Vibra: probs c6

De luz-wiki

Problema 6.1

For forced oscillations in an LCR circuit, show that the voltage across the capacitor at low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$) and the voltage across the inductance at high frequencies

($\omega>>\omega_{0}$ ) are both equal to the generator voltage.

Solución:

Sabemos que el voltaje en el capacitor es $V_{c}=Q/C$ y que el voltaje en el inductor es $V_{L}=\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}L$

De nuestra solución a la ecuación de oscilador forzado con amortiguamiento tenemos:

$Q=Acos(\omega t)$

$\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=A\omega^{2}cos(\omega t)$ en valor absoluto

Susituimos en las ecuaciones de voltaje:

$V_{c}=Acos(\omega t)/C$

$V_{L}=A\omega^{2}cos(\omega t)L$

Sabiendo que $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$


Vemos que pasa primero con A cuando $\omega<<\omega_{0}$, obtenemos simplemente $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{\omega_{0}^{4}}\right]^{1/2}$

O más simplificado $A=\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}}$, sustituimos en la ecuación del voltaje del capacitor:

$V_{c}=(\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}})cos(\omega t)/C$

y si $\omega_{0}^{2}=1/LC$

$V_{c}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador

Ahora para $\omega>>\omega_{0}$ obtenemos que $A=\frac{V_{0}}{L\omega^{2}}$ (notar que el factor $\gamma^{2}\omega^{2}$es despreciable en comparación con $\omega^{4}$, por lo que no se suma)

Sustituimos en el voltaje en el inductor $V_{L}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador. Edgar Ortega Roano 09:59 12 feb 2014 (CDT)

Correcciones --Pablo (discusión) 00:58 15 mar 2015 (CDT)



Problema 6.2

Derive the impedance (5.21) of the LCR circuit (a) at very low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$ and $\omega>>\dfrac{1}{RC}$(b) at frequency ($\omega=\omega_{0}$), and (c) at very high frequencies ($\omega>>\omega_{0}$) and $\omega>>\dfrac{R}{L})$.

\[ Z(\omega)= \dfrac{1}{i\omega K(\omega)}= b+ i(m\omega - \dfrac{s}{\omega})\]


(A)at frequency ($\omega=\omega_{0}$) \[ I_{p}e^{i\omega t} = Ci\omega V_{p}e^{i\omega t}\]

Esto sucede en un capacitor para el cual calculamos el voltaje con la siguiente ecuación $v= \dfrac{q}{C}$. Como sabemos la desfase de aquí es de $\dfrac{-\pi}{2}$. Entonces \[ Z_{c}=\dfrac{v}{I}=\dfrac{-i}{\omega C}\]


(B) La funcion compleja es:

\[
V_{p}e^{i\omega t} = RI_{p}e^{i\omega t}\] 

en la forma compleja. Esto resulta ser la ley de Ohm.

\[ v= RI\] Relacionado con la impedancia es:

\[ Z_{R}= \dfrac{v}{I}= R\]


(c) at very high frequencies ($\omega>>\omega_{0}$) and $\omega>>\dfrac{R}{L})$.

La función en su forma compleja \[ V_{p}e^{i\omega t } = Li \omega I_{p}e^{\omega t}\]

Aquí la fase también es de $\dfrac{\pi}{2}$ y con respecto al voltaje la impedancia es:

\[ Z_{L}=\dfrac{v}{I}= i\omega L\]

--Esther Sarai (discusión) 21:41 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai

Problema 6.3

6.3 Para oscilaciones forzadas en un circuito LRC, mostrar que la potencia media de absorción es $-\frac{1}{2}V_{0}I_{0}sin\phi$ donde $I_{0}$ es la amplitud de la corriente, y los otros símbolos tienen los mismos significados que en el texto. (En libros de electricidad el factor de potencia $-sin\phi$se puede escribir de la forma $cos\phi'$ donde $\phi'=\phi+\frac{\pi}{2}$ que es el ángulo con que la corriente esta por la tensión del generador).

Solución:

Para un un circuito $LRC$ con forzamiento, tenemos la ecuación siguiente: \[LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)...(1) \] Reescribimos la ecuación anterior de la siguiente manera: \[ L{d^2V \over dt^2}+R{dV \over dt} + {1\over C}V = {V_f \over C}\cos(\omega t)...(2) \] Al igual que en el oscilador armónico forzado y con amortiguamiento(porque la ecuación $2$ es análoga al oscilado mecánico), tenemos ahora una solución similar:

\[V=V_\circ\cos(\omega t + \phi) \]

La potencia la podemos calcular como $P=F\frac{dW}{dt}$ , pero para el caso eléctrico se expresa como $P=V\frac{dQ}{dt}$. Ahora multiplicamos la ecuación $V=V_{0}\cos(\omega t+\phi)$ por $C$, que es una capacitancia y obtenemos ahora $VC=V_{0}C_{0}\cos(\omega t+\phi)$o $Q=Q_{0}\cos(\omega t+\phi)$.

Para continuar usamos la expresión $P=V\frac{dQ}{dt}$ y obtenemos:

$P=V\frac{d(Q_{0}\cos(\omega t+\phi))}{dt}=V\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega(-sen(\omega t+\phi)$); pero podemos escribir $V=V_{0}\cos(\omega t)$, el forzamiento del circuito.

