Discusión:Ondas: Atenuacion suave

Rafael,

Si la primera derivada en z es la que esta presente, obtienes un par de ecuaciones pero no dices como es la solución, primero matemáticamente y luego físicamente.

¡Falta llegar hasta las últimas consecuencias!

--Mfg 23:28 6 abr 2009 (CDT)

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Editado por:

Rojas Calderón Rafael Alejandro--Kanon1106 20:13 23 mar 2009 (CDT)

En el libro de Iain G. Main que se encuentra en la bibliografía del artículo la ecuación de onda con atenuación está en términos de la primera derivada parcial respecto al tiempo t, esto es:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)$

Sin embargo se da una solución de la forma:

$\psi =\exp \left(-\kappa z\right)Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}$

Es decir, que la amplitud de la onda decrece en función de la distancia z. Debido a esto mismo esta ecuación sólo es solución de la ecuación de onda si ésta se encuentra en términos de la primera derivada parcial respecto a z. Entonces la ecuación de onda que debemos utilizar para ejemplificar la atenuación se expresa así:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)$

Que sigue siendo una ecuación de onda gracias a la equivalencia de espacio-tiempo.--Kanon1106 23:14 4 abr 2009 (CDT)

Me parecieron muy buenas las correcciones que hiciste al artículo, la tabla donde especificas los tres casos de atenuación sirve de mucho y la explicación que aquí está de la dependencia en z (o t) en la primera derivada de la perturbación me parece convincente.

--Belen 00:32 5 abr 2009 (CDT)

Rafael,

Que sucede o a que relaciones llegas si introduces la solución aqui arriba propuesta en las dos ecuaciones diferenciales ya sea primera derivada en z o primera derivada en t?

--Mfg 11:33 5 abr 2009 (CDT)

Ahora estuve viendo tu página de nuevo, está quedando a todo dar!

En tu sección "atenuación de ondas viajeras", ec. (4) tienes una relación entre dos variables (frecuencia y magnitud del vector de onda con coeficientes complejos en la ecuación. Escoges un vector de onda complejo y frecuencia real. ¿Porqué no escojes $\omega$ complejo y $k$ real? ¿Qué pasaría en ese caso?

¿Qué pasaría si ambos $\omega$ y $k$ son complejos?

--Mfg 11:42 5 abr 2009 (CDT)

Demostración de la solución de la ecuación de onda

Vamos a demostrar que la ecuación de onda:

$\psi =\exp \left(-\kappa z\right)Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}$

Realmente es solución de la ecuación de onda en términos de la primera derivada respecto a t:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)$

Y que además este resultado es acorde a la ecuación (4) del artículo, que es la condición que se pide para que este resultado sea cierto.

Ecuación de onda en primeras derivadas respecto a t

Primero intentemos resolver la ecuación diferencial con primera derivada parcial respecto a t:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)$

Sólución mediante la Forma trigonométrica

Primero utilizamos la forma trigonométrica de $\psi \,\!$:

$\psi =e^{-\kappa z}A\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

Obtenemos las primeras y segundas derivadas parciales de $\psi \,\!$ respecto a t y z:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-A\omega e^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-A\omega ^{2}e^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

${\frac {\partial \psi }{\partial z}}=KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)-\kappa Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-K^{2}Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-2\kappa KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)+\kappa ^{2}Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)=\left(-K^{2}+\kappa ^{2}\right)Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-2\kappa KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

Estos resultados los sustituimos en la ecuación diferencial:

Del lado izquierdo de la ecuación tenemos:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=-A\omega ^{2}e^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-\Gamma A\omega e^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

Del lado derecho de la ecuación:

$v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)=v^{2}\left(-K^{2}+\kappa ^{2}\right)Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-2v^{2}\kappa KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

Entonces tenemos, sustituyendo en la ecuación de onda:

$-A\omega ^{2}e^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-\Gamma A\omega e^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)=v^{2}\left(-K^{2}+\kappa ^{2}\right)Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-2v^{2}\kappa KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

