Vibra: probs c6

Main cap.6

6.1

For forced oscillations in an LCR circuit, show that the voltage across the capacitor at low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$) and the voltage across the inductance at high frequencies

($\omega>>\omega_{0}$ ) are both equal to the generator voltage.

Solución:

Sabemos que el voltaje en el capacitor es $V_{c}=Q/C$ y que el voltaje en el inductor es $V_{L}=\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}L$

De nuestra solución a la ecuación de oscilador forzado con amortiguamiento tenemos:

$Q=Acos(\omega t)$

$\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=A\omega^{2}cos(\omega t)$ en valor absoluto

Susituimos en las ecuaciones de voltaje:

$V_{c}=Acos(\omega t)/C$

$V_{L}=A\omega^{2}cos(\omega t)L$

Sabiendo que $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$

Vemos que pasa primero con A cuando $\omega<<\omega_{0}$, obtenemos simplemente $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{\omega_{0}^{4}}\right]^{1/2}$

O más simplificado $A=\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}}$, sustituimos en la ecuación del voltaje del capacitor:

$V_{c}=(\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}})cos(\omega t)/C$

y si $\omega_{0}^{2}=1/LC$

$V_{c}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador

Ahora para $\omega>>\omega_{0}$ obtenemos que $A=\frac{V_{0}}{L\omega^{2}}$ (notar que el factor $\gamma^{2}\omega^{2}$es despreciable en comparación con $\omega^{4}$, por lo que no se suma)

Susituimos en el voltaje en el inductor $V_{L}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador. Edgar Ortega Roano 09:59 12 feb 2014 (CDT)

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6.2

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6.4 Show that, for x-rays, the scattered power is independient of frecuency (“Thompson scattering”).

Muestra que, para los rayos X, la potencia de dispersión es independiente de la frecuencia ("Dispersión de Thompson).

En el límite se puede pensar al fenómeno de dispersión de luz como un forzamiento de los electrones que conforman la materia, éstos vibran naturalmente a una frecuencia $\omega _{0}$. Se aplica una fuerza externa en forma de luz incidente de una frecuencia denotada por $\omega$.

La frecuencia natural de oscilación de los electrones se puede aproximar si se toma al núcleo atómico como una esfera rígida de radio R cargada uniformemente, esta carga se encuentra confinada y es una fuerza atractiva. La magnitud de la fuerza que ejerce el núcleo atómico es:

$\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert ={\frac {eq_{\chi }}{4\pi \varepsilon _{0}\chi ^{2}}}$ 

Para conocer la frecuencia con la que vibra la nube eléctronica de forma natural, se escribe la carga con una dependencia del desplazamiento, esta carga es una cantidad que se asigna para que sea un oscilador, el valor de la carga es:

$q_{\chi }=e\left({\frac {\chi }{R}}\right)^{3}$

Sustituirla en la magnitud de la fuerza se tiene:

$\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert ={\frac {e^{2}\left({\frac {\chi }{R}}\right)^{3}}{4\pi \varepsilon _{0}\chi ^{2}}}$

$\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert ={\frac {e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon _{0}}}\chi$

Donde se observa que la aproximación tiene forma de una fuerza lineal restitutiva que es de la forma:

$\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert =-k\chi$

En este caso la constante del resorte es:

$k={\frac {e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon _{0}}}$

Recordando la relación de la constante $k$ y la frecuencia angular $\omega _{0}$ que es $\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}$ y sustituyendo la masa por la masa del electrón, se tiene:

$\omega _{0}={\frac {e}{\sqrt {4\pi m_{e}\varepsilon _{0}R^{3}}}}$

Realizamos el calculo usando el radio del átomo de Hidrógeno, sustituimos el el valor de las constantes y se obtiene:

$\omega _{0}\thickapprox 4.5\times 10^{16}{\frac {1}{s}}$

De aquí se puede calcular la frecuencia de oscilación de la nube electrónica:

$\nu _{0}\backsim 10^{16}Hz$

Por otra parte, la frecuencia de los rayos X se encuentra aproximadamente $\nu \backsim 10^{18}$.

Se observa que los rayos X oscilan a una frecuencia cien veces mayor que el electrón del átomo de Hidrógeno, podemos decir que:

$\nu <<\nu _{0}$

La potencia media absorbida por un oscilador forzado, está dada por:

$\left\langle P\right\rangle ={\frac {F_{0}^{2}}{2\beta }}(R_{(\omega )})$

Donde $\beta$ es el factor de amortiguamiento. Tenemos entonces que el factor de resonancia es:

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}\omega ^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}$

Después de factorizar se llega a:

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}\omega ^{2}}{\omega ^{4}\left[({\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}-1)^{2}+{\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}\right]}}$

Simplificando:

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}\left[({\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}-1)^{2}+{\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}\right]}}$

Observando las frecuencias encontradas, vemos que el cociente de la frecuencia natural entre la frecuencia de los rayos es semejnte a cero:

$\omega _{0}<<\omega$

Por ello la expresion anterior se reduce a:

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}+{\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}}}$

Vemos que la Resonancia no depende de la frecuencia angular como se espera en un oscilador forzado controlado por la masa con frecuencias externas mucho mayores que la frecuencia natural, esto es debido a que la fuerza restitutiva posee un efecto insignificante en el forzamiento en general, entonces la potencia tampoco depende de la frecuencia natural.

Brenda Pérez Vidal (discusión) 20:37 24 feb 2014 (UTC)

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--mfg-wiki (discusión) 12:01 9 may 2013 (CDT)