Optica: Vector de Poynting

1.1 Deduccion del Vector de Poynting

El vector de Poynting es un vector cuyo módulo representa la intensidad instantánea de energía electromagnética y cuya dirección y sentido son los de propagación de la onda electromagnética. Representado en funcion del campo electrico y magnetico

$S={\frac {c}{4\pi }}E\times H$

y en forma compleja

$\left\langle S\right\rangle ={\frac {c}{8\pi }}Re(E\times H^{*})$

Para deducir esta ecuación utlizaremos el principio de conservación de energia que se define por una ecuación de conservación

$\nabla \cdot j=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

donde j es el flujo qeu sale de una superfice de volumen y la parte derecha de la ecuacion es el cambio en la densidad dentro del volumen.

Pero esta ecuación por si sola tiene huecos en lo que respecta a la conservacion local de la energia, estos son limitados gracias a la restricciones impuestas por la teoria de la relatividad las cuales debido a la definición de eventos simultaneos unicamente podremos considerar una conservación local de la energia.

Por otra parte tenemos una un vector el cual representa un flujo de enrgia atraves de una superficie aun que en el lugar no exista una densidad de energia.

De esta forma podemos extrapolar el principio de conservacion de la energia a el electromagnetismo donde definimos u como la densidad de energia y S el vector de flujo de la energia .

${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot S$

Pero esta ecuacion no esta completa ya que el campo que sale del volumen no se conserva debido a que debemos de tomar en cuenta la transformacion de materia en energia y viceversa, debido a esto debemos de incluir un termino extra para incluir el trabajo dentro del volumen.

$-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{v}u\,dv=\int _{S}S\cdot n\,da+\int _{v}E\cdot j\,dv$

$-{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot S+E\cdot j$

en este punto se realizan dos suposiciones , una es que el medio macroscopico es lineal para las propiedades magneticas y electicas, por lo que no hay dispersión ni perdidas, y la segunda es qeu la suma de los campos representa la densidad total de energia electromagnetica , aun para campos que varian en el tiempo.

Ahora utlizando las ecuaciones de Maxwell ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {\jmath }}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$ podemos obtener las igualdades para los terminos de esta ecuación despejando $j$ de la ecuacion y realizando el produco $E\cdot j$ tendremos los demas terminos.

${\vec {E}}\cdot {\vec {j}}=\nabla \cdot (\epsilon _{0}c^{2}{\vec {B}}\times {\vec {E}})-{\frac {\partial }{\partial t}}({\frac {\epsilon _{0}c^{2}}{2}}{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}+{\frac {\epsilon _{o}}{2}}{\vec {E}}\cdot {\vec {E}})$

de donde al comparar con la ecuacion de conservacion podemos obtener la expresión para el Vector de Poynting.

${\vec {S}}=\epsilon _{0}c^{2}({\vec {B}}\times {\vec {E}})$

1.2 Promediando Funciones Armonicas

Es evidente que ${\vec {E}}\times {\vec {B}}$ oscila entre maximos y minimos, y debido a que es el cuadradado de la funcion esto ocila dos veces mas rapido que los campos separados, por lo tanto su valor instantanéo es muy poco practico de medir.

Por lo que se recomiendoa que emplear un promedios, es decir que abosrabamos la energia radiante durante un intervalo finito de tiempo, puesto que un medidor no puede hacer una medición instantanea.

A este tipo de calculo tambien se le conoce como irradiancia la cual es la energia medida por unidad de area por unidad de tiempo.

$I\equiv \left\langle S\right\rangle _{t}={\frac {c\epsilon _{0}}{2}}E_{0}^{2}$