Igualando término a término, tenemos que para que esta ecuación sea correcta se deben cumplir las siguientes igualdades:

$\omega ^{2}=v^{2}\left(-\kappa ^{2}+K^{2}\right)\,\!$

$\Gamma \omega =2v^{2}\kappa K\,\!$

A la primera ecuación le restamos la segunda:

$\omega ^{2}-\Gamma \omega =v^{2}\left(-\kappa ^{2}+K^{2}\right)-2v^{2}\kappa K\,\!$

Reacomodamos la ecuación:

$\omega ^{2}-\Gamma \omega =v^{2}\left(-\kappa ^{2}-2\kappa K+K^{2}\right)\,\!$

Factorizamos el término entre paréntesis:

$\omega ^{2}-\Gamma \omega =v^{2}\left(K-i\kappa \right)^{2}\,\!$

Si hacemos $k=K-i\kappa \,\!$ tenemos:

$\omega ^{2}-\Gamma \omega =v^{2}k^{2}\,\!$

Que es la ecuación (4) del artículo con k un número complejo, que es la condición necesaria para que $\psi \,\!$ sea solución de la ecuación diferencial de onda.

Forma "D"

Ahora resolvamos la ecuación de onda en primera derivada respecto a t con:

$\psi =\exp \left(-\kappa z\right)Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

Que sabemos que es equivalente a la forma trigonométrica, por tanto se deben tener los mismos resultados.

De esta forma tenemos las siguientes derivadas parciales:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=e^{-\kappa z}Re\left\{i\omega D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}=i\omega e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial \psi }{\partial z}}=-iKe^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}-Ke^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}=\left(-iK-K\right)e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-K^{2}e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}+2i\kappa Ke^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}+\kappa ^{2}e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}=\left(-K^{2}+2i\kappa K+\kappa ^{2}\right)e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

Sustituimos de nuevo en la ecuación diferencial:

Del lado izquierdo tenemos:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=-\omega ^{2}e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}+\Gamma i\omega e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}=\left(-\omega ^{2}+\Gamma i\omega \right)e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

Del lado derecho de la ecuación diferencial tenemos:

$v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)=v^{2}\left(-K^{2}+2i\kappa K+\kappa ^{2}\right)e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

Estos resultados los sustituimos en la ecuación de onda:

$\left(-\omega ^{2}+\Gamma i\omega \right)e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}=v^{2}\left(-K^{2}+2i\kappa K+\kappa ^{2}\right)e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

Igualando los coeficientes de ambos lados de la ecuación:

$\omega ^{2}-i\Gamma \omega =v^{2}\left(K^{2}-2i\kappa K-\kappa ^{2}\right)\,\!$

Factorizamos el término de la derecha:

$\omega ^{2}-i\Gamma \omega =v^{2}\left(K-i\kappa \right)^{2}\,\!$

Una vez más, haciendo $k=K-i\kappa \,\!$ se obtiene:

$\omega ^{2}-i\Gamma \omega =v^{2}k^{2}\,\!$

Y volvemos a llegar a la ecuación (4).

Ecuación de onda en primera derivada respecto a z

Ahora veamos que utilizando la ecuación de onda con primera derivada parcial respecto a z, la solución debe satisfacer otras condiciones distintas a la ecuación (4) del artículo.

Tomemos pues la ecuación de onda con primera derivada respecto a z:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)$

Utilizando las derivadas parciales obtenidas anteriormente mediante la forma trigonométrica de $\psi \,\!$, e igualándolas con los términos de la ecuación diferencial, tenemos lo siguiente:

Del lado izquierdo:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)=-A\omega ^{2}e^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)+\Gamma KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)-\Gamma \kappa Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

Del lado derecho de la ecuación de onda:

$v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)=v^{2}\left(-K^{2}+\kappa ^{2}\right)Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-2v^{2}\kappa KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

Sustituimos en la ecuación de onda:

