Optica: Vector de Poynting

1.1 Deduccion del Vector de Poynting

El vector de Poynting es un vector cuyo módulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética y cuya dirección y sentido son los de propagación de la onda electromagnética. Representado en funcion del campo electrico y magnetico

$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

y en forma compleja

$\left\langle \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {c}{8\pi }}Re(\mathbf {E} \times \mathbf {H} ^{*})$

Para deducir esta ecuación utlizaremos el principio de conservación de energia que se define por una ecuación de conservación

$\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

donde j es el flujo que sale de una superfice de volumen y la parte derecha de la ecuacion es el cambio en la densidad dentro del volumen.

La ecuación de conservacion de energia se encuentra limitada por restricciones impuestas por la teroia de la relatividad ya que al denfinir eventos simultaneos estos unicamente pueden ser medidios al ser cercanos entre ellos, por lo que nos reduce esta conservación de la energia a localidades Pero esta ecuación por si sola tiene huecos en lo que respecta a la conservacion local de la energia, estos son limitados gracias a la restricciones impuestas por la teoria de la relatividad las cuales debido a la definición de eventos simultaneos unicamente podremos considerar una conservación local de la energia.

Por otra parte tenemos una un vector el cual representa un flujo de energia atraves de una superficie aun que en el lugar no exista una densidad de energia.

De esta forma podemos extrapolar el principio de conservacion de la energia a el electromagnetismo donde definimos u como la densidad de energia y S el vector de flujo de la energia .

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S}$

Pero esta ecuacion no esta completa ya que el campo que sale del volumen no se conserva debido a que debemos de tomar en cuenta la transformacion de materia en energia y viceversa, debido a esto debemos de incluir un termino extra para incluir el trabajo dentro del volumen.

$-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{v}\mathbf {u} \,dv=\int _{S}\mathbf {S} \cdot \mathbf {n} \,da+\int _{v}\mathbf {E} \cdot \mathbf {j} \,dv$

$-{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {E} \cdot j$

en este punto se realizan dos suposiciones , una es que el medio macroscopico es lineal para las propiedades magneticas y electicas, por lo que no hay dispersión ni perdidas, y la segunda es que la suma de los campos representa la densidad total de energia electromagnetica , aun para campos que varian en el tiempo.

Ahora utlizando las ecuaciones de Maxwell $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {\jmath } +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ podemos obtener las igualdades para los terminos de esta ecuación despejando $\mathbf {j}$ de la ecuacion y realizando el producto $\mathbf {E} \cdot \mathbf {j}$ donde

$\mathbf {E} \cdot \mathbf {j} \epsilon _{0}c^{2}\mathbf {E} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )-\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

donde laparte izquierda de la expresión podemos expresarla en la siguente forma

$\epsilon _{0}\mathbf {E} {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}({\frac {\partial }{\partial t}})({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )$

El termino de la izquierda hay que tener cuidado al trabajarlo debido a que la divergencia actua sobre los dos campos y no es posible realizar el algebra para reacomodar los vectores.

$\mathbf {\nabla \cdot (B\times E)} \neq \mathbf {E\cdot (\nabla \times B)}$

definiremos la divergencia entonces de forma que se aplique sobre ambos campos

$\mathbf {\nabla \cdot (B\times E)} =\mathbf {\nabla _{B}\cdot (B\times E)} +\mathbf {\nabla _{E}\cdot (B\times E)}$

donde el gradiente se divide en cada uno de los campos sobre el que se aplica, esto es utlizando el gradiente de la misma forma que se utlizaria una derivada de un producto y podemos entonces aplicar el algebra vectorial a estos productos.

$\mathbf {a\cdot b\times c=b\cdot c\times a}$

por lo que obtendremos un termino

$\mathbf {B\cdot E\times \nabla _{E}}$

$\mathbf {B\cdot (E\times \nabla _{E})=-B(\nabla _{E}\times E)}$

y asi la expresion

$\mathbf {\nabla \cdot (B\times E)=E\cdot (\nabla _{B}\times B)-B(\nabla _{E}\times E)}$

puede reescribirse en la notacion normal

$\mathbf {\nabla \cdot (B\times E)=E\cdot (\nabla \times B)-B(\nabla \times E)}$

ahora tendremos nuestra ecuacion de energia

$\mathbf {E\cdot j} =\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {\nabla \cdot (B\times E)} +\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {B\cdot (\nabla \times E)} -{\frac {\partial }{\partial t}}({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\mathbf {E\cdot E} )$

ahora regresando otra ves a las ecuaciones de maxwell podemos sustituir el rotacional de E

$\mathbf {B\cdot (\nabla \times E)=B\cdot } (-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}({\frac {\mathbf {B\cdot B} }{2}})$

tendremos los demas terminos.