Y entonces tenemos $P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega sen(\omega t+\phi)cos(\omega t)$ que al usar la identidad trigonométrica para el $seno$ de la suma de dos ángulos nos queda una nueva ecuación para $P$:

$P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega[sen(\omega t)cos(\delta)-cos(\omega t)sen(\delta)]cos(\omega t)$

y desarrollando el calculo obtenemos que $P$:

$P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega cos(\delta)cos(\omega t)sen(\omega t)+V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega cos^{2}(\omega t)sen(\delta)...(3)$

Y si promediamos la potencia en un número cualquiera entero de ciclos el primer término de la ecuación $3$ resulta cero quedando solamente $P=\omega\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}cos^{2}(\omega t)sen(\delta)...(3)$, donde el promedio del $cos^{2}(\omega t)=\frac{1}{2}$, de modo que la potencia puede expresarse como

$P=\omega V_{0}I_{0}\frac{1}{2}sen(\delta)$

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 03:47 27 feb 2014 (UTC) Correcciones por: --Pablo (discusión) 01:00 15 mar 2015 (CDT)


Problema 6.4

6.4 Show that, for x-rays, the scattered power is independient of frecuency (“Thompson scattering”).

Muestra que, para los rayos X, la potencia de dispersión es independiente de la frecuencia ("Dispersión de Thompson).

Se puede pensar al fenómeno de dispersión de luz como un forzamiento de los electrones que conforman la materia, éstos vibran naturalmente a una frecuencia \(\omega_{0} \), si se aplica una fuerza externa en forma de luz incidente de una frecuencia denotada por \(\omega\) se obtiene un sistema de oscilación forzado.

La frecuencia natural de oscilación de los electrones se puede aproximar si se toma al núcleo atómico como una esfera rígida de radio R cargada uniformemente, esta carga se encuentra confinada y es una fuerza atractiva. La magnitud de la fuerza que ejerce el núcleo atómico es\[\left\Vert\bar{F}\right\Vert =\frac{eq_{\chi}}{4\pi\varepsilon_{0}\chi^{2}}\]

Para conocer la frecuencia con la que vibra la nube eléctronica de forma natural, se escribe la carga con una dependencia del desplazamiento, esta carga es una cantidad que se asigna para que sea un oscilador, el valor de la carga es\[q_{\chi}=e\left(\frac{\chi}{R}\right)^{3}\]


Sustituirla en la magnitud de la fuerza se tiene\[\left\Vert \bar{F}\right\Vert =\frac{e^{2}\left(\frac{\chi}{R}\right)^{3}}{4\pi\varepsilon_{0}\chi^{2}}\]

\[\left\Vert \bar{F}\right\Vert =\frac{e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon_{0}}\chi\]


Donde se observa que la aproximación tiene forma de una fuerza lineal restitutiva que es de la forma\[\left\Vert \bar{F}\right\Vert =-k\chi\]

En este caso la constante del resorte es\[k=\frac{e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon_{0}}\]

Recordando la relación de la constante \(k\) y la frecuencia angular \(\omega_{0}\) que es \(\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}\) y sustituyendo la masa por la masa del electrón, se tiene\[\omega_{0}=\frac{e}{\sqrt{4\pi m_{e}\varepsilon_{0}R^{3}}}\]

Realizamos el calculo usando el radio del átomo de Hidrógeno, sustituimos el el valor de las constantes y se obtiene\[\omega_{0}\thickapprox4.5\times10^{16}\frac{1}{s}\]


De aquí se puede calcular la frecuencia de oscilación de la nube electrónica\[\nu_{0}\backsim10^{16}Hz\]


Por otra parte, la frecuencia de los rayos X se encuentra aproximadamente \(\nu\backsim10^{18}\). Se observa que los rayos X oscilan a una frecuencia cien veces mayor que el electrón del átomo de Hidrógeno, podemos decir que\[\nu<<\nu_{0}\]

La potencia media absorbida por un oscilador forzado, está dada por\[\left\langle P\right\rangle =\frac{F_{0}^{2}}{2\beta}(R_{(\omega)})\]


Donde \(\beta\) es el factor de amortiguamiento. Tenemos entonces que el factor de resonancia es\[R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}\]


Después de factorizar se llega a\[R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{\omega^{4}\left[(\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}-1)^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}\right]}\]

Simplificando\[R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}\left[(\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega^{2}}-1)^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}\right]}\]


Observando las frecuencias encontradas, vemos que el cociente de la frecuencia natural entre la frecuencia de los rayos es semejnte a cero\[\omega_{0}<<\omega\]


Por ello la expresion anterior se reduce a\[R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}}\]


Vemos que la Resonancia no depende de la frecuencia angular como se espera en un oscilador forzado controlado por la masa con frecuencias externas mucho mayores que la frecuencia natural, esto es debido a que la fuerza restitutiva posee un efecto insignificante en el forzamiento en general, entonces la potencia tampoco depende de la frecuencia natural.

Brenda Pérez Vidal (discusión) 20:37 24 feb 2014 (UTC)

--mfg-wiki (discusión) 12:01 9 may 2013 (CDT)


Problema 6.5

Cosider the series RLC circuits driven by an alternating emf of value $E_{0}\sin\omega t$. Find the current the voltage $V_{L}$ across the inductor, and the angular frequency $\omega$ at which $V_{L}$ is a maxium.

