo <math>z</math> diverge o se mantiene acotada. Se puede mostrar que | [[Archivo:Fract1.png|200px|thumb|right|figura 1 - Conjunto de Mandelbrot]] | ||
para estar acotada la magnitud debe ser menor que 2. Los puntos del | Se puede mostrar que para estar acotada la magnitud debe ser menor que 2. Los puntos del plano complejo que despues de muchas iteraciones no divergen conforman el ''conjunto (en el plano complejo) acotado ante el mapeo cuadrático (del álgebra de los complejos).'' Dicho conjunto también se conoce | ||
plano complejo que despues de muchas iteraciones no divergen conforman | como el célebre conjunto de [http://fr.wikipedia.org/wiki/Benoît_Mandelbrot Mandelbrot] mostrado en la figura 1. | ||
el ''conjunto (en el plano complejo) acotado ante el mapeo cuadrático | |||
(del álgebra de los complejos).'' Dicho conjunto también se conoce | |||
como conjunto de Mandelbrot. | |||
Para encontrarlo se toma como punto inicial ''c'', un punto del | Para encontrarlo se toma como punto inicial ''c'', un punto del | ||
plano complejo y luego otro y | plano complejo y luego otro y así sucesivamente. A cada punto se le | ||
aplica la iteración cuadrática. La frontera entre los puntos que divergen | aplica la iteración cuadrática. La frontera entre los puntos que divergen | ||
y los que no es extremadamente intrincada | y los que no divergen es extremadamente intrincada. | ||
=== Conjuntos de Julia === | |||
Se considera un punto del plano complejo, digamos <math>c_{0}</math>. Y se comienza | |||
con otro punto en el plano complejo <math>z_{1}</math>. Se realiza la composición | |||
cuadrática más constante de manera iterada | |||
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Las primeras dos iteraciones son | |||
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Se evalúa para los distintos puntos ''z'' del plano complejo. Se evalúa | |||
si el valor iterado de ''z'' está acotado o no. Los puntos acotados | |||
conforman un conjunto en el plano complejo para cada constante <math>c_{0}</math>. | |||
Si el punto inicial es <math>z_{1}=c_{0}</math> entonces el punto es parte de | |||
la iteración a la Mandelbrot y a la Julia. | |||
Cada punto del plano complejo tiene, por así decirlo una ''huella digital''. | |||
== visualización == | |||
El plano complejo se puede mostrar en un espacio bidimensional ([http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Argand Diagrama de Argand]). Cada punto sometido a la iteración cuadrática se puede colorear dependiendo de que tan rápido diverge o si está acotado. Las imágenes que se producen son bidimensionales y pueden ser muy interesantes e inclusive estéticas. | |||
El programa de código abierto y multiplataforma [http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php XaoS] es un programa extremadamente veloz que permite ver e interactuar con algunas de las infinitas estructuras de las iteraciones cuadráticas y varias otras. | |||
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== fractales en hiperplanos == | |||
Aquí nos interesa estudiar los fractales de [[escatores]] ante el mapeo cuadrático. | |||
El conjunto de Mandelbrot se generaliza al conjunto [[ciolal]]. Es posible entonces producir conjuntos acotados ante el mapeo cuadrático en planos que contienen una componente real y dos componentes imaginarias. | |||
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== El fractal de Fibonacci == | |||
Vamos a formar una secuencia de números de la siguiente forma. | |||
Empecemos con el cero y el uno; si los sumamos nos da: | |||
\[0+1 = 1\] | |||
Sumemos ahora el 1 de la derecha con el anterior 1 del lado izquierdo: | |||
\[1+1 = 2\] | |||
Ahora sumemos este 2 con el 1 que está a la izquierda, antes del signo | |||
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\[1+2 = 3\] | |||
y seguimos formando la secuencia, sumando el resultado con el último | |||
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Bonacci, o Fibonacci, nombre que se le quedó), al tratar la cuestión del | |||
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# Se empieza con una pareja inmadura. | |||
# Los conejos maduran una temporada después de haber nacido. | |||
# Las parejas de conejos maduras producen una nueva pareja cada temporada de crianza. | |||
# Los conejos nunca mueren. | |||
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De acuerdo con estas reglas, el número de conejos en una generación es | |||
igual a la suma de las parejas de conejos que hay en las dos generaciones | |||
anteriores. Si se empieza con una pareja, después de una temporada se | |||
produce una nueva pareja. Por tanto, al final de la temporada hay 1 + 1= 2 | |||
parejas de conejos. Si se sigue de esta manera se encuentran los siguientes | |||
números de parejas en las sucesivas temporadas, que es precisamente la secuencia de Fibonacci. |
Revisión actual - 12:38 17 may 2023
La palabra fractal fue acuñada en 1975 por el matemático Benoît Mandelbrot.Tomando esta palabra del latín fractus o frangere, que sugiere “fragmentado, interrumpido, discontinuo e irregular”.
