Vibra: probs c6

Main cap.6

6.1

For forced oscillations in an LCR circuit, show that the voltage across the capacitor at low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$) and the voltage across the inductance at high frequencies

($\omega>>\omega_{0}$ ) are both equal to the generator voltage.

Solución:

Sabemos que el voltaje en el capacitor es $V_{c}=Q/C$ y que el voltaje en el inductor es $V_{L}=\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}L$

De nuestra solución a la ecuación de oscilador forzado con amortiguamiento tenemos:

$Q=Acos(\omega t)$

$\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=A\omega^{2}cos(\omega t)$ en valor absoluto

Susituimos en las ecuaciones de voltaje:

$V_{c}=Acos(\omega t)/C$

$V_{L}=A\omega^{2}cos(\omega t)L$

Sabiendo que $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$

Vemos que pasa primero con A cuando $\omega<<\omega_{0}$, obtenemos simplemente $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{\omega_{0}^{4}}\right]^{1/2}$

O más simplificado $A=\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}}$, sustituimos en la ecuación del voltaje del capacitor:

$V_{c}=(\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}})cos(\omega t)/C$

y si $\omega_{0}^{2}=1/LC$

$V_{c}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador

Ahora para $\omega>>\omega_{0}$ obtenemos que $A=\frac{V_{0}}{L\omega^{2}}$ (notar que el factor $\gamma^{2}\omega^{2}$es despreciable en comparación con $\omega^{4}$, por lo que no se suma)

Susituimos en el voltaje en el inductor $V_{L}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador. Edgar Ortega Roano 09:59 12 feb 2014 (CDT)

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6.2

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6.4 Show that, for x-rays, the scattered power is independient of frecuency (“Thompson scattering”)

Con cierto limite de aproximacion, podemos pensar el fenomeno de dispersion luminosa como un forzamiento los electrones que conforman la materia los cuales vibran naturalmente a una frecuencia $\omega _{0}$ y donde la fuerza externa posee una frecuencia de la luz incidente en este caso denotada por. $\omega$ .

Ahora, la frecuencia natural de oscilacion de los electrones la podemos aproximar, pensando el nucleo atomico como una esfera rigida de radio R cargada uniformemente, confinada a una fuerza atractiva por el nucleo atomico.

La magnitud de la fuerza ejercida por el nucleo atomico es entonces: $\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert ={\frac {eq_{\chi }}{4\pi \varepsilon _{0}\chi ^{2}}}$

Donde la magnitud de la carga dependiente del desplazamiento es una cantidad que se asigna para que sea un oscilador, esto lo hacemos para conseguir la frecuencia con que normalmente vibra la nube electronica y su valor se puede demostrar que es:

$q_{\chi }=e\left({\frac {\chi }{R}}\right)^{3}$

Sustituyendo el valor de está carga en la magnitud de la fuerza tenemos.

$\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert ={\frac {e^{2}\left({\frac {\chi }{R}}\right)^{3}}{4\pi \varepsilon _{0}\chi ^{2}}}$

Despues de Simplificar obtenemos.

$\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert ={\frac {e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon _{0}}}\chi$

De aqui observamos que nuestra aproximacion da una fuerza lineal restitutiva, entonces de aqui podemos decir que de la fuerza lineal. $\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert =-k\chi$

$k={\frac {e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon _{0}}}$

Y dada la definicion de: $\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}$

Donde en este caso la masa es la masa del electrón sustituimos.

$\omega _{0}={\frac {e}{\sqrt {4\pi m_{e}\varepsilon _{0}R^{3}}}}$

Lo cual tras calculando con el radio del átomo de Hidrogeno, el el valor de las constantes obetenemos.

$\omega _{0}\thickapprox 4.5\times 10^{16}{\frac {1}{s}}$

De aqui podemos calcular la frecuencia de oscilacion y encontramos:

$\nu _{0}\backsim 10^{16}Hz$

Ahora la frecuencia de los rayos X se encuentra aproximadamente.

$\nu \backsim 10^{18}$ Encontramos que los rayos X oscilan a una frecuencia cien veces mayor, por lo tanto podemos decir que. $\nu <<\nu _{0}$

Entonces la potencia media absorbida por un oscilador forzado, está dada por:

$\left\langle P\right\rangle ={\frac {F_{0}^{2}}{2\beta }}(R_{(\omega )})$

Donde Beta es el factor de amortiguamiento. Tenemos entonces que el factor de resonancia.

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}\omega ^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}$

De aqui factorizamos la cuarta potencia de la frecuencia externa en el denominador.

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}\omega ^{2}}{\omega ^{4}\left[({\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}-1)^{2}+{\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}\right]}}$

Tras simplificar.

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}\left[({\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}-1)^{2}+{\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}\right]}}$

Entonces dadas las condiciones entre las frecuencias encontramos que el cociente de la frecuencia natural entre la frecuencia de los rayos es semejnte a cero.

$\omega _{0}<<\omega$

Y por ello la expresion anterior se reduce del siguiente modo.

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}+{\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}}}$

Vemos que esta Resonancia no depende de la frecuencia angular como era de esperarse en un oscilador forzado controlado por la masa para frecuencias externas mucho mayores que la frecuencia natural ya que la fuerza restitutiva posee un efecto insignificante para el forzamiento en general.

Por lo tanto la potencia tampoco depende de la frecuencia natural. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 22:54 5 jul 2013 (CDT) Se añadió un símbolo para que apareciera la formula de la fuerza lineal. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 23:19 11 jul 2013 (CDT) Corregido el problema falta de parentesis en la expresion de la resonancia.

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--mfg-wiki (discusión) 12:01 9 may 2013 (CDT)