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'''($\omega>>\omega_{0}$ ) are both equal to the generator voltage.'''
'''($\omega>>\omega_{0}$ ) are both equal to the generator voltage.'''


Solución:
 
'''Traducción'''
 
Para oscilaciones forzadas en un circuito LCR, demuestre que el voltaje a través del capacitor a bajas frecuencias ($\omega<<\omega_{0}$)  y el voltaje a través de la inductancia a altas frecuencias ($\omega>>\omega_{0}$ ) son ambos iguales al voltaje del generador.
 
 
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'''Solución:'''


Sabemos que el voltaje en el capacitor es $V_{c}=Q/C$ y que el voltaje
Sabemos que el voltaje en el capacitor es $V_{c}=Q/C$ y que el voltaje
Línea 17: Línea 25:
tenemos:
tenemos:


$Q=Acos(\omega t)$
$Q=A \cos(\omega t)$


$\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=A\omega^{2}cos(\omega t)$ en valor absoluto
$\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=A\omega^{2} \cos(\omega t)$ en valor absoluto


Susituimos en las ecuaciones de voltaje:
Sustituimos en las ecuaciones de voltaje:


$V_{c}=Acos(\omega t)/C$
$V_{c}=Acos(\omega t)/C$


$V_{L}=A\omega^{2}cos(\omega t)L$
$V_{L}=A\omega^{2} \cos(\omega t)L$


Sabiendo que $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$
Sabiendo que $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$
Línea 48: Línea 56:
Sustituimos en el voltaje en el inductor $V_{L}=V_{0}cos(\omega t)$
Sustituimos en el voltaje en el inductor $V_{L}=V_{0}cos(\omega t)$
que es el voltaje del generador.
que es el voltaje del generador.
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] 09:59 12 feb 2014 (CDT)


Correcciones --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 00:58 15 mar 2015 (CDT)
 
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Resuelto por usuario:
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==Problema 6.2==
==Problema 6.2==
'''Derive the impedance (5.21) of the LCR circuit (a) at very low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$ and $\omega>>\dfrac{1}{RC}$(b) at frequency ($\omega=\omega_{0}$), and (c) at very high frequencies ($\omega>>\omega_{0}$) and $\omega>>\dfrac{R}{L})$.'''
'''Derive the impedance (5.21) of the LCR circuit (a) at very low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$ and $\omega>>\dfrac{1}{RC}$(b) at frequency ($\omega=\omega_{0}$), and (c) at very high frequencies ($\omega>>\omega_{0}$) and $\omega>>\dfrac{R}{L})$.'''
'''Traducción'''
Derive la impedancia (5.21) del circuito LCR (a) a frecuencias muy bajas ($\omega<<\omega_{0}$ and $\omega>>\dfrac{1}{RC})$ (b)a frecuencia ($\omega=\omega_{0}$), y (c) a frecuencias muy altas ($\omega>>\omega_{0}$) and $\omega>>\dfrac{R}{L})$


\[
\[
Z(\omega)= \dfrac{1}{i\omega K(\omega)}= b+ i(m\omega - \dfrac{s}{\omega})\]
Z(\omega)= \dfrac{1}{i\omega K(\omega)}= b+ i(m\omega - \dfrac{s}{\omega})\]


'''Inciso a'''
(A) a frecuencias ($\omega=\omega_{0}$)


(A)at frequency ($\omega=\omega_{0}$)
\[
\[
I_{p}e^{i\omega t} = Ci\omega V_{p}e^{i\omega t}\]
I_{p}e^{i\omega t} = Ci\omega V_{p}e^{i\omega t}
\]


