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Línea 137: |
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| Usando las expresiones para <math>\vec{E_x},\vec{E_y}</math> , y sustituyendo en <math>\diamondsuit</math> tenemos. | | Usando las expresiones para <math>\vec{E_x},\vec{E_y}</math> , y sustituyendo en <math>\diamondsuit</math> tenemos. |
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| <math>\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial^2_x\vec{E_z}}+w{\partial^2_xy\vec{B_z}} )+ \frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial^2_y\vec{E_z}}-w{\partial^2_xy\vec{B_z}}+ik\vec{E_z} ) = 0 </math> | | <math>\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial^2_x\vec{E_z}}+w{\partial^2_xy\vec{B_z}} )+ \frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k{partial^2_y\vec{E_z}}-w{\partial^2_xy\vec{B_z}}+ik\vec{E_z} ) = 0 </math> |
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| | ó |
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| | <center><math>{\partial^2_y\vec{E_z}}+{\partial^2_x\vec{E_z}}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]\vec{E_z}=0</math></center> |
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| | ⇒ |
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| | <center><math>{{\partial^2_y}+{\partial^2_x}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\vec{E_z}=0\quad\quad\quad (a)</math></center>. |
| | |
| | y al hacerlo para |
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| | <math>\nabla\cdot \vec{B}=0</math> , obtenemos algo similar: |
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| | <center><math>{{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\vec{B_z}=0\quad\quad\quad (b)</math></center>. |
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| | De (a) y (b) , podemos decir lo siguiente: |
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| | Si <math>\vec{E_z}= 0</math> , llamamos TE (onda transversal eléctrica) |
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| | Si <math>\vec{B_z}= 0</math> , llamamos TM (onda transversal magnética) |
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| | Si <math>\vec{E_z}=\vec{B_z}= 0</math> , llamamos TEM (onda transversal electromagnética) , |
| | sin embargo se puede ver que el tipo de onda TEM , no puede existir en una guía de onda. |
Guías de onda
Las guías de onda se analizan resolviendo las ecuaciones de Maxwell.
Comencemos escribiendolas:
Ahora suponemos un conductor perfecto
esto es que tanto el campo eléctrico, como el magnético son nulos dentro del conductor.
y
luego las condiciones de frontera en el interior del conductor serán :
Entonces estamos buscando expresiones del tipo
donde consideramos
.
Tanto I como II deben satisfacer las ecuaciones de maxwell, asi pues debemos encontrar
y
tal que satisfagan las ecuaciones (1-4),sujetas a las condiciones de fronteras i) y ii).
Ahora re-escribimos
y
de la siguiente manera:
Error al representar (error de sintaxis): \vec{E_0} = E_x(\mathbf{x,y})x + E_y(\mathbf{x,y})y +E_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (1´)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \vec{B_0} = B_x(\mathbf{x,y})x + B_y(\mathbf{x,y})y +B_z(\mathbf{x,y})z \quad\quad \quad (2´)
Comencemos demostrando que I satisface a 3, esto es que .
⇒
![\nabla\times \vec{E_x}= \frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{y}}-\frac{\partial\vec{E_y}}{\partial\mathbf{z}}=(\frac{\partial\vec{E_0z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{E_0y})e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ee9e3d6d352ac3f7ba837f5c8c296a414dfa7b)
⇒
![(\frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{E_y})=iw\mathbf{B_z}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0a51f8c501bce0bcfcd6c6a3017b000ea3322f)
.
![\nabla\times \vec{E_y}= \frac{\partial\vec{E_x}}{\partial\mathbf{z}}-\frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{x}}=(ik\vec{E_0x} - \frac{\partial\vec{E_0z}}{\partial\mathbf{x}})e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4de54705d3459d06632f9a12dbfe03d8f8ea80)
⇒
![(ik\vec{E_x}-\frac{\partial\vec{E_z}}{\partial\mathbf{x}})=iw\vec{B_y}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa4dca98f394f0e227f7e1e9fb49a72658ec865)
.
De manera que
y el mismo procedimiento se le aplica a
⇒
![\nabla\times \vec{B_x}= \frac{\partial\vec{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-\frac{\partial\vec{B_y}}{\partial\mathbf{z}}=(\frac{\partial\vec{B_0z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{B_0y})e^\mathbf{i(k \ z- \omega t)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4f042a32cb3b35a3a3cd3c471fefe3e4f188cb)
⇒
![(\frac{\partial\vec{B_z}}{\partial\mathbf{y}}-ik\vec{B_y})=-iw\frac{1}{\mathrm{c}^2} \vec{E_z}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b52aa38abedacfede53865aa3e4625ea4d881f8)
.
Continuando con este mismo proceso , obtenemos lo siguiente :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Ya con estas ecuaciones, queremos encontrar
, en términos de
.
Resolviendo el conjunto de ecuaciones de la 1-6.
tenemos:
![\vec{B_x}=\frac{i}{\mathrm({w/c})^2-k^2}(k {\partial_y\vec{B_z}}+\frac{w}{\mathrm{c}^2}{\partial_x\vec{E_z}})](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134452105a665f1c6acd74aacb58cb4a58190952)
.
Sustituyendo estos resultados en
, tenemos.
⇒
Usando las expresiones para
, y sustituyendo en
tenemos.
ó
⇒
![{{\partial^2_y}+{\partial^2_x}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\vec{E_z}=0\quad\quad\quad (a)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68f16a088a3a551a568399ffa40a27e5be0fcc6)
.
y al hacerlo para
, obtenemos algo similar:
![{{\partial^2_x}+{\partial^2_y}+[{\mathrm({w/c})^2-k^2}]}\vec{B_z}=0\quad\quad\quad (b)](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1dc3fa5810dd4b55ccdef8147704a41fc0faa26)
.
De (a) y (b) , podemos decir lo siguiente:
Si
, llamamos TE (onda transversal eléctrica)
Si
, llamamos TM (onda transversal magnética)
Si
, llamamos TEM (onda transversal electromagnética) ,
sin embargo se puede ver que el tipo de onda TEM , no puede existir en una guía de onda.