$\;$

El voltaje a través de cada elemento del circuito en la figura son


\[ V_{L}=L\frac{dI}{dt}=L\ddot{q} \]


\[ V_{R}=LI=L\dot{q} \] \[ V_{C}=\frac{q}{C} \]


por lo tanto se tiene por la Ley de tensiones de Kirchhoff:

\[ L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{C}=E_{0}\sin\omega t \]


similarmente a la ecuación de movimiento de un oscilador amortiguado se tiene

\[ \beta\rightarrow\frac{R}{2L},\;\omega_{0}\rightarrow\frac{1}{\sqrt{LC}},\; A=\frac{E_{0}}{L} \]


por tanto sabemos que la solución para la corriente esta dada por

\[ I=\frac{-E_{0}}{\sqrt{R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}}}\sin(\omega t-\delta) \] El voltaje a través del conductor es

\[ V_{L}=L\frac{dI}{dt}=\frac{-\omega LE_{0}}{\sqrt{R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}}}\cos(\omega t-\delta) \]


\[ V_{L}=V(\omega)\cos(\omega t-\delta) \]


para encontrar $\omega_{max}$ en el cual $V_{L}$es un maximo obtenemos su derivada en $omega$

\[ \frac{dV(\omega)}{d\omega}=\frac{LE_{0}\Big(R^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{2}{\omega^{2}C^{2}}\Big)}{\Big[R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}\Big]^{3/2}}=0 \]


igualando el numerador a cero se tiene que

\[ \omega_{max}=\frac{1}{\sqrt{LC}-\frac{R^{2}C^{2}}{2}} \]

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 05:59 26 feb 2014 (UTC)


Problema Adicional

OSCILACIONES FORZADAS. Se tiene un objeto de 4 [Kg] que se mueve unido a un resorte sobre una superficie horizontal sin fricción y es impulsado por una fuerza externa dada por: $F=(3[N])\cdot cos(2\pi \cdot t)$. Si la frecuencia natural de oscilación del sistema es de $2.236 [rad/s]$, calcular la amplitud del movimiento suponiendo que no hay amortiguamiento.

Resot.png

Del enunciado tenemos los siguientes datos:

Masa del bloque \begin{equation} m = 4 [Kg] \end{equation}

Fuerza máxima que alcanza la fuerza externa \begin{equation} F_{o} = 3[N] \end{equation}

Frecuencia angular de oscilación de la fuerza impulsora \begin{equation} \omega=2\pi [rad/s] \end{equation}

Frecuencia natural de oscilación del sistema \begin{equation} \omega_{o}=2.236 [rad/s] \end{equation}

Sabiendo que no hay amortiguamiento, entonces la constante de amortiguamiento será $b=0$

\begin{equation} A=? \rightarrow b=0 \end{equation}

Tomando de la teoría la amplitud para una oscilación forzada:

\begin{equation} A=\frac{\frac{F_{o}}{m}}{\sqrt{(\omega^2-\omega_{o}^2)^2+(\frac{b\omega}{m})^2}} .....(I) \end{equation}

Debido a que la constante de amortiguamiento $b=0$, el segundo término del denominador de $(I)$, $(\frac{b\omega}{m})^2=0$. Entonces:

\begin{equation} A=\frac{\frac{F_{o}}{m}}{\sqrt{(\omega^2-\omega_{o}^2)^2}} \end{equation}

\begin{equation} A=\frac{\frac{F_{o}}{m}}{\omega^2-\omega_{o}^2}.... (II) \end{equation}

Sustituyendo valores correspondientes:

\begin{equation} A=\frac{\frac{3}{4}}{(2\pi)^2-(2.236)^2} \end{equation}

\begin{equation} A=\frac{\frac{3}{4}}{34.48} \end{equation}

Por lo tanto

\begin{equation} A=0.02175 [m] \rightarrow A=2.175 [cm] \end{equation} Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 08:27 19 mar 2014 (UTC



Problema adicional al capítulo 6.6

Determinar la solución de estado estable en un circuito RLC, cuando el volteje aplicado es:

\[ \varepsilon(t)=\varepsilon_{0}\sin(t). \]

Solución:

Se tiene la ecuación diferencial de la corriente:

\[ \ddot{\varPsi}+\frac{R}{L}\dot{\varPsi}+\frac{1}{CL}\varPsi=\varepsilon_{0}\sin(\gamma t)...(1) \]

donde la solución general contiene la parte complementaria y particular, y esta expresada como

\[ \varPsi_{G}=\varPsi_{C}+\varPsi_{P} \]

La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial esta dada de la forma:

\[ r^{2}+\frac{R}{L}r+\frac{1}{CL}=0 \]

Resolviendo la ecuación auxiliar por la formula general se tiene:

\[ r=\frac{-\frac{R}{L}\pm\sqrt{\left(\frac{R}{L}\right)^{2}-4\left(1\right)\left(\frac{1}{CL}\right)}}{2(1)} \]

\[ r=\frac{-\frac{R}{L}\pm\sqrt{\frac{1}{L^{2}}\left(R^{2}-\frac{4L}{C}\right)}}{2} \]

\[ r=\frac{-\frac{R}{L}\pm\frac{1}{L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}}{2} \]

sustituimos las raíces en la parte complementaria y se obtiene:

\[ \therefore\varPsi_{C}(t)=\exp\left(-\frac{R}{2L}\right)\left\{ c_{1}\cos\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)+c_{2}\sin\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)\right\} ...(1)* \]