Las estructuras fractales son objetos que exhiben auto similaridad en distintas escalas. A éstos objetos se les asocia una dimensión fraccionaria, de ahí su nombre. Ve por ejemplo una introducción a los fractales en wikipedia.
Los objetos fractales se han desarrollado fundamentalmente en el plano complejo, es decir, con números que contienen una parte real y una imaginaria.
Un importante grupo de fractales se produce ante el mapeo cuadrático.
Mapeo cuadrático
Se utiliza la iteración
una y otra vez, donde es un punto en el plano complejo. Se realiza para los distintos puntos del plano complejo y se asocia un valor a cada punto dependiendo de su comportamiento con las iteraciones. Se inicia la iteración con , de manera que los primeros valores de son
y dado ,
Después de muchas iteraciones se observa si la magnitud del número complejo diverge o se mantiene acotada.
Se puede mostrar que para estar acotada la magnitud debe ser menor que 2. Los puntos del plano complejo que despues de muchas iteraciones no divergen conforman el conjunto (en el plano complejo) acotado ante el mapeo cuadrático (del álgebra de los complejos). Dicho conjunto también se conoce como el célebre conjunto de Mandelbrot mostrado en la figura 1.
Para encontrarlo se toma como punto inicial c, un punto del plano complejo y luego otro y así sucesivamente. A cada punto se le aplica la iteración cuadrática. La frontera entre los puntos que divergen y los que no divergen es extremadamente intrincada.
Conjuntos de Julia
Se considera un punto del plano complejo, digamos . Y se comienza con otro punto en el plano complejo . Se realiza la composición cuadrática más constante de manera iterada
Las primeras dos iteraciones son
Se evalúa para los distintos puntos z del plano complejo. Se evalúa si el valor iterado de z está acotado o no. Los puntos acotados conforman un conjunto en el plano complejo para cada constante .
Si el punto inicial es entonces el punto es parte de la iteración a la Mandelbrot y a la Julia.
Cada punto del plano complejo tiene, por así decirlo una huella digital.
visualización
El plano complejo se puede mostrar en un espacio bidimensional (Diagrama de Argand). Cada punto sometido a la iteración cuadrática se puede colorear dependiendo de que tan rápido diverge o si está acotado. Las imágenes que se producen son bidimensionales y pueden ser muy interesantes e inclusive estéticas.
El programa de código abierto y multiplataforma XaoS es un programa extremadamente veloz que permite ver e interactuar con algunas de las infinitas estructuras de las iteraciones cuadráticas y varias otras.
--mfg-wiki 03:40 22 abr 2012 (UTC)
fractales en hiperplanos
Aquí nos interesa estudiar los fractales de escatores ante el mapeo cuadrático. El conjunto de Mandelbrot se generaliza al conjunto ciolal. Es posible entonces producir conjuntos acotados ante el mapeo cuadrático en planos que contienen una componente real y dos componentes imaginarias.
--Manuel-tepal 22:58 9 sep 2007 (CDT)
El fractal de Fibonacci
Vamos a formar una secuencia de números de la siguiente forma. Empecemos con el cero y el uno; si los sumamos nos da: \[0+1 = 1\] Sumemos ahora el 1 de la derecha con el anterior 1 del lado izquierdo: \[1+1 = 2\] Ahora sumemos este 2 con el 1 que está a la izquierda, antes del signo igual: \[1+2 = 3\] y seguimos formando la secuencia, sumando el resultado con el último número del lado izquierdo: \[2 + 3 =5\] \[3 + 5 = 8\] \[5 + 8 = 13\] y así sucesivamente. De esta manera se forma la secuencia llamada de Fibonacci, que es, \[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...\]
La secuencia de Fibonacci fue obtenida por primera vez en 1202 por el matemático italiano Leonardo de Pisa, hijo de Bonacci (en italiano, figlio de Bonacci, o Fibonacci, nombre que se le quedó), al tratar la cuestión del crecimiento de una población de conejos. Se hizo la pregunta de cuántas parejas de conejos habrá después de cierto número de temporadas de crianza, esto es, cómo se multiplican los conejos. Para simplificar supuso lo siguiente:
- Se empieza con una pareja inmadura.
- Los conejos maduran una temporada después de haber nacido.
- Las parejas de conejos maduras producen una nueva pareja cada temporada de crianza.
- Los conejos nunca mueren.
De acuerdo con estas reglas, el número de conejos en una generación es igual a la suma de las parejas de conejos que hay en las dos generaciones anteriores. Si se empieza con una pareja, después de una temporada se produce una nueva pareja. Por tanto, al final de la temporada hay 1 + 1= 2 parejas de conejos. Si se sigue de esta manera se encuentran los siguientes números de parejas en las sucesivas temporadas, que es precisamente la secuencia de Fibonacci.