aproximación paraxial: soluciones Gaussianas
ecuación diferencial
La ecuación de onda
para una onda monocromática deviene en la ecuación de Helmholtz
donde .
Considere que la onda se propaga preferencialmente en la dirección z,
donde es un campo complejo [1]. El gradiente es entonces
y el laplaciano escrito como la divergencia del gradiente es
pero
de manera que
La ecuación de Helmhlotz (sin aproximaciones aún) es entonces
La aproximación paraxial requiere que y
El operador nabla se puede expresar en términos de un operador transversal
mas un operador longitudinal .
En coordenadas cartesianas
o en coordenadas cilíndricas .
De manera que el laplaciano se puede sustituir por el laplaciano transversal para obtener la ecuación de onda paraxial
que es una ecuación parabólica.
soluciones
Una solución exacta de la ecuación de onda son las ondas esféricas
Demostración: El gradiente de la magnitud radial es .
De manera que
El laplaciano es entonces
pero y
de manera que el laplaciano deviene
y se satisface la ecuación de onda monocromática.
solución aproximada
La expansión de la distancia radial
en ejes cartesianos con una dirección preferencial, digamos z
es
La solución aproximada del resultado esférico exacto es entonces
Si se expresa ésta ecuación en términos de la forma preferencial \eqref{eq: sol pref},
se obtiene
Éste resultado es la solución exacta a la ecuación diferencial aproximada
\eqref{eq: dif paraxial}.
Demostración: El gradiente transversal es
y el laplaciano transversal
que puede escribirse como
Mientras que la primera derivada longitudinal es
de manera que satisface exactamente la ecuación paraxial.
Ondas Gaussianas - solución acotada
Considere la solución para compleja, .
El término involucrando la dirección de propagación puede escribirse
como
El primer término involucra la fase y se describe por el inverso de la función radio de curvatura
El segundo término, puesto que en la fase \eqref{eq: sol u pref}
está multiplicada por , es una amplitud decreciente en las direcciones
transversales
De manera que corresponde a una Gaussiana en ambos ejes transversales
que decae a a una distancia
donde hemos utilizado la relación . Para
definir el valor de las constantes a, b en términos de cantidades
con mayor significado físico, considere el plano , entonces
donde es el valor mínimo de la función
y se conoce como la cintura del haz
Por otro lado, si se considera el plano , entonces
. Puesto que el área del haz es
, en la distancia el área se duplica. Ésta distancia
se conoce en física como distancia de Rayleigh
En el ámbito fotográfico, es una medida de la profundidad de campo
que estima la nitidez de las imágienes en distintos planos.
El radio del haz (donde decae a ) es entonces
El radio de curvatura es
La representación polar de
es
puede reescribirse como
y
de manera que
mientras que la fase es
La amplitud compleja es entonces
La solución de la ecuación diferencial en la aproximación paraxial
es una Gaussiana dada por
Gráficas de esta función se encuentran en la página de Ondas:_Gaussianas
- ↑ Siegman A., Lasers, University Science Books, 1986 [cap.16 p. 626]