Ondas electromagneticas planas
Introducción
Quizá el mayor logro teórico de la física en el siglo XIX fue el descubrimiento de las ondas electromagnéticas. El primer indicio fue la relación imprevista entre los fenómenos eléctricos y la velocidad de la luz.
En la naturaleza, las fuerzas eléctricas se originan de dos formas. Primero está la atracción o la repulsión eléctricas entre las cargas eléctricas (+) y (-). Es posible definir una unidad de carga eléctrica como la carga que repele a otra carga similar a la distancia de, podemos decir, 1 metro con la fuerza de la unidad de fuerza utilizada (las fórmulas usuales lo definen con más precisión).
Pero en segundo lugar están la atracción y la repulsión entre corrientes eléctricas paralelas. Por lo que podremos definir la unidad de corriente como la corriente que circulando por un hilo recto, atrae a una corriente similar que circule por un hilo paralelo separado 1 metro, con la fuerza de la unidad utilizada, en cada metro de la longitud de los hilos.
Pero, ¡las corrientes y las cargas eléctricas están relacionadas!, por lo que así podremos basar la unidad de corriente en la unidad de carga, o sea, definirla como la corriente en la que en cada segundo pasa una unidad de carga por cualquier sección transversal del hilo. Esta segunda definición es muy diferente, y si se usan el metro y el segundo en todas las definiciones, la relación de las dos unidades de corriente será la velocidad de la luz, 300,000,000 metros por segundo.
En los tiempos de Faraday ya se conocía cual era la velocidad de la luz, aunque sin la precisión actual. Fue deducida por vez primera por Ole (Olaus) Roemer, un astrónomo danés que trabajaba en París. Roemer intentaba predecir los eclipses de Io, la luna de Júpiter (mencionada posteriormente en una sección totalmente diferente) y encontró una diferencia entre los tiempos reales y los previstos, que crecían y disminuían de nuevo cuando la Tierra circunvalaba el Sol. Adivinó la razón correctamente: cuando la Tierra se movía en su órbita, su distancia a Júpiter también aumentaba y disminuía, y así la luz necesitaba un tiempo extra para cubrir esa distancia extra.
Pero, ¿cuál era el significado de la relación entre la electricidad y la luz?
¿Recuerda la idea de Faraday, que evolucionó hacia el concepto de "campo magnético -- ese espacio en el que se pueden observar los cambios en las fuerzas magnéticas? Faraday también mostró que un campo magnético que cambia en el tiempo, como el producido por la corriente alterna (CA), podría conducir corrientes eléctricas, si los hilos de cobre estuvieran colocados de la forma adecuada. Esto era la "inducción magnética", el fenómeno en el que se basan los transformadores eléctricos.
Por lo tanto, los campos magnéticos podían producir corrientes eléctricas y ya sabemos que las corrientes eléctricas producen campos magnéticos. ¿Sería quizá posible que el espacio sustentara un movimiento ondulatorio alternante entre los dos? Del tipo de:
Campo magnético ---> Corriente eléctrica ---> Campo magnético ---> Corriente eléctrica ---> ...
Esto era un obstáculo. Esta onda no existiría en el espacio vacío, debido a que el espacio vacío no tiene hilos de cobre y no podría conducir la corriente necesaria para completar el ciclo anterior. Un brillante joven escocés, James Clerk Maxwell, solucionó el problema en 1861 proponiendo que las ecuaciones de la electricidad necesitaban un término adicional, que representase a una corriente eléctrica que pudiera viajar a través del espacio vacío, pero solo mediante oscilaciones muy rápidas.
Añadiendo ese término (la "corriente de desplazamiento"), las ecuaciones de la electricidad y del magnetismo permitían que existiese una onda que se propagase a la velocidad de la luz. El dibujo inferior ilustra ese tipo de onda, verde en su parte magnética y azul en su parte eléctrica, añadido el término de Maxwell. La onda está dibujada propagándose a lo largo de un línea. Realmente llena el espacio, pero sería muy difícil dibujarla. Onda Electromagnética (vea el texto arriba)
Maxwell propuso que eso era luz. Hubo anteriores indicios --como se citó anteriormente, la velocidad de la luz apareció inesperadamente en las ecuaciones de la electricidad y del magnetismo-- y estudios posteriores lo confirmaron. Por ejemplo, si un haz de luz incide en la cara de un prisma de cristal, solo entra en él una parte, otra parte es reflejada. La teoría de Maxwell predijo correctamente las propiedades del haz reflejado.
