Fractales

De luz-wiki

La palabra fractal fue acuñada en 1975 por el matemático Benoît Mandelbrot.Tomando esta palabra del latín fractus o frangere, que sugiere “fragmentado, interrumpido, discontinuo e irregular”.

Las estructuras fractales son objetos que exhiben autosimilaridad en distintas escalas. A éstos objetos se les asocia una dimensión fraccionaria, de ahi su nombre. Ve por ejemplo una introducción a los fractales en wikipedia.

Los objetos fractales se han desarrollado fundamentalmente en el plano complejo, es decir, con números que contienen una parte real y una imaginaria.

Un importante grupo de fractales se produce ante el mapeo cuadrático.

mapeo cuadrático

Se utiliza la iteración

\(z=z^{2}+c\)

una y otra vez, donde \(c\) es un punto en el plano complejo. Se realiza para los distintos puntos del plano complejo y se asocia un valor a cada punto \(c\) dependiendo de su comportamiento con las iteraciones. Se inicia la iteración con \(z=0\), de manera que los primeros valores de \(z\) son

\(z_{1} = 0 , \quad z_{2} = c, \quad z_{3} = c^{2}+c,\quad z_{4} = \left(c^{2}+c\right)^{2}+c\)

y dado \(z_{n}\),

\(z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\)

Después de muchas iteraciones se observa si la magnitud del número complejo \(z\) diverge o se mantiene acotada.

figura 1 - Conjunto de Mandelbrot

Se puede mostrar que para estar acotada la magnitud debe ser menor que 2. Los puntos del plano complejo que despues de muchas iteraciones no divergen conforman el conjunto (en el plano complejo) acotado ante el mapeo cuadrático (del álgebra de los complejos). Dicho conjunto también se conoce como el célebre conjunto de Mandelbrot mostrado en la figura 1.

Para encontrarlo se toma como punto inicial c, un punto del plano complejo y luego otro y asi sucesivamente. A cada punto se le aplica la iteración cuadrática. La frontera entre los puntos que divergen y los que no divergen es extremadamente intrincada.

conjuntos de Julia

Se considera un punto del plano complejo, digamos \(c_{0}\). Y se comienza con otro punto en el plano complejo \(z_{1}\). Se realiza la composición cuadrática más constante de manera iterada

\(z_{n+1}=z_{n}^{2}+c_{0}\)

Las primeras dos iteraciones son

\(z_{2} = z_{1}^{2}+c_{0},\quad z_{3} = \left(z_{1}^{2}+c_{0}\right)^{2}+c_{0}\)

Se evalúa para los distintos puntos z del plano complejo. Se evalúa si el valor iterado de z está acotado o no. Los puntos acotados conforman un conjunto en el plano complejo para cada constante \(c_{0}\).

Si el punto inicial es \(z_{1}=c_{0}\) entonces el punto es parte de la iteración a la Mandelbrot y a la Julia.

Cada punto del plano complejo tiene, por así decirlo una huella digital.

visualización

El plano complejo se puede mostrar en un espacio bidimensional (Diagrama de Argand). Cada punto sometido a la iteración cuadrática se puede colorear dependiendo de que tan rápido diverge o si está acotado. Las imágenes que se producen son bidimensionales y pueden ser muuuy interesantes e inclusive estéticas.

El programa de código abierto y multiplataforma XaoS es un programa extremadamente veloz que permite ver e interactuar con algunas de las infinitas estructuras de las iteraciones cuadráticas y varias otras.

--mfg-wiki 03:40 22 abr 2012 (UTC)

fractales en hiperplanos

Aquí nos interesa estudiar los fractales de escatores ante el mapeo cuadrático. El conjunto de Mandelbrot se generaliza al conjunto ciolal. Es posible entonces producir conjuntos acotados ante el mapeo cuadrático en planos que contienen una componente real y dos componentes imaginarias.

Conjunto ciolal

--Manuel-tepal 22:58 9 sep 2007 (CDT)

El fractal de Fibonacci

Vamos a formar una secuencia de números de la siguiente forma. Empecemos con el cero y el uno; si los sumamos nos da: \[0+1 = 1\] Sumemos ahora el 1 de la derecha con el anterior 1 del lado izquierdo: \[1+1 = 2\] Ahora sumemos este 2 con el 1 que está a la izquierda, antes del signo igual: \[1+2 = 3\] y seguimos formando la secuencia, sumando el resultado con el último número del lado izquierdo: \[2 + 3 =5\] \[3 + 5 = 8\] \[5 + 8 = 13\] y así sucesivamente. De esta manera se forma la secuencia llamada de Fibonacci, que es, \[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...\]


El fractal de Fibonacci

La secuencia de Fibonacci fue obtenida por primera vez en 1202 por el matemático italiano Leonardo de Pisa, hijo de Bonacci (en italiano, figlio de Bonacci, o Fibonacci, nombre que se le quedó), al tratar la cuestión del crecimiento de una población de conejos. Se hizo la pregunta de cuántas parejas de conejos habrá después de cierto número de temporadas de crianza, esto es, cómo se multiplican los conejos. Para simplificar supuso lo siguiente:

\[1. Se empieza con una pareja inmadura.\] \[2. Los conejos maduran una temporada después de haber nacido.\] \[3. Las parejas de conejos maduras producen una nueva pareja cada\] \[temporada de crianza.\] \[4. Los conejos nunca mueren.\]


Serie de Fibonacci

De acuerdo con estas reglas, el número de conejos en una generación es igual a la suma de las parejas de conejos que hay en las dos generaciones anteriores. Si se empieza con una pareja, después de una temporada se produce una nueva pareja. Por tanto, al final de la temporada hay 1 + 1= 2 parejas de conejos. Si se sigue de esta manera se encuentran los siguientes números de parejas en las sucesivas temporadas, que es precisamente la secuencia de Fibonacci.