Adicionalmente, para obtener la solución particular, proponemos la forma:

\[ \varPsi_{P}(t)=A\cos\left(\gamma t\right)+B\sin\left(\gamma t\right) \]

Empleando el método de coeficientes indeterminados se tiene:

\[ \dot{\varPsi}_{P}(t)=-\gamma A\sin\left(\gamma t\right)+\gamma B\cos\left(\gamma t\right) \]

\[ \ddot{\varPsi}{}_{P}(t)=-\gamma^{2}A\cos\left(\gamma t\right)-\gamma^{2}B\sin\left(\gamma t\right) \]

Sustituyendo en la ecuación (1), se tiene:

\[ \left[-\gamma^{2}A\cos\left(\gamma t\right)-\gamma^{2}B\sin\left(\gamma t\right)\right]+\frac{R}{L}\left[-\gamma A\sin\left(\gamma t\right)+\gamma B\cos\left(\gamma t\right)\right]+\frac{1}{CL}\left[A\cos\left(\gamma t\right)+B\sin\left(\gamma t\right)\right]=\varepsilon_{0}\sin\left(\gamma t\right) \]

\[ -\gamma^{2}A+\frac{R}{L}\gamma B+\frac{A}{CL}=0...(2) \]

\[ -\gamma^{2}B+\frac{R}{L}\gamma A+\frac{B}{CL}=\epsilon_{0}...(3). \]

Factorizando se tiene:

\[ \frac{R\gamma}{L}B+a\left(\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right)=0...(2') \]

\[ B\left(\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right)-\frac{R\gamma}{L}A=\varepsilon_{0}...(3'). \]

De la ecuación (2') despejamos “B”, y se obtiene:

\[ B=-\frac{L\left(\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right)A}{R\gamma}...(4) \]

Sustituyendo (4) en (3') se tiene:

\[ \left[-\frac{L\left(\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right)}{R\gamma}A*\left(\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right)\right]-\frac{R\gamma}{L}A=\varepsilon_{0} \]

\[ A\left[-\frac{L\left(\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right)\left(\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right)}{R\gamma}-\frac{R\gamma}{L}\right]=\varepsilon_{0} \]

\[ A=\frac{\varepsilon_{0}}{\left[\frac{-L^{2}\left(\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right)^{2}-R^{2}\gamma^{2}}{RL\gamma}\right]} \]

\[ A=\frac{\varepsilon_{0}RL\gamma}{\left[-L^{2}\left(\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right)^{2}-R^{2}\gamma^{2}\right]} \]

\[ A=\frac{\varepsilon_{0}RL\gamma}{\left[-L^{2}\left(\frac{1}{C^{2}L^{2}}-2\frac{\gamma^{2}}{CL}+\gamma^{4}\right)-R^{2}\gamma^{2}\right]} \]

\[ A=\frac{\varepsilon_{0}RL\gamma}{\left[-L^{2}\left(\frac{1}{C^{2}L^{2}}-2\frac{\gamma^{2}}{CL}+\gamma^{4}\right)-R^{2}\gamma^{2}\right]} \]

\[ A=\frac{\varepsilon_{0}RL\gamma}{\left[-\frac{1}{C^{2}}+2\frac{\gamma^{2}L}{C}-L^{2}\gamma^{4}-R^{2}\gamma^{2}\right]} \]

\[ A=\frac{\varepsilon_{0}RL\gamma}{-\gamma^{2}\left[\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}-2\frac{L}{C}+L^{2}\gamma^{2}+R^{2}\right]} \]

\[ \therefore A=-\frac{\varepsilon_{0}RL}{\gamma\left[\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}-2\frac{L}{C}+L^{2}\gamma^{2}+R^{2}\right]}...(5) \]

Sustituyendo (5) en la ecuación (4), se tiene:

\[ B=\frac{-L\left[\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right]}{R\gamma}*\left[-\frac{\varepsilon_{0}RL}{\gamma\left[\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}-2\frac{L}{C}+L^{2}\gamma^{2}+R^{2}\right]}\right] \]

\[ B=\frac{L^{2}\left[\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right]\varepsilon_{0}}{\gamma^{2}\left[\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}-2\frac{L}{C}+L^{2}\gamma^{2}+R^{2}\right]} \]

Si \( x=L^{2\left[\frac{1}{CL}-\gamma^{2}\right]\varepsilon_{0}} \) y \( z=\frac{1}{c^{2}\gamma^{2}}-2\frac{L}{C}+L^{2}\gamma^{2}+R^{2} \), entonces

\[ A=-\frac{\varepsilon_{0}RL}{\gamma z} \]

\[ B=\frac{x\varepsilon_{0}}{\gamma^{2}z} \]

Teniendo la solución complementaria y particular se tiene:

\[ \therefore\varPsi_{G}(t)=\exp\left(-\frac{R}{2L}\right)\left\{ c_{1}\cos\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)+c_{2}\sin\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)\right\} -\frac{\varepsilon_{0}RL}{\gamma z}\cos\left(\gamma t\right)+\frac{x\varepsilon_{0}}{\gamma^{2}z}\sin\left(\gamma t\right) \]

De lo anterior,se realizo un cambio de variable para las expresiones contenidas en los coeficientes “A” y “B” de la ecuación particular.

