--Luis Antonio (discusión) 23:03 10 dic 2012 (CST)
1.5 Sean
y ![W](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7)
. Demostrar que:
(a)
Veamos, sabemos que
, el conjugado de un número complejo es
, por ende nuestro número complejo conjugado tiene a su conjugado
esto es z.
Por lo tanto nuestra igualdad se cumple se cumple.
(b)
.
Sean
;
, entonces;
Veamos
(c)
(d)
Si z≠0 entonces,
;
Si z≠0, entonces
1.7 Si z= a+bi, demostrar que
e
1.12. Calcule las raíces indicadas:
Raíces cuadradas de w=i
1. Raíces cuadradas de w=
Observamos que
y
.
Entoces con nuestra definición
para
Para
; tenemos que
Estas son las 2 raíces cuadradas para
Si le diéramos más valores a K lo único que estaríamos haciendo es darle vueltas a nuestro circulo de radio 1, donde se encuentran contenidas nuestras raíces.
2. Raíces cuartas de
Observamos
y
Nuestra formula de obtención de raíces queda;
Como ya sabemos K es lo que varía para obtener nuestras raíces
3. Raíces sextas de
Vemos que
Entonces nuestra ecuaciòn de raíces queda;
4.Raíces cúbicas de
Vemos que
Nuestra ecuación queda;
5. Raíces cuartas de
Nuestra ecuación queda
6. Raíces quintas de
Nuestra ecuación queda
1.22 Sea
cualquier conjunto muestre que:
es abierto relativo en
.
Puesto que dice que
puede ser cualquier conjunto, lo escogemos abierto, entonces
será abierto relativo tal que exista un
, tal que
Dado que
contiene a
, entonces cumple con la primera parte del parrafo 1 del texto en la pagina 17.
Si
,.....,
son abiertos relativos,
es abierto relativo.
Veamos, por el inciso
, hemos dicho que
, tal que
, esto quiere decir que podemos tomar
, tal que
, por lo cual se sigue cumpliendo que esa intersección de conjuntos abiertos generan a un abierto relativo.
Si
es cualquier familia de subconjuntos de
que son abiertos relativos, entonces
también es abierto relativo.
Hemos mostrado en
que
, y es abierto relativo por
, ahora tenemos
, tal que por ser abiertos y su unión es
, lo cual sigue generando a nuestro abierto relativo.
es cerrados relativo en
.
Puesto que dice que
puede ser cualquier conjunto, lo escogemos cerrado, entonces
será cerrado relativo tal que exista un
, tal que
Si
,.....,
son cerrados relativos,
es cerrado relativo.
Entonces, por el inciso
, hemos dicho que
, tal que
, esto quiere decir que podemos tomar
, tal que
, por lo cual se sigue cumpliendo que esa unión de conjuntos cerrados generan a un cerrado relativo.
Si
es cualquier familia de subconjuntos de
que son cerrados relativos, entonces
también es cerrado relativo.
Hemos mostrado en
que
, y es cerrado relativo por
, ahora tenemos
, tal que por ser cerrados y su unión es
, lo cual sigue generando a nuestro cerrado relativo.
--Luis Antonio (discusión) 16:39 5 dic 2012 (CST)
1.23 Si
es abierto relativo, demuestre que
es cerrado relativo. Demuestre también que si
es cerrado relativo, entonces
es abierto relativo
* Se dice que un subconjunto abierto
es abierto relativo en
si existe un conjunto abierto
tal que
.
* Se dice que un subconjunto cerrado
es cerrado relativo en
si existe un conjunto cerrado
tal que
.
Lo anterior es por el ejercicio 1.22
Podemos imaginar el analisis como el conjunto
es abierto relativo, su
será cerrado relativo, esto por que
podrá tocar sus puntos frontera. De manera similar si
es cerrado relativo, por entonces sus complemento
, será abierto relativo por que
no podrá tocar su frontera.
Entonces se concluye lo que nos pide demostrar el enunciado enuciado.
1.32 Si
demuestre que
es un punto de acumulación de
.
Un punto
se dice que es un punto de acumulación
, si al menos alrededor de
contiene un punto
. Entonces si
, este contiene todos sus puntos de acumulación
Ayudandonos del lema 1.12
si
, un punto de acumulción de
si y sólo sí existe una sucesión
, tal que
.
Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite
si
es un punto de acumulación de
, y
, por lo tanto
Hay una bola
centrado en
, y pasa que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \boldsymbol{\Omega}\cap\left(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)-\{\mathcal{Z}\}\right)\neq Ø}
.
Por el ejercicio 1.21, tenemos que
, entonces si hay una sucesión
, tal que sea convergente, osea
.
1.56 Dé un ejemplo de una función continua que no es uniformemente continua.
Para mi
, no es uniformemente continua en el intervalo
, o sea
.