$-A\omega ^{2}e^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)+\Gamma KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)-\Gamma \kappa Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)=v^{2}\left(-K^{2}+\kappa ^{2}\right)Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-2v^{2}\kappa KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

Las condiciones para que esta ecuación se cumpla se obtienen igualando término a término los coeficientes de ambos lados de la ecuación:

$\omega ^{2}+\Gamma \kappa =v^{2}K^{2}-v^{2}\kappa ^{2}\,\!$

$\Gamma =-2v^{2}\kappa \,\!$

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera:

$\omega ^{2}-2v^{2}\kappa ^{2}=v^{2}K^{2}-v^{2}\kappa ^{2}\,\!$

Despejamos $\omega ^{2}\,\!$ y factorizamos $v^{2}\,\!$:

$\omega ^{2}=v^{2}\left(K^{2}+\kappa ^{2}\right)\,\!$

Este resultado, como se puede observar, es una condición distinta a la dada por (4) para que $\psi \,\!$ sea solución de la ecuación de onda.

Si utilizamos la Forma D de la solución, llegamos a este mismo resultado.

Solución de la ecuación de onda con $\omega \,\!$ un número complejo

Si en lugar de tomar a $k\,\!$ como un número complejo tomamos a $\omega \,\!$, de acuerdo a lo visto anteriormente vamos a usar la ecuación de onda de la siguiente forma:

${\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}\right)+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}$

Como $\omega \,\!$ es complejo, es de la forma:

$\omega =\omega _{1}+i\omega _{2}\,\!$

Así, $\psi \,\!$ es de la forma:

$\psi =e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

Obtenemos las derivadas parciales:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\omega _{1}e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}-\omega _{2}e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}=\left(i\omega _{1}-\omega _{2}\right)e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=\left(-\omega _{1}^{2}+2i\omega _{1}\omega _{2}+\omega _{2}^{2}\right)e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial \psi }{\partial z}}=-ike^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-k^{2}e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

Estos resultados los sustituimos en la ecuación diferencial:

Del lado izquierdo de la ecuación de onda se tiene que:

${\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}\right)+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)={\frac {1}{v^{2}}}\left(-\omega _{1}^{2}+2i\omega _{1}\omega _{2}+\omega _{2}^{2}\right)e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}-i\Gamma ke^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}=\left[{\frac {1}{v^{2}}}\left(-\omega _{1}^{2}+2i\omega _{1}\omega _{2}+\omega _{2}^{2}\right)-i\Gamma k\right]e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

Mientras que del lado derecho:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-k^{2}e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

Sustituyendo en la ecuación de onda:

$\left[{\frac {1}{v^{2}}}\left(-\omega _{1}^{2}+2i\omega _{1}\omega _{2}+\omega _{2}^{2}\right)-i\Gamma k\right]e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}=-k^{2}e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

Así, para que la igualdad en la ecuación diferencial se cumpla tenemos, igualando los coeficientes de ambos lados de la ecuación:

${\frac {1}{v^{2}}}\left(-\omega _{1}^{2}+2i\omega _{1}\omega _{2}+\omega _{2}^{2}\right)-i\Gamma k=-k^{2}\,\!$

Reescribimos:

$k^{2}-i\Gamma k={\frac {1}{v^{2}}}\left(\omega _{1}^{2}-2i\omega _{1}\omega _{2}-\omega _{2}^{2}\right)\,\!$

Factorizamos el término entre paréntesis del lado derecho de la igualdad:

$k^{2}-i\Gamma k={\frac {1}{v^{2}}}\left(\omega _{1}-i\omega _{2}\right)^{2}\,\!$

Dado que $\omega =\omega _{1}-i\omega _{2}\,\!$ La ecuación queda como:

$k^{2}-i\Gamma k={\frac {1}{v^{2}}}\omega ^{2}\,\!$

Que es la forma análoga a la ecuación (4) para $\omega \,\!$ complejo. En este caso la amplitud de la onda decrece de forma exponencial con el tiempo.

--Kanon1106 13:45 6 abr 2009 (CDT)