Por lo tanto, la solución general es la adición de la parte complementaria mas la particular .

Ricardo García Hernández --Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:29 14 mar 2015 (CDT) Correcciones: --Pablo (discusión) 01:33 15 mar 2015 (CDT)


Dí estructura al capítulo 6 --Pablo (discusión) 18:47 14 mar 2015 (CDT)




Problema...

--Luis Martínez (discusión) 08:33 15 mar 2015 (CDT)



problema propuesto de resonancia

El factor de amortiguamiento exponencial \(\gamma\) de un sistema de suspensión de muelles es una décima parte del valor crítico. Si la frecuencia no amortiguada es \(\omega_{0}\), encontrar (a) la frecuencia de resonancia, (b) el factor de calidad, (c) el ángulo de fase \(\phi\) cuando el sistema es accionado a una frecuencia \(\omega=\omega_{0}/2\) (d) la amplitud de estado estable en esta frecuencia.


Solucion:

a) Tenemos que \(\gamma=\gamma_{crit}/10,\) asi de

\(\omega=\omega_{0}\pm\gamma\)

\(\omega_{r}=[\omega_{0}-2(\omega_{0}/10)^{2}]^{1/2}=\omega_{0}(0.98)^{1/2}=0.99\omega_{0}\)

b) El sistema puede ser considerado como debilmente amortiguado, asi de la ecuacion

\(Q=\frac{\omega_{d}}{2\gamma}\simeq\frac{\omega_{0}}{2\gamma}\) se tiene

\(Q\simeq\frac{\omega_{0}}{2\gamma}=\frac{\omega_{0}}{2(\omega_{0}/10)}=5\)

c) De la ecuacion \(\tan{\phi}=\frac{2\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\)


\(\phi^{-1}=(\frac{2\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}})=\tan^{-1}[\frac{2(\omega_{0}/10)(\omega_{0}/2)}{\omega_{0}^{2}-(\omega_{0}/2)^{2}}]\)

\(= \tan^{-1}0.133=7.6^{o}\)


d) De la ecuacion \(A(\omega)=\frac{F_{0}/m}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}]^{1/2}}=0.7756\omega_{0}^{2}\)


de aqui, la amplitud es\[A(\omega=\omega_{0}/2)=\frac{F_{0}/m}{0.7756\omega_{0}^{2}}=1.32\frac{F_{0}}{m\omega_{0}^{2}}\]


puede verse que el factor \((F_{0}/m\omega_{0}^{2})=F_{0}/k\) es la amplitud de estado estable.


--Héctor Reséndiz (discusión) 22:06 15 mar 2015 (CDT)



Problema Adicional 2

Ejercicio Adicional: Corriente de estado estable

Encuentre la solucion de estado estable $q_{p}(t)$ y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie cuando el voltaje aplicado es $E(t)=E_{0}sin(\gamma t)$.

Solución:

La solucionde estado estable $q_{p}(t)$ es una solucion particular de la ecuacion diferencial

\[ L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=E_{0}sin(\gamma t) \]


Con el metodo de coeficientes indeterminados, se supone una solucion particular de la forma $q_{p}(t)=Asin\left(\gamma t\right)+Bcos(\gamma t).$Sustituyendo esta expresion en la ecuacion diferencial e igualando coeficientes, se obtiene

\[ A=\frac{E_{0}\left[L_{\gamma}-\frac{1}{C_{\gamma}}\right]}{-\gamma\left[L^{2}\gamma^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}+R^{2}\right]} \]


\[ B=\frac{E_{0}R}{-\gamma\left[L^{2}\gamma^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}+R^{2}\right]} \]

Es conveniente expresar A y B en terminos de algunos nuevos simbolos.

si

\[ X=L\gamma-\frac{1}{C_{\gamma}} \]


entonces \[ X^{2}=L^{2}\gamma^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}} \]


si

\[ Z=\sqrt{X^{2}+R^{2}} \]


entonces

\[ Z^{2}=L^{2}\gamma^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}+R^{2} \]


Por lo tanto, $A=E_{0}X/(-\gamma Z^{2})$y $B=E_{0}R/(-\gamma Z^{2})$, asi que la carga de estado estable es

\[ q_{p}(t)=-\frac{E_{0}X}{\gamma Z^{2}}sin(\gamma t)-\frac{E_{0}R}{\gamma Z^{2}}cos(\gamma t) \]


Ahora la corriente de estado estable se determina mediante $i_{p}(t)=q_{p}$$(t)$ ´:

\[ i_{p}(t)=\frac{E_{0}}{Z}\left[\frac{R}{Z}sin[\gamma t]-\frac{X}{Z}cos[\gamma t]\right] \]


Las cantidades $X=L\gamma-1/C\gamma$, $Z=\sqrt{X^{2}+R^{2}}$ llamadas reactancia e impedancia, respectivamente del circuito. Tanto la reactancia como la impedancia se miden en homs.

