Compleja: Aplicaciones de Variable Compleja

Circulación y flujo neto

Circulación:

Sea $T$ que denote al vector tangente unitario en un contorno cerrado simple $c$ y $F$ un campo vectorial en dos dimensiones.

$F\left(x,y\right)=P\left(x.y\right)i+Q\left(x.y\right)j$

Se define la circulación de $F$ a lo largo de $c$ como:

$\oint_{c}F.dr$ donde $dr=dxi+dyj$ y $\frac{dr}{dt}=\left(\frac{dr}{ds}\right)\left(\frac{ds}{dt}\right)$

donde:

$\frac{dr}{ds}=\left(\frac{dx}{ds}\right)i+\left(\frac{dy}{ds}\right)j=T$

Por lo que:

$circulación =\oint_{c}F\cdotp Tds$

La circulación de $F$ es una medida de cantidad por la cual el fluido tiende a girar o a circular alrededor de una curva.

Flujo:

Ahora si $N=\left(\frac{dy}{ds}\right)i+\left(\frac{dx}{ds}\right)j$ denota el vector unitario en un contorno simple cerrado $c$ y $F$ representa el campo de velocidad de flujo de fluidos en dos dimensiones.

$F\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)i+Q\left(x,y\right)j$

Entonces:

$Flujo~neto =\oint_{c}F\cdotp Nds$

Ahora si $f\left(z\right)=P\left(x,y\right)+iQ\left(x,y\right)$es la representación del campo de velocidades $F$ de un fluido, el flujo neto y la circulación los podemos calcular de forma simultanea con la integral de contorno:

$\oint_{c}\overline{f\left(z\right)}dz$ $\oint_{c}F\cdotp Tds=\oint_{c}\left(Pi+Qj\right)\cdotp\left(\frac{dx}{ds}i+\frac{dy}{ds}j\right)ds=\oint_{c}Pdx+Qdy$ $\oint_{c}F\cdotp Nds=\oint_{c}\left(Pi+Qj\right)\cdotp\left(\frac{dy}{ds}i-\frac{dx}{ds}j\right)ds=\oint Pdx-Qdy$

Y entonces:

$\oint_{c}\overline{f\left(z\right)}dz=\oint_{c}\left(P-iQ\right)\left(dx+idy\right)=\left(\oint_{c}Pdx+Qdy\right)+i\left(\oint_{c}Pdy-Qdx\right)=\left(\oint_{c}F\cdotp Tds\right)+i\left(\oint_{c}F\cdotp Nds\right)$

Por lo que la circulación es $=Re\left(\oint_{c}\overline{f\left(z\right)}dz\right)$ y el flujo neto $=Im\left(\oint_{c}\overline{f\left(z\right)}dz\right)$.

Bibliografía: Deniss G. Zill Patrick D. Shanahan Introducción al análisis complejo con aplicaciones

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Aportación por usuarios: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 22:24 5 jul 2015 (CDT) Carlosmiranda (discusión) 14:56 21 nov 2020 (CST)

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Aplicaciones a Flujo de fluidos

Propiedades de los fluidos

Un fluido en reposo no puede ejercer una fuerza paralela a una superficie. Este hecho notable tiene su origen en la falta de rigidez del fluido. Si el fluido ejerciera una fuerza paralela a la superficie, la superficie, por supuesto, ejercería una fuerza paralela sobre el fluido.

Un fluido no puede permanecer no puede permanecer en reposo si se aplican sobre el fuerzas paralelas, y de aquí que un fluido en reposo no pueda ejercer fuerzas paralelas a una superficie. Otro modo de decir esto es que un fluido no posee coeficiente de rozamiento estático

La solución de muchos problemas importantes en dinámica de fluidos, también mencionado como flujo de fluidos, hidrodinámica o aerodinámica, se logra a menudo por métodos de variable compleja con las siguientes superposiciones:

El flujo de fluido es bidimensional

Es decir, el modelo del flujo básico y las características del movimiento del fluido e un plano, son esencialmente las mismas en todo plano paralelo. Esto nos permite confinar nuestra atención no mas que a un plano simple, el cual puede tomarse como el plano $z$. L s figuras construidas en este plano se interpretan como secciones transversales de cilindros correspondientes infinitos perpendiculares al plano. Por ejemplo podríamos tener un cilindro infinito que seria un obstáculo, donde al rededor un fluido fluye. Naturalmente, un cilindro no es nada mas que un modelo matemático de un cilindro físico el cual es tan largo, que los efectos se pueden despreciar razonablemente.

El fluido es estacionario o uniforme

La velocidad del fluido en un punto, depende solamente de la posición $(x, y)$ y no del tiempo.

