EJERCICIOS 1.2.1
1.Demuestre que una una funcion
es continua en
si y soló si para toda sucesión
tal que
cuando
se tiene
cuando
DEMO:
Supongamos que
es continua en
, es decir:
tal que
y supongamos que
es una sucesión en
tal que
P.D.
como
es continua en
--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)
2.Demuestre que una sucesión
en
es de Cauchy si y sólo es convergente.
DEMO:
Una sucesión en
se dice que es de Cauchy si para todo
tal que
.
P.D.
Si la sucesión es convergente, esto es si
tal que
si
se tiene que
--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)
EJERCICIOS 1.2.2
1. Demuestre que la funcion estereográfica
de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.
Una función es sobre si
en el Codominio
x pertenece al Dominio de
Nota: S= Esfera
Dominio
Suponga
S
Condicion de la esfera
donde
pertenece a i
Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática
es 1
Codominio de (f)
Sea y que pertenece al Codominio d (f) donde :
Sea
y
tomando en cuenta que
de esta manera
--Karla 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez
2. Demuestre que si
cuando
, entonces
cuando
Como
por hipótesis.
P.D.
, asi como también
P.D.
P.D.
Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos
P.D.
Por hipótesis
tal que
Sea
como antes por la continuidad de
Si
--Karla 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez
3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann
como sigue: si
, y si
y
.Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.
Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)
Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.
para los casos extremos.
si
si
si
generalizando, para
, (arbitrarias).
por hip.
.
tal que si
.
entonces
.
por
ahora si
y
donde
con la metrica cordal.
ya q se mostro que
es continua, se puede probar lo mismo para
.
por teo. de continuidad si
son continuas, tambien
, es continua.
es continua si
--Josua Da Vinci 00:42 21 oct 2009 (UTC)
4.Demuestre que si AB son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius f,g, respectivamente, entonces la matriz BA representa la composicion gf, que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.
SOLUCION:
tenemos que
son transformaciones de Möbius
sean
las representaciones matriciales de
respectivamente
entonces
entonces
los elementos de la matriz BA son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto gf es biyectiva y de Möbius.
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que gf es continua y que
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.
--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)
7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.
Puesto que una transformación del tipo
aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.
Un círculo en
es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:
--Ralf Gutierrez 16:08 22 oct 2009 (UTC)
11.Probar que dados dos puntos
se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si
SOLUCION.
Sea
se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.
Si
es el punto P en la esfera de Riemann.
con este punto P y el centro C de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:
Sea
donde
es el vector director que va de P a C esto es
nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:
Cuando
tenemos a
en la esfera.
cuando
tenemos el centro
de la esfera de Riemann.
cuando
tenemos al punto
que es la antipoda de
teniendo a
sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:
--Luis Antelmo 15:11 21 oct 2009 (UTC)
12.¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion
?
SOLUCIÓN:
para la imagen notemos que
es continua exepto cuando
, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.
--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)
5.Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e
Considere