Después Heinrich Hertz, en Alemania, mostró que una corriente eléctrica saltando adelante y atrás en un hilo (actualmente se le podría llamar "antena") podía ser la fuente de esas ondas. (La corriente, de acuerdo con la ley de Ampere, también produce un campo magnético, pero este campo disminuye rápidamente con la distancia). Las chispas eléctricas producen ese tipo de corrientes cuando saltan entre dos puntos --a eso se debe el crepitar producido por los rayos en la radio AM-- y Hertz, en 1886, usó estas chispas para enviar una señal de radio a través de su laboratorio. Posteriormente el italiano Marconi, con detectores más sensibles, amplió el alcance de la recepción de la radio y en 1903 detectó en Cape Cod, Massachussets, señales procedentes de Europa .
Se supone que la luz que produce el hilo caliente de una lámpara se emite debido a que el calor causa que los electrones se muevan rápidamente adelante y atrás, convirtiendo a cada uno en una antena. Sin embargo, cuando los físicos intentaron seguir esa idea, encontraron que las leyes conocidas de la naturaleza debían modificarse a la escala de los tamaños atómicos. Así fue como se originó la teoría cuántica.
Poco a poco se descubrieron otras ondas electromagnéticas. La naturaleza de onda de la luz origina que los diferentes colores se reflejen de forma diferente por una superficie, generando finas rayas paralelas --a esto se debe el que un disco compacto láser (para uso musical o para ordenador) brille en todos los colores del arco iris. Las filas ordenadas de los átomos en un cristal también forman líneas paralelas pero mucho menos espaciadas y resultan tener el mismo efecto sobre los rayos X, mostrando que los rayos X, al igual que la luz, también son ondas electromagnéticas, pero con una longitud de onda mucho más corta. Se encontró posteriormente que los haces de electrones en un campo magnético, dentro de un tubo de vacío, podían hacerse inestables y emitir ondas más largas que la luz: el tubo magnetrón donde ocurría esto fue un dispositivo de radar de alto secreto durante la II Guerra Mundial e hizo posible posteriormente la fabricación del horno microondas.
Las ondas electromagnéticas lideran la radio y la televisión y la enorme industria electrónica. Pero también se generan en el espacio -- por rayos de electrones inestables en la magnetosfera, así como en el Sol y en el universo remoto, informándonos sobre las partículas magnéticas del distante espacio o también tomándonos el pelo con misterios irresolutos. Sobre esto puede hallar más en la sección sobre las partículas de alta energía.
Ondas electromagnéticas
Desde el punto de vista clásico la radiación electromagnética son las ondas electromagnéticas generadas por las fuentes del campo electromagnético y que se propagan a la velocidad de la luz. La generación y la propagación de estas ondas son compatibles con el modelo de ecuaciones matemáticas definido en las ecuaciones de Maxwell.
La radiación electromagnética está formada por la emisión de un tipo de partícula responsable de transmitir una de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza llamada precisamente interacción electromagnética, es decir, la emisión de fotones.
Ecuaciones de Maxwell
Se sabe que un campo electromagnético se propaga en el vacío con una velocidad igual a la de la luz en el vacío, es decir a una velocidad
\[ c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}\approx3*10^{8}\text{ms}^{-1}. \]
La existencia de dichas ondas había sido predicha por James Clerck Maxwell y confirmada por Heinrich Hertz. El trabajo de Maxwell lo llevó a encontrar 8 ecuaciones que describían los fenómenos electromagnéticos clásicos; dichas ecuaciones, son las que se observan a continuación:
\begin{equation} \vec{J_{tot}}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{equation}
\begin{equation} \mu \vec{H}=\vec{\nabla} \times \vec{A} \end{equation}
\begin{equation} \vec{\nabla} \times \vec{H}=\vec{J_{tot}} \end{equation}
\begin{equation} \vec{E}= \mu \vec{v} \times \vec{H} -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \phi \end{equation}
\begin{equation} \vec{E} =\frac{\vec{J}}{\sigma} \end{equation}
\begin{equation} \vec{\nabla} \cdot \vec{D}=\rho \end{equation}
\begin{equation} \vec{\nabla} \cdot \vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t} \end{equation}
\begin{equation} \vec{E}=\frac{\vec{D}}{\epsilon} \end{equation}
Posteriormente se encontró la manera de reducirlas a solo cuatro, siendo estas las mas conocidas y nombradas en libros.
Estas 'Ecuaciones de Maxwell', son las siguientes:
i) Ley de Gauss para campo eléctrico.
Forma integral:
\[ \oint_{s}\boldsymbol{\boldsymbol{E}}\cdot\boldsymbol{u_{n}}\,dS=\frac{q}{\epsilon_{0}}. \]
Forma diferencial:
\[ \nabla\cdot\boldsymbol{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}. \]
Donde
$\rho:=$densidad de carga eléctrica,
$\epsilon_{0}:=$permitividad eléctrica del vacío.
ii) Ley de Gauss para campo magnético.