Los componentes de la velocidad se derivan de un potencial

S $V_{x}$ y $V_{y}$ denotan las componentes de la velocidad del fluido en $(x, y)$ en las direcciones $x$ y $y$ positivas respectivamente, existe una función $\Phi$ que se llama la" velocidad potencial ", tal que:

$V_{x} = \frac{\partial \Phi}{\partial x}$

$V_{y} = \frac{\partial \Phi}{\partial y}$

Una suposición equivalente es que, si $C$ es una curva simple cerrada en le plano $z$ y $V_{t}$ es la componente tangencial de l velocidad sobre $C$, entonces:

$\oint_{C} V_{t} ds = \oint_{C} V_{x} dx + V_{y} dy = 0$

Esta integral se llama "circulación" del flujo a lo largo de $C$. Cuando la circulación es cero, el flujo se llama "irrotacional" o "circulación libre".

El flujo es incompresible

La densidad, o masa por volumen unidad del flujo, es constante. Si $V_n$ es la componente normal de la velocidad sobre $C$, esto conduce a la conclusión que:

$\oint_{C} V_{n} d = \oint_{C} V_x dy - v_y dx = 0$

o

$\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{ \partial y} = 0$

lo cual expresa la condición de que la cantidad de flujo contenido dentro de $C$ es un constante, osea, la cantidad que entra a $C$ es igual ala cantidad que sale de $C$. Por esta razón las ecuaciones antes mencionadas se llaman "ecuación de continuidad".

El fluido no es viscoso

Es decir, no tiene viscosidad o fricción interna. un movimiento de un fluido viscoso tiende a adherirse a la superficie de un obstáculo colocado en un camino. Si no hay viscosidad, las fuerzas de presión sobre la superficie son perpendiculares a la superficie. Un fluido que no es viscoso e incompresible, se llama frecuentemente un "fluido ideal". Se debe por supuesto observar que tal fluido es solamente un modelo matemático de un fluido real, en el cual seguramente, tales efectos, se supone, son insignificantes.

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Contribución de: Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 22:25 5 jul 2015 (CDT)

Contribución de: Carlosmiranda (discusión) 00:02 21 nov 2020 (CST)

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Aplicaciones a Flujo de Calor

Flujo de calor

Considerar un solido que tiene una distribución de temperatura que puede estar variando. Estamos interesados en la cantidad de calor conducido por unidad de área en unidad de tiempo a través de una superficie localizada en el solido. Esta cantidad, algunas veces se llama el "flujo de calor" a través de la superficie, esta dada por:

$\wp = - K grad \Phi$

donde $\Phi$ es la temperatura, y $K$, se supone sea una constante, se llama la "conductividad térmica" y depende del material del cual está hecho el solido.

La temperatura compleja

Si nos limitamos a problemas del tipo bidimensional, entonces:

$\wp = - K (\frac{\partial \Phi}{\partial x} + i \frac{\partial \Phi}{\partial y}) = Q_x + i Q_y$

donde : $Q_x = - K \frac{\partial \Phi}{\partial x} , Q_y = - K \frac{\partial \Phi}{\partial y}$

Sea $C$ una curva simple cerrada e el plano $z$ (que representa la sección transversal de un cilindro). Si $Q_t$ y $Q_n$ son las componentes normal y tangencial del flujo de calor y si las condiciones de "estado estacionario" se cumplen, de modo que o hay acumulación neta de calor dentro de $C$, entonces tenemos:

$\oint_{C} Q_n ds = \oint_{C} Q_x dy - Q_y dx = 0$

$\oint_{C} Q_t ds = \oint_{C} Q_x dx + Q_y dy = 0$

Suponiendo que no hay fuentes o sumideros dentro de $C$ tendríamos :

$\frac{\partial Q_x}{\partial x} + \frac{\partial Q_y}{\partial y} = 0$

pero conocemos el valor de $Q_x$ y $Q_y$, entonces tenemos:

$\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} = 0$

osea $\Phi$ es armónica. Introduciendo la función conjugada armónica $\psi$, vemos que

$\Omega (z) = \Phi (x, y) + i \psi (x, y)$

es analítica, Las familias de curvas:

$\Phi (x, y) = \alpha , \psi (x, y) = \beta$

Se llaman lineas "isotérmicas" y "lineas de flujo" respectivamente, mientras que $\Omega (z)$ se llama la "temperatura compleja"; estos procedimientos pueden asimismo emplearse en resolver varios problemas de temperatura.

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Contribución de:Angelina Nohemi Mendoza Tavera (discusión) 23:02 5 jul 2015 (CDT)

Contribución de:Carlosmiranda (discusión) 00:00 21 nov 2020 (CST)

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