Ejercicio Resuelto por --Rosario Maya (discusión) 22:05 15 mar 2015 (CDT)


Problema Adicional 4

Problema 3.18, capítulo 3, Fowles, Cassiday, "Analytical Mechanics", 2005, 7th edition.


Solve the differential equation of motion of the damped harmonic oscillator driven by a damped harmonic force: \[ F_{ext}(t)=F_0 \, \exp(-\alpha\,t) \, \cos(\omega\,t) \]

(Hint: $ \exp(-\alpha\,t) \, \cos(\omega\,t) = \mathrm{Re}[\exp(-\alpha\,t+i\,\omega\,t)]=\mathrm{Re}[\exp(\beta\,t)]$, where $\beta=-\alpha+i\,\omega$. Assume a solution of the form $A\,\exp(\beta\,t-i\,\phi)$).


SOLUCIÓN:

Utilizando la pista, podemos escribir

\begin{equation}\label{1}\tag{4.1} \ddot{\psi}+\gamma\,\dot{\psi}+\omega_0^2\,\psi= \frac{F_0}{m} \, \exp(-\alpha\,t) \, \cos(\omega\,t) \quad \longrightarrow \quad \ddot{\Psi}+\gamma\,\dot{\Psi}+\omega_0^2\,\Psi= \frac{F_0}{m}\,\exp(\beta\,t) \end{equation}

Donde en la ec. $(4.1)$ $\Psi(t)$ es una función en el plano complejo, y $\; \mathrm{Re}[\frac{F_0}{m}\,\exp(\beta\,t)]=\frac{F_0}{m} \, \exp(-\alpha\,t) \, \cos(\omega\,t)$. Si se asume una solución de la forma $\Psi(t)=A\,\exp(\beta\,t-i\,\phi)$, entonces sustituyendo obtenemos:

\[ A\,\exp(\beta\,t-i\,\phi)\,(\beta^2 +\gamma\,\beta+\omega_0^2)= \frac{F_0}{A\,m}\,\exp(\beta\,t) \quad \Longrightarrow \quad \beta^2 +\gamma\,\beta+\omega_0^2=\frac{F_0}{m\,A}\, \exp(i\, \phi)\]

Pero $\beta=-\alpha+i\,\omega$, y utilizando la relación de Euler :

\[ (\alpha^2-i\,2\,\alpha\,\omega-\omega^2)+\gamma(-\alpha+i\,\omega)+\omega_0^2=\frac{F_0}{m\,A}(\cos(\phi)+i\,\sin(\phi)) \]

Igualando partes reales e imaginarias...

\begin{equation}\label{2}\tag{4.2.a} \alpha^2-\omega^2-\alpha\,\gamma+\omega_0^2=\frac{F_0}{m\,A}\cos(\phi) \end{equation}

\begin{equation}\label{3}\tag{4.2.b} (-2\,\alpha+\gamma)\omega=\frac{F_0}{m\,A}\sin(\phi) \end{equation}

Dividiendo $(4.2.b)$ entre $(4,2.a)$ se obtiene la constante de fase, $\phi$.

\[ \tan(\phi)=\frac{(-2\,\alpha+\gamma)\omega}{\alpha^2-\omega^2-\alpha\,\gamma+\omega_0^2} \]

\begin{equation}\label{4}\tag{4.3} \Rightarrow \quad \phi=\arctan\left(\frac{(-2\,\alpha+\gamma)\omega}{\alpha^2-\omega^2-\alpha\,\gamma+\omega_0^2}\right) \end{equation}

Si elevamos al cuadrado $(4.2.a)$ y $(4,2.b)$ y los sumamos obtenemos la amplitud $A$.

\[ \left( \frac{F_0}{m\,A} \right)^2 (\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi))=(\alpha^2-\omega^2-\alpha\,\gamma+\omega_0^2)^2+((-2\,\alpha+\gamma)\omega)^2 \]

\begin{equation}\label{5}\tag{4.4} \Rightarrow \quad A=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\alpha^2-\omega^2-\alpha\,\gamma+\omega_0^2)^2+(-2\,\alpha\,\omega+\gamma\,\omega)^2}} \end{equation}

Entonces juntando $(4.3)$ y $(4.4)$, obtenemos la solución a $(4.1)$, $\;\Psi(t)=A\,\exp(\beta\,t-i\,\phi)$, y la parte real de tal es...

\begin{equation}\label{6}\tag{4.5} \psi(t)=A\,\exp(-\alpha\,t)\,\cos(\omega\,t-\phi) \end{equation}


Espero que la notación no sea muy tediosa de leer. Hecho por Adolfo Calderón Alcaraz (discusión) 01:33 16 mar 2015 (CDT).

Problema 6.7

Considere un bloque de masa $m$ que está apoyado sobre un resorte de constante $k$ y largo natural $l_{0}$ , bajo la acción de la gravedad. El punto B de donde se sostiene el resorte se encuentra en $t = 0$ al nivel de la mesa.

(a) Encuentre la altura de equilibrio de la masa.

(b) En $t = 0$, cuando la masa está quieta y en la posición de equilibrio, el punto $B$ comienza a oscilar verticalmente. El movimiento de $B$ puede ser descrito como $\vec{r}_{B}(t)=A_{0}sen(\omega t)$. Encuentre la ecuación que describe el movimiento de la masa.