Esto sucede en un capacitor para el cual calculamos el voltaje con la siguiente ecuación $v= \dfrac{q}{C}$. Como sabemos la desfase de aquí es de $\dfrac{-\pi}{2}$. Entonces
Esto sucede en un capacitor para el cual calculamos el voltaje con la siguiente ecuación $v= \dfrac{q}{C}$. Como sabemos la desfase de aquí es de $\dfrac{-\pi}{2}$. Entonces
\[
\[
Z_{c}=\dfrac{v}{I}=\dfrac{-i}{\omega C}\]
Z_{c}=\dfrac{v}{I}=\dfrac{-i}{\omega C}\]
'''Inciso b'''
(B) La función compleja es:
\[
V_{p}e^{i\omega t} = RI_{p}e^{i\omega t}
\]




(B) La funcion compleja es:
\[
V_{p}e^{i\omega t} = RI_{p}e^{i\omega t}\]


en la forma compleja. Esto resulta ser la ley de Ohm.
en la forma compleja. Esto resulta ser la ley de Ohm.
Línea 81: Línea 106:
\[ Z_{R}= \dfrac{v}{I}= R\]
\[ Z_{R}= \dfrac{v}{I}= R\]


'''Inciso c'''


(c) at very high frequencies ($\omega>>\omega_{0}$) and $\omega>>\dfrac{R}{L})$.
(c) a muy altas frecuencias ($\omega>>\omega_{0}$) and $\omega>>\dfrac{R}{L})$.


La función en su forma compleja  
La función en su forma compleja  
Línea 91: Línea 117:


\[
\[
Z_{L}=\dfrac{v}{I}= i\omega L\]
Z_{L}=\dfrac{v}{I}= i\omega L
\]


--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 21:41 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai
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==Problema 6.3==
==Problema 6.3==
6.3 '''Para oscilaciones forzadas en un circuito LRC, mostrar que la potencia media de absorción es $-\frac{1}{2}V_{0}I_{0}sin\phi$ donde $I_{0}$ es la amplitud de la corriente, y los otros símbolos tienen los mismos significados que en el texto. (En libros de electricidad el factor de potencia $-sin\phi$se puede escribir de la forma $cos\phi'$ donde $\phi'=\phi+\frac{\pi}{2}$ que es el ángulo con que la corriente esta por la tensión del generador).'''
6.3 '''Para oscilaciones forzadas en un circuito LRC, mostrar que la potencia media de absorción es $-\frac{1}{2}V_{0}I_{0}sin\phi$ donde $I_{0}$ es la amplitud de la corriente, y los otros símbolos tienen los mismos significados que en el texto. (En libros de electricidad el factor de potencia $-sin\phi$se puede escribir de la forma $cos\phi'$ donde $\phi'=\phi+\frac{\pi}{2}$ que es el ángulo con que la corriente esta por la tensión del generador).'''


Solución:  
'''Solución:'''


Para un  un circuito $LRC$ con forzamiento, tenemos la ecuación siguiente:
Para un  un circuito $LRC$ con forzamiento, tenemos la ecuación siguiente:
\[LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)...(1) \]
 
\[
LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)\qquad\qquad              (1)  
\]
Reescribimos la ecuación anterior de la siguiente manera:
Reescribimos la ecuación anterior de la siguiente manera:
\[ L{d^2V \over dt^2}+R{dV \over dt} + {1\over C}V = {V_f \over C}\cos(\omega t)...(2) \]
 
\[
L{d^2V \over dt^2}+R{dV \over dt} + {1\over C}V = {V_f \over C}\cos(\omega t)\qquad\qquad              (2)  
\]
 
Al igual que en el oscilador armónico forzado y con amortiguamiento(porque la ecuación $2$ es análoga al oscilado mecánico), tenemos ahora una solución similar:
Al igual que en el oscilador armónico forzado y con amortiguamiento(porque la ecuación $2$ es análoga al oscilado mecánico), tenemos ahora una solución similar:


\[V=V_\circ\cos(\omega t + \phi) \]
\[
V=V_\circ\cos(\omega t + \phi)  
\]


