Usuario discusión:Yonatan Aldana Saldañas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Escribir la fórmula aquí Bienvenido a Luz-wiki! Esperamos que contribuyas mucho y bien. Probablemente desearás leer las páginas de ayuda. Nuevamente, bienvenido y diviértete! mfg-wiki 21:06 20 feb 2012 (UTC)

En la física clásica un oscilador armónico simple un sistema físico en el cual, su movimiento es con respecto a una posición de equilibrio en el que ninguna fuerza actúa sobre el sistema y cuando se desplaza de su posición de equilibrio proporcional experimenta una única fuerza de compensación F proporcional al desplazamiento x y opuesta a la dirección del desplazamiento y este movimiento es periódico (se repite en un cierto intervalo de tiempo)

Algunos osciladores armónicos son:

Masas conectadas a un resorte

Péndulos con ángulos de desplazamientos pequeños

Cuando una fuerza actúa sobre un oscilador y sea única es un oscilador sea única es un oscilador armónico simple. Si existiera una fuerza de fricción digamos proporcional a la velocidad, el oscilador se llama amortiguado. Si existiera una fuerza externa dependiente del tiempo se dice que el oscilador es forzado

Veamos un sistema masa-resorte donde la única fuerza que actúa sobre la masa m es una fuerza de compensación F proporcional al desplazamiento x y opuesta a la dirección del desplazamiento de acuerdo con la ley Hooke

$F=ma=-kx$

Donde k es una constante positiva

Por la segunda ley de Newton se tiene que

$F=ma=-kx$

Donde

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

es la aceleración es decir

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$

Por lo que

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x$

Y poniendo

Error al representar (error de sintaxis): \omega=\sqrt{k⁄m} la ecuación anterior se describe

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0$

La cual es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y observamos que las soluciones de esta ecuación debe ser una función de

$x=x(t)$

resolviendo

$x=x(t)=asen(\omega t)+bcos(\omega t)$

Con a y b constantes arbitrarios como solución general podemos escribir como

$x(t)=Asen(\omega t+\phi )$

Con A y Φ otras constantes a las que se llaman Amplitud y fase del oscilador respectivamente ambos determinados por las condiciones iniciales la amplitud indica que tan fuerte es la oscilación y la fase dice en qué punto de la oscilación estaba el sistema Una oscilación se repite después de cada 2π/ω segundos a la cual se le conoce como frecuencia del oscilador

$f={\frac {\omega }{k}}={\frac {\sqrt {(k/m)}}{2\omega }}$

Podemos notar que la frecuencia del oscilador depende de k y m mientras más grande sea k más rígido será el resorte; se necesitara más fuerza y así la frecuencia será mayor. Hay otra cantidad que se usa en el movimiento ondulatorio

$T={\frac {1}{f}}={\frac {2\pi }{\omega }}$

Ahora veremos a un oscilador físico, que se somete a una fuerza impulsora periódica mediante una agente externo. Para esto veremos un nuevo fenómeno llamada resonancia, la resonancia es un fenómeno de un oscilador impulsado exteriormente es el modo con que una fuerza periódica de un valor fijo produce diferentes resultados dependientes de su frecuencia. En particular, si la frecuencia impulsora se hace muy próxima a la frecuencia natural, entonces suele hacerse la amplitud de oscilación muy grande mediante aplicaciones repetidas de una fuerza muy pequeña.

Apoyándonos de ciertas ecuaciones podemos ver que $F=FoCos(\omega t)$

El valor de ${\sqrt {k/m}})$ que representa la frecuencia angular natural del sistema, se designará por ω0 por lo tanto la ecuación de movimiento, en la forma

ma = fuerza neta, es:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx+F_{0}cos(\omega t)$

O bien

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=F_{0}cos(\omega t)$................ (1)

Consideramos la situación, si el oscilador se ve impulsado a partir de la posición de equilibrio y se le deja oscilar por sí mismo, oscilará con su frecuencia natural ωo. Una fuerza impulsora periódica, sin embargo, intentara imponer su propia frecuencia ω al oscilador. La característica más importante del movimiento será gran respuesta en las proximidades de ω = ω0, antes de resolver la ecuación (1) señalaremos algunas características del movimiento en los casos extremos de valores muy altos o muy bajos de la frecuencia impulsora ω.

Si la fuerza impulsora es de frecuencia muy baja respecto a la frecuencia natural de las oscilaciones libres, es lógico que la partícula se mueva esencialmente en fase con la fuerza impulsora con una amplitud no muy diferente de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): F_0/k=F_0/(m〖ω_0〗^2 ) desplazamiento que produciría una fuerza constante F0. Esto es equivalente a afirmar que el término $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ en la ecuación 1 juega un papel relativamente pequeño comparado con el término kx a frecuencias muy bajas, o en otras palabras que la respuesta está controlada por la rigidez del muelle.