(c) Resuelva la ecuación de movimiento para las condiciones iniciales dadas.

(d) Manteniendo la amplitud $A$ o fija, considere que la frecuencia $\omega$ es menor que la frecuencia de resonancia. ¿Cuál es la frecuencia máxima para que la masa nunca choque con la mesa?

SOLUCIÓN

(a)Definamos la altura del bloque, medida desde el suelo, como y . Para calcular la altura de equilibrio se puede hacer la suma de fuerzas igual a cero, o a través de la energía potencial total. Por el segundo método,

\[ U(y)=mgy+\frac{1}{2}k(y-l_{0})^{2} \]


Para encontrar el $y$ de equilibrio,

\[ \frac{dU}{dy}(y_{eq})=0\Longrightarrow y_{eq}=l_{0}-\frac{mg}{k} \]


(b) Considerando ahora que la base se mueve de acuerdo a $y_{B}=A_{0}sen(\omega t)$ , la ecuación de movimiento para el bloque queda:

\[ m\ddot{y}=-k((y-y_{B})-l_{0})-mg\Longrightarrow m\ddot{y}+k_{y}=k(l_{0}-\frac{mg}{k})+kA_{0}sen(\omega t) \]


c) Si definimos $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$ , y recordando que $y_{eq}=l_{0}-\frac{mg}{k}$ la ecuación anterior la podemos escribir mejor como:

\[ \ddot{y}+\omega_{0}^{2}(y-y_{eq})=\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t) \]


La resolución de esta ecuación es menos trabajosa si se hace el cambio de variables:

\[ \varPhi=y-y_{eq}\longrightarrow\ddot{\Phi}=\ddot{y} \] de manera que la ecuación queda:

\[ \ddot{\Phi}+\omega_{0}^{2}\Phi\longrightarrow\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t) \]


Sabemos que la solución general de esta E . D . O . es igual a la solución de la ecuación homogénea más una solución particular.

\[ Ec.Homog\acute{e}nea\longrightarrow\ddot{\Phi}_{h}+\omega_{0}^{2}\Phi_{h}=0\Longrightarrow\Phi_{h}(t)=\Phi_{0}sen(\omega_{0}t+\delta) \]


Por su parte, la particular se encuentra intentando una solución de la forma:

\[ \Phi_{p}=Dsen(\omega t) \]


Lo que se reemplaza en la ecuación no homogénea para conocer el valor de D :

\[ -\omega^{2}Dsen(\omega t)+\omega_{0}^{2}Dsen(\omega t)=\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t)\Longrightarrow D=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \]


$\therefore$ \[ \Phi_{p}=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}sen(\omega t) \]


Con todo, la solución general de la ecuación no homogénea es:

\[ \Phi(t)=\Phi_{p}(t)+\Phi_{h}(t) \]


\[ \Rightarrow\Phi(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}sen(\omega t)+\Phi_{0}sen(\omega_{0}t+\delta) \]


Ahora debemos aplicar las condiciones iniciales para conocer $\Phi$ o $\delta$ . Hay que ser cuidadosos pues las C.I. las conocemos para la variable $y$ , por lo tanto es necesario reescribirlas para la variable $\Phi$ :

\[ y(0)=y_{eq}\Longleftrightarrow\Phi(o)=0\longrightarrow\delta=0 \]


\[ \dot{y}(0)=0\Longleftrightarrow\dot{\Phi}(o)=0\longrightarrow\Phi_{0}=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \]


\[ \Longrightarrow\Phi(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}[\omega_{0}sen(\omega t)-\omega sen(\omega_{0}t)] \]


Finalmente, $y(t)=\Phi(t)+y_{eq}$

\[ y(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}[\omega_{0}sen(\omega t)-\omega sen(\omega_{0}t)]+l_{0}-\frac{mg}{k} \]

--A. Martín R. Rabelo (discusión) 00:37 16 mar 2015 (CDT)



Ejercicio adicional 6.01

Comenzando con la ecuación \(x(t)= \frac{F_{m} cos(\omega '' t - \beta ) }{G}\) , calcule la velocidad \(V_{m}\) en el movimiento oscilatorio forzado. Demuestre que la amplitud de la velociada es \[V_{m}= \frac{F_{m}}{\sqrt{(m \omega '' - \frac{k}{\omega ''})^2 + b^2}}\] Y compararla con las expresiones que describen los circuitos eléctricos.

solución: La velocidad es la primera derivada de la posición es decir que\[\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d (\frac{F_{m} cos(\omega '' t - \beta ) }{G})}{dt}\] \[\frac{dx}{dt}= \frac{F_{m} (- \omega) sen(\omega '' t- \beta) }{G}\]

Pero como el seno oscila entre 1 y -1, tenemos que la magnitud de la velocidad es\[V_{m}= \frac{F_{m} \omega ''}{G}\]

Donde \(G= \sqrt{(m^2 (\omega ''^2 - \omega^2)^2 + \beta ^2 \omega ''^2}\) por lo tanto \(V_{m}= \frac{F_{m}}{\frac{1}{\omega ''} \sqrt{(m^2 (\omega ''^2 - \omega^2)^2 + \beta ^2 \omega ''^2}}\) Con un poco de algebra obtenemos que\[V_{m}= \frac{F_{m}}{\sqrt{(m \omega '' - \frac{k}{\omega ''})^2 + \beta ^2}}\]