La potencia la podemos calcular como $P=F\frac{dW}{dt}$ , pero para el caso eléctrico se expresa como $P=V\frac{dQ}{dt}$. Ahora multiplicamos la ecuación $V=V_{0}\cos(\omega t+\phi)$ por $C$, que es una capacitancia y obtenemos ahora $VC=V_{0}C_{0}\cos(\omega t+\phi)$o $Q=Q_{0}\cos(\omega t+\phi)$.
La potencia la podemos calcular como $P=F\frac{dW}{dt}$ , pero para el caso eléctrico se expresa como $P=V\frac{dQ}{dt}$. Ahora multiplicamos la ecuación $V=V_{0}\cos(\omega t+\phi)$ por $C$, que es una capacitancia y obtenemos ahora $VC=V_{0}C_{0}\cos(\omega t+\phi)$o $Q=Q_{0}\cos(\omega t+\phi)$.
Línea 124: Línea 163:
y desarrollando el calculo obtenemos que $P$:
y desarrollando el calculo obtenemos que $P$:


$P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega cos(\delta)cos(\omega t)sen(\omega t)+V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega cos^{2}(\omega t)sen(\delta)...(3)$
$P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega \cos (\delta) \cos(\omega t) \mathrm{sen}\,\theta \sin  (\omega t)+V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega cos^{2}(\omega t)sen(\delta)\qquad\qquad              (3)$


Y si promediamos la potencia en un número cualquiera entero de ciclos el primer término de la ecuación $3$ resulta cero quedando solamente
Y si promediamos la potencia en un número cualquiera entero de ciclos el primer término de la ecuación $3$ resulta cero quedando solamente
Línea 132: Línea 171:
$P=\omega V_{0}I_{0}\frac{1}{2}sen(\delta)$
$P=\omega V_{0}I_{0}\frac{1}{2}sen(\delta)$


[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 03:47 27 feb 2014 (UTC)
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Correcciones por:
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--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 01:00 15 mar 2015 (CDT)
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==Problema 6.4==
==Problema 6.4==
'''6.4 Show that, for x-rays, the scattered power is independient of frecuency (“Thompson scattering”).'''
'''6.4 Show that, for x-rays, the scattered power is independient of frecuency (“Thompson scattering”).'''
'''Traducción'''


'''Muestra que, para los rayos X, la potencia de dispersión es independiente de la frecuencia ("Dispersión de Thompson).'''
'''Muestra que, para los rayos X, la potencia de dispersión es independiente de la frecuencia ("Dispersión de Thompson).'''
'''Solución'''


Se puede pensar al fenómeno de dispersión de luz como un forzamiento  de los electrones que conforman la materia, éstos vibran naturalmente a una frecuencia <math>\omega_{0} </math>, si se aplica una fuerza externa en forma de luz incidente de una frecuencia denotada por <math>\omega</math> se obtiene un sistema de oscilación forzado.  
Se puede pensar al fenómeno de dispersión de luz como un forzamiento  de los electrones que conforman la materia, éstos vibran naturalmente a una frecuencia <math>\omega_{0} </math>, si se aplica una fuerza externa en forma de luz incidente de una frecuencia denotada por <math>\omega</math> se obtiene un sistema de oscilación forzado.  
Línea 148: Línea 191:
  <math>\left\Vert\bar{F}\right\Vert =\frac{eq_{\chi}}{4\pi\varepsilon_{0}\chi^{2}}</math>  
  <math>\left\Vert\bar{F}\right\Vert =\frac{eq_{\chi}}{4\pi\varepsilon_{0}\chi^{2}}</math>  


Para conocer la frecuencia con la que vibra la nube eléctronica de forma natural, se escribe la carga con una dependencia del desplazamiento, esta carga es una cantidad que se asigna para que sea un oscilador, el valor de la carga es:
Para conocer la frecuencia con la que vibra la nube electrónica de forma natural, se escribe la carga con una dependencia del desplazamiento, esta carga es una cantidad que se asigna para que sea un oscilador, el valor de la carga es:


<math>q_{\chi}=e\left(\frac{\chi}{R}\right)^{3}</math>
<math>q_{\chi}=e\left(\frac{\chi}{R}\right)^{3}</math>
Línea 212: Línea 255:
   
   


Por ello la expresion anterior se reduce a:
Por ello la expresión anterior se reduce a:


<math>R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}}</math>
<math>R_{(\omega)}=\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}+\frac{4\beta^{2}}{\omega^{2}}}</math>
Línea 219: Línea 262:
Vemos que la Resonancia no depende de la frecuencia angular como se espera en un oscilador forzado controlado por la masa con frecuencias externas mucho mayores que la frecuencia natural, esto es debido a que la fuerza restitutiva posee un efecto insignificante en el forzamiento en general, entonces la potencia tampoco depende de la frecuencia natural.
Vemos que la Resonancia no depende de la frecuencia angular como se espera en un oscilador forzado controlado por la masa con frecuencias externas mucho mayores que la frecuencia natural, esto es debido a que la fuerza restitutiva posee un efecto insignificante en el forzamiento en general, entonces la potencia tampoco depende de la frecuencia natural.


[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 20:37 24 feb 2014 (UTC)


--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:01 9 may 2013 (CDT)
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Contribución por usuarios: [[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 20:37 24 feb 2014 (UTC), [[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 12:01 9 may 2013 (CDT)
[[categoría:Vibra]]
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==Problema 6.5==
==Problema 6.5==
'''Cosider the series RLC circuits driven by an alternating emf of value $E_{0}\sin\omega t$. Find the current the voltage $V_{L}$ across the inductor, and the angular frequency $\omega$ at which $V_{L}$ is a maxium.'''
'''Cosider the series RLC circuits driven by an alternating emf of value $E_{0}\sin\omega t$. Find the current the voltage $V_{L}$ across the inductor, and the angular frequency $\omega$ at which $V_{L}$ is a maxium.'''


$\;$
'''Traducción'''
 
Considere los circuitos RLC en serie impulsados ​​por una f.e.m alterna de valor $E_{0}\sin\omega t$. Encuentre la corriente, el voltaje $V_{L}$ a través del inductor y la frecuencia angular $\omega$ en la que $V_{L}$ es máxima.
 
'''Solución'''


El voltaje a través de cada elemento del circuito en la figura son
El voltaje a través de cada elemento del circuito en la figura son
Línea 279: Línea 324:




para encontrar $\omega_{max}$ en el cual $V_{L}$es un maximo obtenemos
para encontrar $\omega_{max}$ en el cual $V_{L}$es un máximo obtenemos
su derivada en $omega$  
su derivada en $omega$  


Línea 292: Línea 337:
\omega_{max}=\frac{1}{\sqrt{LC}-\frac{R^{2}C^{2}}{2}}
\omega_{max}=\frac{1}{\sqrt{LC}-\frac{R^{2}C^{2}}{2}}
\]
\]
 
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:59 26 feb 2014 (UTC)
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Resuelto por usuario: [[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:59 26 feb 2014 (UTC)
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==Problema 6.7==
 
'''Considere un bloque de masa $m$ que está apoyado sobre un resorte de constante $k$ y largo natural $l_{0}$ , bajo la acción de la gravedad. El punto B de donde se sostiene el resorte se encuentra en $t = 0$ al nivel de la mesa. '''
 
'''(a) Encuentre la altura de equilibrio de la masa.'''
 
'''(b) En $t = 0$, cuando la masa está quieta y en la posición de equilibrio, el punto $B$ comienza a oscilar verticalmente. El movimiento de $B$ puede ser descrito como $\vec{r}_{B}(t)=A_{0}sen(\omega t)$. Encuentre la ecuación que describe el movimiento de la masa.'''
 
'''(c) Resuelva la ecuación de movimiento para las condiciones iniciales
dadas.'''
 