Forma integral:
\[ \oint_{s}\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{u_{n}}\,dS=0. \]
Forma diferencial:
\[ \nabla\cdot\boldsymbol{\boldsymbol{B}}=0. \]
iii) Ley de Faraday-Henry.
Forma integral:
\[ \oint_{L}\boldsymbol{\boldsymbol{E}}\cdot d\boldsymbol{l}=-\frac{d}{dt}\oint_{s}\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{u_{n}}\,dS. \]
Forma diferencial:
\[ \nabla\times\boldsymbol{\boldsymbol{E}}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}. \]
iv) Ley de Ampere-Maxwell.
Forma integral:
\[ \oint_{L}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l}=\mu_{0}\boldsymbol{I}+\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{d}{dt}\oint_{s}\boldsymbol{\boldsymbol{E}}\cdot\boldsymbol{u_{n}}\,dS. \]
Forma diferencial:
\[ \nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_{0}\boldsymbol{j}+\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial\boldsymbol{\boldsymbol{E}}}{\partial t}. \]
Donde
$I:=$ corriente eléctrica,
$j:=$ densidad de corriente eléctrica,
$\epsilon_{0}:=$ permitividad eléctrica del vacío,
$\rho:=$ densidad de carga eléctrica,
$\mu_{0}:=$ permitividad magnética del vacío.
Para todas las expresiones anteriores, $\boldsymbol{u_{n}}$ simboliza un vector unitario normal a las superficies en cuestión.
¡Nota: En la actualidad, con ayuda de los conocimientos actuales, es común encontrar en libros de electromagnetismo avanzados, la simplificación de estas cuatro ecuaciones, a solo dos (Ecuaciones \ref{eq:one} y \ref{eq:two}).
\begin{equation}\label{eq:one} \partial_{\alpha} F^{\alpha \beta}=\mu_{0} J_{\beta} \end{equation}
\begin{equation}\label{eq:two} \partial_{\alpha} \frac{1}{2} \epsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} F_{\gamma \delta}=0 \end{equation}
Siendo los simbolos que aparecen, notación de tensores y cuestiones matematicas avanzadas!.
Así, se abordará el cuestionamiento sobre si las ecuaciones de Maxwell para el campo electromágetico admiten como solución particular, un campo eléctrico $E$ y un campo magético $B$ perpendiculares entre sí.
Ejemplos comunes de ondas electromagnéticas son las ondas de radio, las señales de televisión, los haces de radar y los rayos luminosos. Todas las formas de energía comparten tres características fundamentales:
- Se desplazan a gran velocidad
- Adoptan al hacerlo propiedades de ondas
- E irradian hacia fuera desde una fuente sin la ayuda de ningún vehículo discernible.
Aportación de: Misa cabca (discusión) 11:07 10 nov 2020 (CST)
Ondas electromagnéticas planas
Se aborda una situación particular en la que la dirección del campo eléctrico E y la dirección del campo magnético B son siempre perpendiculares entre sí, abordando de esta manera el concepto de ondas electromagnéticas planas. Tomaremos el eje Y paralelo al campo $E$ y eje Z paralelo al campo B. En este caso particular:
\[ E_{x}=0,\:\,\,\,E_{y}=E,\,\,\,\,E_{z}=0, \]
y
\[ B_{x}=0,\:\,\,\,B_{y}=0,\,\,\,\,B_{z}=B. \]
Supondremos también que el campo se encuentra en el vacío, es decir, que no hay cargas libre ni corrientes; esto implica que $\rho=0$ y $\boldsymbol{j}=0$, densidad de carga y densidad de corriente respectivamente. En estas condiciones, las ecuaciones de Maxwell se expresan como:
(a) ley de Gauss para campo eléctrico,
\[ \frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial y}=0; \]
(b) ley de Gauss para campo magnético.