La forma de las expresiones es identica a la representación de un circuito eléctrico que contiene una resistencia R, una inductancia L y una capacitancia C, en el serie con una fuerza electromotriz alterna \(V=V_{m} cos(\omega '' t) \), donde x(t) y V(t) son análogos a la carga electríca q y la corriente i. Donde quedaría como:

\[LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)\]

En esta demostración lo semejante a la amplitud de la velocidad \(V_{m}\) Sirve para medir la calidad de la resonancia, donde dándonos cuenta que \(V_{m}\) es máximo cuando \(\omega '' =\omega\)


(Resnick Halliday problema 17. 52, Física volumen 1. edición 5.) Hecho por--Pablo (discusión) 00:51 16 mar 2015 (CDT)



Ejercicio Adicional 6.8

Problema 38; Fisica, Serway Un bebé se regocija durante el día haciendo sonidos y rebotando arriba y abajo en su cuna. Su masa es de 12.5 kg y el colchón de la cuna se modela como un resorte ligero con constante de fuerza de 4.30 kN/m a) La bebe pronto aprende a rebotar con máxima amplitud y mínimo esfuerzo al doblar sus rodillas, ¿a que frecuencia? b) Ella aprende a usar el colchón como trampolín y pierde contacto con el durante parte de cada ciclo, ¿cuándo su amplitud supera qué valor?

Puesto que la bebe invierte el menor esfuerzo para alcanzar la maxima amplitud es natural pensar que esto sucede cuando tiene la frecuencia de resonancia, es decir\[\omega=\omega_{0}=\sqrt{\frac{s}{m}}=344s^{-1}\]

para el inciso (b) la bebe tiene la amplitud de resonancia y la fuerza de que es aplicada al sistema es precisamente el peso del niño, entonces se tiene\[A=\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\sqrt{\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}}\]\[A=\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\sqrt{\gamma^{2}\omega^{2}}}\]\[A=\frac{g}{\gamma\omega}\]\[A=\frac{1}{\gamma}\frac{g}{\omega}\]\[A=\frac{1}{\gamma}0.03m/s\]




Ejercicio propuesto 6.9

"Dinámica de partículas y sitemas" Jerry B. Marion 2° edición (167p) cap4.

En la figura se representa una masa $m_1$ movida por una fuerzaa senoidal de pulsación $\omega$. Esta masa esta unida a un soporte rígido por medio de un muelle de constante k y se desliza sobre una segunda masa $m_2$.

1.png

La fuerza de rozamiento entre $m_1$ y $m_2$ esta representada por la constante de amortiguamiento $b_1$ y la fuerza de rozamiento entre $m_2$ y el soporte está representada por $b_2$ Contruir la analigía elctrica de este sistema y calcular su impedancia.


La ecuación de movimiento de este sistema es:

\[m_1 \ddot{x_1}+k x_1 -b_1 (\dot{x_1} - \dot{x_2})=Fcos \omega t ......(1)\]

\[m_2 \ddot{x_2}+b_2 \dot{x_2}+b_2 (\dot{x_2}-\dot{x_1})=0......(2)\]

La analogía con un circuito electrico es:

\[m_1 \longrightarrow L\] \[k \longrightarrow {1}/{C}\] \[x \longrightarrow q \] \[F \longrightarrow \varepsilon_0\] \[b \longrightarrow R\]

La ecuación equivalente es: \[L_1 \ddot{q_1} +R_1 (\dot{q_1}-\dot{q_2})+q_1/ c= \varepsilon_0 cos \omega t ......(3) \]

\[ L_2 \ddot{q_2} +R_2 \dot{q_2}+R_1 (\dot{q_2}-\dot{q_1})=0 ......(4)\]

Derivando respecto al tiempo:

\[L_1 \ddot{I_1} +R_1(\dot{I_1}-\dot{I_2}) + \frac{I_1}{C}=i \varepsilon_0 \omega sin \omega t ......(5)\]

\[L_2 \ddot{I_2} + R_2 (\dot{I_2}+R_1 (\dot{I_2}- \dot{I_1})=0.....(6)\]


La impedancia $^{**}$ del circuito es: \[Z= i\omega l_1 -i \frac{1}{\omega c}+z_2......(7)\]

Luego:

\[ \frac{1}{Z_2}=\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2 + i\omega t} \]

\[Z_2 = \frac{R_1 (R_2)(R_1 +R_2) + \omega^2 L_2 ^2 + i\omega L_2 R_1 }{(R_1 + R_2 )^2 + \omega^2 L_2 ^2}\]

Sustituyendo (8) en (7)

\[ Z= i\omega L_1 -i \frac{1}{C \omega}+\frac{R_1 (R_2)(R_1 +R_2) + \omega^2 L_2 ^2 + i\omega L_2 R_1 }{(R_1 + R_2 )^2 + \omega^2 L_2 ^2} \]


$^{**}$ Se llega a este resultado realizando un diagrama del circuito y aplicando las Leyes de kirchhoff

Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 02:24 24 mar 2015 (CDT)