$\mathbf {E} \cdot \mathbf {j} =\nabla \cdot (\epsilon _{0}c^{2}\mathbf {B} \times \mathbf {E} )-{\frac {\partial }{\partial t}}({\frac {\epsilon _{0}c^{2}}{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} +{\frac {\epsilon _{o}}{2}}\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )$

de donde al comparar con la ecuacion de conservacion podemos obtener la expresión para el Vector de Poynting.

$\mathbf {S} =\epsilon _{0}c^{2}(\mathbf {B} \times \mathbf {E} )$

1.2 Promediando Funciones Armonicas

Es evidente que $\mathbf {E} \times \mathbf {B}$ oscila entre maximos y minimos, y debido a que es el cuadradado de la funcion esto ocila dos veces mas rapido que los campos separados, por lo tanto su valor instantanéo es muy poco practico de medir.

Por lo que se recomiendoa que emplear un promedios, es decir medir la energia radiante absorbida durante un intervalo finito de tiempo, puesto que un medidor no puede hacer una medición instantanea.

A este tipo de calculo tambien se le conoce como irradiancia la cual es la energia medida por unidad de area por unidad de tiempo.

$I\equiv \left\langle \mathbf {S} \right\rangle _{t}={\frac {c\epsilon _{0}}{2}}E_{0}^{2}$

2. Teorema de Poynting en una material linealmente dispersivo con perdidas

Partiendo de la conservacion de la energia y utlizando el mismo procedimiento que se utlizo para obtener el vector de Poynting podemos llegar a la expresión

$\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} d^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \mathbf {\times } \mathbf {H} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right]d^{3}x$

ahora como estamos en medios los cuales si presentan dispersion y perdidas debemos de hacer una descomposision de furier de los campos tal que

$\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dw\mathbf {E} (\mathbf {x} ,w)e^{-iwt}$

$\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dw\mathbf {D} (\mathbf {x} ,w)e^{-iwt}$

Ahora supondremos la linealidad de los campos y su isotropia , por lo que implica que $\mathbf {D} (x,w)=\epsilon (w)\mathbf {E} (x,w)$ donde $\epsilon$ es un numero complejo que es suceptible a la frecuencia, analogamente el campo magnetico.

Esto tambien implica que los terminos que tiene derivadas respecto del tiempo, no son la derivada unicamente, por lo que es necesario reescribirlos en terminos de ls integrales de fourier con dependencias implicitas del tiempo.

$\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\int dw\int dw'\mathbf {E} ^{*}(w')\left[-iw\epsilon (w)\right]\cdot \mathbf {E} (w)e^{-i(w-w')t}$

dividiendo esta integral en partes y suponiendo que el campo electico esta dominado por componentes de frecuencias en rangos relativamente cercanos a los intervalos de frecuencias caracteristicos en los cuales $\epsilon (w)$ cambia apreciablemnte obtendremos.

$\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\int dw\int dw'\mathbf {E} ^{*}(w')\cdot \mathbf {E} (w)wIm\epsilon (w)e^{-i(w-w')t}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{2}}\int dw\int dw'\mathbf {E} ^{*}(w')\cdot \mathbf {E} (w){\frac {d}{dw}}\left[w\epsilon ^{*}(w)\right]e^{-i(w-w')t}$

analogamente se puede calcular una expresion para $\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ que si consideramos a $\epsilon$ y a $\mu$ como independientes de la frecuencia y reales, repueraresmos los terminos del vector de poynting original .

Calculando ahora el valor para la ecuacion de continuidad con las ecuaciones dependientes del tiempo anteriores obtendremos el teorema de Poynting para medios dispersivos con perdidas

${\frac {\partial u_{e}ff}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J\cdot E} -w_{0}Im\epsilon (w_{0})\left\langle \mathbf {E} (x,t)\mathbf {\cdot E} (x,t)\right\rangle -w_{0}Im\mu (w_{0})\left\langle \mathbf {H} (x,t)\mathbf {\cdot H} (x,t)\right\rangle$

De esta ecuacion el primer termino de la derecha representa las perdidas ohmicas si las hay, el temino que le sigue la disipacion del medio, en una situacion real habra perdidas por calentamiento del medio llevando a el decaimiento de la energia en los campos .