Vibra: probs c6

Main cap.6

6.1

For forced oscillations in an LCR circuit, show that the voltage across the capacitor at low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$) and the voltage across the inductance at high frequencies

($\omega>>\omega_{0}$ ) are both equal to the generator voltage.

Solución:

Sabemos que el voltaje en el capacitor es $V_{c}=Q/C$ y que el voltaje en el inductor es $V_{L}=\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}L$

De nuestra solución a la ecuación de oscilador forzado con amortiguamiento tenemos:

$Q=Acos(\omega t)$

$\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=A\omega^{2}cos(\omega t)$ en valor absoluto

Susituimos en las ecuaciones de voltaje:

$V_{c}=Acos(\omega t)/C$

$V_{L}=A\omega^{2}cos(\omega t)L$

Sabiendo que $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$

Vemos que pasa primero con A cuando $\omega<<\omega_{0}$, obtenemos simplemente $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{\omega_{0}^{4}}\right]^{1/2}$

O más simplificado $A=\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}}$, sustituimos en la ecuación del voltaje del capacitor:

$V_{c}=(\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}})cos(\omega t)/C$

y si $\omega_{0}^{2}=1/LC$

$V_{c}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador

Ahora para $\omega>>\omega_{0}$ obtenemos que $A=\frac{V_{0}}{L\omega^{2}}$ (notar que el factor $\gamma^{2}\omega^{2}$es despreciable en comparación con $\omega^{4}$, por lo que no se suma)

Susituimos en el voltaje en el inductor $V_{L}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador. Edgar Ortega Roano 09:59 12 feb 2014 (CDT)

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6.2

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6.4 Show that, for x-rays, the scattered power is independient of frecuency (“Thompson scattering”).

Muestra que, para los rayos X, la potencia de dispersión es independiente de la frecuencia ("Dispersión de Thompson).

En el límite se puede pensar al fenómeno de dispersión de luz como un forzamiento de los electrones que conforman la materia, éstos vibran naturalmente a una frecuencia $\omega _{0}$. Se aplica una fuerza externa en forma de luz incidente de una frecuencia denotada por $\omega$.

La frecuencia natural de oscilación de los electrones se puede aproximar si se toma al núcleo atómico como una esfera rígida de radio R cargada uniformemente, esta carga se encuentra confinada y es una fuerza atractiva. La magnitud de la fuerza que ejerce el núcleo atómico es:

$\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert ={\frac {eq_{\chi }}{4\pi \varepsilon _{0}\chi ^{2}}}$ 

Para conocer la frecuencia con la que vibra la nube eléctronica de forma natura,l se escribe la carga con una dependencia del desplazamiento, esta carga es una cantidad que se asigna para que sea un oscilador, el valor de la carga es:

$q_{\chi }=e\left({\frac {\chi }{R}}\right)^{3}$

Sustituirla en la magnitud de la fuerza se tiene:

$\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert ={\frac {e^{2}\left({\frac {\chi }{R}}\right)^{3}}{4\pi \varepsilon _{0}\chi ^{2}}}$

$\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert ={\frac {e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon _{0}}}\chi$

Donde se observa que la aproximación tiene forma de una fuerza lineal restitutiva que es de la forma:

$\left\Vert {\bar {F}}\right\Vert =-k\chi$

En este caso la constante del resorte es:

$k={\frac {e^{2}}{4\pi R^{3}\varepsilon _{0}}}$

Recordando la relación de la constante $k$ y la frecuencia angular $\omega _{0}$ que es $\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}$ y sustituyendo la masa por la masa del electrón, se tiene:

$\omega _{0}={\frac {e}{\sqrt {4\pi m_{e}\varepsilon _{0}R^{3}}}}$

Realizamos el calculo usando el radio del átomo de Hidrogeno, sustituimos el el valor de las constantes y se obtiene:

$\omega _{0}\thickapprox 4.5\times 10^{16}{\frac {1}{s}}$

De aqui podemos calcular la frecuencia de oscilacion y encontramos:

$\nu _{0}\backsim 10^{16}Hz$

Ahora la frecuencia de los rayos X se encuentra aproximadamente.

$\nu \backsim 10^{18}$ Encontramos que los rayos X oscilan a una frecuencia cien veces mayor, por lo tanto podemos decir que. $\nu <<\nu _{0}$

Entonces la potencia media absorbida por un oscilador forzado, está dada por:

$\left\langle P\right\rangle ={\frac {F_{0}^{2}}{2\beta }}(R_{(\omega )})$

Donde Beta es el factor de amortiguamiento. Tenemos entonces que el factor de resonancia.

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}\omega ^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}$

De aqui factorizamos la cuarta potencia de la frecuencia externa en el denominador.

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}\omega ^{2}}{\omega ^{4}\left[({\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}-1)^{2}+{\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}\right]}}$

Tras simplificar.

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}\left[({\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}-1)^{2}+{\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}\right]}}$

Entonces dadas las condiciones entre las frecuencias encontramos que el cociente de la frecuencia natural entre la frecuencia de los rayos es semejnte a cero.

$\omega _{0}<<\omega$

Y por ello la expresion anterior se reduce del siguiente modo.

$R_{(\omega )}={\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}+{\frac {4\beta ^{2}}{\omega ^{2}}}}}$

Vemos que esta Resonancia no depende de la frecuencia angular como era de esperarse en un oscilador forzado controlado por la masa para frecuencias externas mucho mayores que la frecuencia natural ya que la fuerza restitutiva posee un efecto insignificante para el forzamiento en general.

Por lo tanto la potencia tampoco depende de la frecuencia natural. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 22:54 5 jul 2013 (CDT) Se añadió un símbolo para que apareciera la formula de la fuerza lineal. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 23:19 11 jul 2013 (CDT) Corregido el problema falta de parentesis en la expresion de la resonancia.

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--mfg-wiki (discusión) 12:01 9 may 2013 (CDT)