Para obtener la solución estacionaria de la ecuación 1 podemos escribir

$x=Ccos(\omega t)$........... (2)

En otras palabras estamos admitiendo que el movimiento es armónico, de la misma frecuencia y fase que la fuerza impulsora, y que no están presentes las oscilaciones naturales del sistema.

No debemos olvidar que la ecuación 2 es simplemente de tanteo y debemos estar preparados para rechazarla si no acertamos a encontrar un valor de la constante C, hasta ahora indeterminada, tal que satisfaga la ecuación (1) para valores arbitrarios de ω y t derivando la ecuación (2) dos veces respecto a t se tiene

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}Ccos(\omega t)$

Sustituyendo en la ecuación (1) tenemos así

$-m\omega ^{2}Ccos(\omega t)+kCcos(\omega t)=F_{0}cos(\omega t)$

Y de aquí

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C=F_0/(k-〖m \omega〗^2 )=(F_0/m)/(〖\omega_0〗^2-\omega^2 ) .......... (3)

La ecuación 3 define satisfactoriamente la ecuación a C de modo que la ecuación 1 se satisface siempre. Así pues, podemos considerar que el movimiento forzado esta descrito por la ecuación (2) con C dependiente de ω de acuerdo con la ecuación (3).

El fenómeno de por sí mismo está representado por el hecho de que el valor de C, sin tener en cuenta el signo, resulta infinitamente grande cuando se cumple exactamente que ω=ω0.

Otro procedimiento mejor de llegar al resultado, más de acuerdo con nuestra descripción general de los movimientos armónicos. Este método consiste en expresar x en función de una vibración sinusoidal que tenga una amplitud A, mediante la definición de una magnitud positiva y una fase α para t = 0

$x=Acos(\omega t+\alpha )$

Esto implica la condición A =|C| y que se dé a α uno u otro de los siguientes valores según la frecuencia impulsora ω sea menor o mayor que ω0:

$\omega <\omega _{0}:\alpha =0$

$\omega >\omega _{0}:\alpha =\pi$

El intervalo de ω viene entonces representado por curvas separadas para la mitad de la amplitud A y para la fase α. El valor infinito de A para ω=ω_0 el salto discontinuo de cero a π del valor de α cuando se pasa por ω_0 carece de significado físico, pero como veremos, representa un caso límite (matemáticamente) de lo que realmente ocurre en el sistema de amortiguamiento no nulo.

Utilizando el método del exponente complejo resultara ser muy ventajosa cuando la consideremos en el caso del oscilador amortiguado pero no nos meteremos con números complejos. Empecemos con la ecuación física del movimiento dada por la ecuación (1).

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=F_{0}cos(\omega t)$

Con esto entraremos de lleno con el tema de oscilaciones forzadas con amortiguamiento Consideremos ahora el resultado que se obtiene al actuar sobre un sistema una fuerza. El enunciado de Newton se convierte ahora en m $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx-b{\frac {dx}{dt}}+F_{0}cos(\omega t)$

o bien

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {k}{m}}x={\frac {F_{0}}{m}}\cos(\omega t)$..........(4)

Haciendo ${\frac {k}{m}}=\omega _{0},{\frac {b}{m}}=\gamma$,esta expresión puede escribirse

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}x={\frac {F_{0}}{m}}\cos(\omega t)$

Busquemos una solución estacionaria a esta ecuación.

Suponemos una solución de la forma:

$x=A\cos(\omega t-\delta )$ (*)

$(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})A={\frac {F_{0}}{m}}\cos(\delta )$

$\gamma \omega A={\frac {F_{0}}{m}}\sin(\delta )$

Por lo tanto tenemos:

$A(\omega )={\frac {\frac {F_{0}}{m}}{[(omega_{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+(\gamma \omega )^{2}]^{1/2}}}$……………(5)

Esta es la ecuación que nos ayudara a encontrar la frecuencia de resonancia y la constante de amortiguamiento para encontrar la constante de resonancia solamente despejaremos de la ecuación y haciendo que ω_0=ω por lo tanto queda que

${\frac {1}{\gamma \omega _{0}}}={\frac {m}{F_{0}}}A(\omega _{0})$

Por lo tanto

$\gamma ={\frac {F_{0}}{\omega _{0}}}({\frac {1}{mA(\omega _{0})}})$

Donde gama γ es la constante amortiguamiento

Para encontrar la frecuencia de la resonancia solamente derivamos la ecuación (5)

$A(\omega )={\frac {\frac {F_{0}}{m}}{[(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+(\gamma \omega )^{2}]^{1/2}}}$

Error al representar (error de sintaxis): \frac{dA}{d\omega}=\frac{F_0}{m}(\frac{1}{2}\frac{4\omega^3-4\omega_0^2\omega¬+2\gamma^2\omega}{\omega_0^4+\omega^4-2\omega_0^2\omega^2+\alpha^2\omega^2})=0

$\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}/2}}$

Donde ω es la frecuencia de resonancia