\[ \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial z}=0; \]
(c) ley de Faraday-Henry,
\[ \frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial z}=0, \]
\begin{equation} \frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial x}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}; \end{equation}
(d) ley de Ampere-Maxwell,
\[ \frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial z}=0, \]
\begin{equation} -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial x}=\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}. \end{equation}
Las ecuaciones anteriores indican que ni $E$ ni $B$ dependen de Y o de Z. En consecuencia ambos campos dependen sólo de X y de t, y en cada instante cada uno de ellos tiene el mismo valor sobre cualquier plano perpendicular al eje X. Por lo tanto nos quedan las ecuaciones distintas de cero para determinar las dependencias de los campos descritos con las variables X y t, posición y tiempo, respectivamente. Derivando la ecuación (1) con respecto a x, obtenemos:
\[ \frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}=-\frac{\partial^{2}B}{\partial x\partial t}. \]
Análogamente, derivando la ecuación (2) con respecto a t, resulta
\[ -\frac{\partial^{2}B}{\partial x\partial t}=\epsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial{}^{2}E}{\partial t^{2}}. \]
Combinando estos dos resultados se tiene
\[ \frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}=\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}\frac{\partial^{2}E}{\partial x^{2}}. \]
Inmediatamente se identifica la forma de una ecuación de onda
\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}. \]
en donde el campo eléctrico se propaga en la dirección del eje X con velocidad
\[ c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\mu_{0}}}, \]
por tanto se puede expresar de la forma
\[ E(x,t)=E_{0}(x-ct). \]
De manera análoga se tiene
\[ \frac{\partial^{2}B}{\partial t^{2}}=\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}\frac{\partial^{2}B}{\partial x^{2}}, \]
de donde
\[ B(x,t)=B(x-ct). \]
Consideremos en particular el caso de las ondas armónicas de frecuencia $\nu=\frac{\omega}{2\pi}$ y longitud de onda $\lambda=\frac{2\pi}{k}$. En tal caso
\[ E=E_{0}\text{sin}k(x-ct)=E_{0}\text{sin}(kx-\omega t) \]
y
\[ B=B_{0}\text{sin}k(x-ct)=B_{0}\text{sin}(kx-\omega t). \]
De donde observamos que
\[ k=\omega\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}=\frac{\omega}{c}, \]
podemos además definir una contante llamada 'impedancia intrínseca del vacío' dada por:
\[ \eta_{0}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}}}=120\pi\simeq377\,\Omega; \]
por lo tanto podemos reescribir las ecuaciones de onda para campo eléctrico y magnético de manera vectorial como:
\[ \boldsymbol{\boldsymbol{E}}=E_{0}\text{sin}(kx-\omega t)\,\boldsymbol{a_{\varepsilon}}=E_{0}\text{sin}(kx-\omega t)\,\boldsymbol{\widehat{j}}, \]
y
\[ \boldsymbol{B}=B_{0}\text{sin}(kx-\omega t)\,\boldsymbol{a_{B}}=B_{0}\text{sin}(kx-\omega t)\,\boldsymbol{\widehat{k}}=\frac{\varepsilon_{0}}{\eta_{0}}\text{sin}(kx-\omega t)\boldsymbol{\widehat{k}}. \]
Al usar la notación de vectores canónicos unitarios, se puede observar claramente que ambos campos son siempre normales entre sí, tal que
\[ \boldsymbol{a_{E}}\times\boldsymbol{a_{B}}=\boldsymbol{\widehat{k}}. \]
Esto significa que se sitúan en un plano transversal u ortogonal a esa dirección. Así, forma una onda electromagnética sin componentes de campo eléctrico y magnético a lo largo de la dirección de propagación, llamada 'onda electromagnética transversal (ET)'. $\varepsilon$ y B son a su vez, y por separado, una 'onda plana uniforme', puesto que $\varepsilon$ (o B) manientene igual magnitud a todo lo largo de un plano transversal, definido por x constante. La dirección en la que apunta el campo eléctrico es la polarización de una onda ET.
Derivando cada ecuación hallada respecto del tiempo, en el caso del campo magnético, y respecto a la posición, en el caso del campo eléctrico se tienen:
\[ \frac{dE}{dx}=kE_{0}\text{cos}k(x-ct), \]
y
\[ \frac{dB}{dt}=-kcE_{0}\text{cos}k(x-ct); \]
sustituyendo en la ecuación (1) se tiene:
\[ \frac{\partial E}{\partial x}=-\frac{\partial B}{\partial t}\Rightarrow kE_{0}\text{cos}k(x-ct)=-kcE_{0}\text{cos}k(x-ct), \]
por lo tanto
\[ E_{0}=cB_{0}\leftrightarrow B_{0}=\frac{1}{c}E_{0}. \]
Por otra parte, la existencia física de una onda plana uniforme es imposible, ya que se extendería al infinito y representaría una energía infinita. Pese a su simplicidad, no carece de importancia pues sirve como aproximación de ondas prácticas -las procedentes de una antena de radio, por ejemplo- alejadas de fuentes de radiación.
Referencias
Alonso, Finn. (1983). Física. Volumen II: Campos y ondas. México: Fondo educativo Interamericano, S.A. Sadiku, Matthew. (2003). Elementos del electromagnetismo. México: Oxford University Press Mexico. https://pwg.gsfc.nasa.gov/Education/Memwaves.html http://profesores.dcb.unam.mx/users/juanccv/EYM/Archivoscurso/RadiacionElectromagnetica.pdf
Aportación de: Mautona97 (discusión) 18:57 8 jul 2020 (CDT)