Del último párrafo de la pagina 30 del libro de Teoría de funciones de una variable compleja de Zaldivar Felipe. Podemos entender lo siguiente;
Si pensamos que
es uniformemente continua en el intervalo. Entonces para cualquier
, debería ser posible encontrar
, entre 0 y 1, tal que
cuando
para todo
y
en el intervalo.
Para
y
.
.
Por otro lado,
ya que
De este modo tenemos una contradicción, y tenemos que
no es uniformemente continua en el intervalo.
1.71.Si
,
, demuestre que
.
Sea
,
Por triángulos semejantes
y
, implica
.
Pero
y
, entonces
y
El plano N_z1z2, intersecta a S en un circulo,
.
Vemos que
,
los triangulos N_z1z2 y N_Z1Z2, son semejantes, entonces;
Hacemos
2.5 (Teorema del valor medio) Si
con
, es continua y además es derivable en
, demuestre que existe un
, tal que:
Error al representar (error de sintaxis): \mathcal{F}^´\left(\epsilon\right) =\frac{\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)}{\left(b-a\right)}.
Suponemos una función
, como
es continua en
, aparte la otra función
, es continua en el intervalo entonces
también lo es.
Obtengamos su derivada;
Error al representar (error de sintaxis): \mathcal{g}^´ \left(x\right) = \mathcal{F}^´ \left(x\right)\left(b-a\right)-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right).
Es diferenciable en
al igual que
Ahora, notemos;
El Teorema de Rolle, nos dice que exite
en
tal que;
Error al representar (error de sintaxis): 0=\mathcal{g}^´ \left(\epsilon\right)=\mathcal{F}^´ \left(\epsilon\right)\left(b-a\right)-\left(\mathcal{F} \left(b\right)-\mathcal{F} \left(a\right)\right)\Rightarrow \mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)= \mathcal{F}^´ \left(\epsilon\right)\left(b-a\right).
2.29 Se definen las otras funciones trigonométricas complejas, en términos del seno y coseno complejos, como es usual:
;
;
Encuentre sus dominios y muestre que son holomorfas en su dominio y sus derivadas son las esperadas.
El dominio del primer par de funciones es todo
El dominio del segundo par de funciones es todo
Donde
Para mostrar que son holomorfas en su dominio, basta demostrar las ecuaciones de Cauchy-Riemann. osea, que son diferenciables en su dominio, lo cual nos genera un intervalo abierto en el cual es diferenciable.
y
sabemos
Entonces tenemos que la parte real;
y la parte imaginaria es ;
Comprobemos las ecucuaciones de Cauchy-Riemann.
De manera similar obtenemos;
Cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, en un intervalo diferenciable, por lo cual es Holomorfa(Analítica).
Ahora comprobemos sus derivadas respecto a z, y veamos que son las esperadas;
y entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Tan^´\left(\mathcal{z}\right)=\frac{cos(\left(\mathcal{z}\right)cos(\left(\mathcal{z}\right)-sen\left(\mathcal{z}\right)\left(-sen\left(\mathcal{z}\right)\right)}{\left[cos(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=\frac{cos^2\left(\mathcal{z}\right)+ sin^2\left(\mathcal{z}\right)}{\left[cos\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= \frac{1}{cos^2\left(\mathcal{z}\right)}= sec^2\left(\mathcal{z}\right).
y entonces Error al representar (error de sintaxis): Sec^´\left(\mathcal{z}\right)=-\frac{-sen(\left(\mathcal{z}\right)}{\left[cos(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=\frac{sen\left(\mathcal{z}\right)}{\left[cos\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= \frac{tan\left(\mathcal{z}\right)}{cos\left(\mathcal{z}\right)}= tan\left(\mathcal{z}\right)sec\left(\mathcal{z}\right).
y entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Cot^´\left(\mathcal{z}\right)=\frac{-sen\left(\mathcal{z}\right)sen\left(\mathcal{z}\right)-cos\left(\mathcal{z}\right)\left(cos\left(\mathcal{z}\right)\right)}{\left[sen(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=\frac{-sen^2\left(\mathcal{z}\right)- cos^2\left(\mathcal{z}\right)}{\left[sen\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= \frac{-1}{sen^2\left(\mathcal{z}\right)}= -csc^2\left(\mathcal{z}\right).
y entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Csc^´\left(\mathcal{z}\right)=-\frac{-cos(\left(\mathcal{z}\right)}{\left[sen(\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}=-\frac{cos\left(\mathcal{z}\right)}{\left[sen\left(\mathcal{z}\right)\right]^2}= -cot\left(\mathcal{z}\right)csc\left(\mathcal{z}\right).
Vemos que sus derivadas son las correspondientes.
--Luis Antonio (discusión) 23:03 10 dic 2012 (CST)