'''(d) Manteniendo la amplitud $A$ o fija, considere que la frecuencia $\omega$ es menor que la frecuencia de resonancia. ¿Cuál es la frecuencia máxima para que la masa nunca choque con la mesa?'''
 
'''SOLUCIÓN'''
 
'''Inciso a'''
 
(a)Definamos la altura del bloque, medida desde el suelo, como y .
Para calcular la altura de equilibrio se puede hacer la suma
de fuerzas igual a cero, o a través de la energía
potencial total. Por el segundo método,
 
\[
U(y)=mgy+\frac{1}{2}k(y-l_{0})^{2}
\]
 
 
Para encontrar el $y$ de equilibrio,
 
\[
\frac{dU}{dy}(y_{eq})=0\Longrightarrow y_{eq}=l_{0}-\frac{mg}{k}
\]
 
'''Inciso b'''
 
(b) Considerando ahora que la base se mueve de acuerdo a $y_{B}=A_{0}sen(\omega t)$
, la ecuación de movimiento para el bloque queda:
 
\[
m\ddot{y}=-k((y-y_{B})-l_{0})-mg\Longrightarrow m\ddot{y}+k_{y}=k(l_{0}-\frac{mg}{k})+kA_{0}sen(\omega t)
\]
 
'''Inciso c'''
 
c) Si definimos $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$ , y recordando que $y_{eq}=l_{0}-\frac{mg}{k}$
la ecuación anterior la podemos escribir mejor como:
 
\[
\ddot{y}+\omega_{0}^{2}(y-y_{eq})=\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t)
\]
 
 
La resolución de esta ecuación es menos trabajosa si se hace el cambio
de variables:
 
\[
\varPhi=y-y_{eq}\longrightarrow\ddot{\Phi}=\ddot{y}
\]
de manera que la ecuación queda:
 
\[
\ddot{\Phi}+\omega_{0}^{2}\Phi\longrightarrow\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t)
\]
 
 
Sabemos que la solución general de esta E . D . O . es igual a la
solución de la ecuación homogénea más una solución particular.
 
\[
Ec.Homog\acute{e}nea\longrightarrow\ddot{\Phi}_{h}+\omega_{0}^{2}\Phi_{h}=0\Longrightarrow\Phi_{h}(t)=\Phi_{0}sen(\omega_{0}t+\delta)
\]
 
 
Por su parte, la particular se encuentra intentando una solución de
la forma:
 
\[
\Phi_{p}=Dsen(\omega t)
\]
 
 
Lo que se reemplaza en la ecuación no homogénea para conocer el valor
de D :
 
\[
-\omega^{2}Dsen(\omega t)+\omega_{0}^{2}Dsen(\omega t)=\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t)\Longrightarrow D=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}
\]
 
 
$\therefore$
\[
\Phi_{p}=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}sen(\omega t)
\]
 
 
Con todo, la solución general de la ecuación no homogénea es:
 
\[
\Phi(t)=\Phi_{p}(t)+\Phi_{h}(t)
\]
 
 
\[
\Rightarrow\Phi(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}sen(\omega t)+\Phi_{0}sen(\omega_{0}t+\delta)
\]
 
 
Ahora debemos aplicar las condiciones iniciales para conocer $\Phi$
o $\delta$ . Hay que ser cuidadosos pues las C.I. las conocemos para
la variable $y$ , por lo tanto es necesario reescribirlas para la
variable $\Phi$ :
 
\[
y(0)=y_{eq}\Longleftrightarrow\Phi(o)=0\longrightarrow\delta=0
\]
 
 
\[
\dot{y}(0)=0\Longleftrightarrow\dot{\Phi}(o)=0\longrightarrow\Phi_{0}=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}
\]
 
 
\[
\Longrightarrow\Phi(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}[\omega_{0}sen(\omega t)-\omega sen(\omega_{0}t)]
\]
 
 
Finalmente, $y(t)=\Phi(t)+y_{eq}$
 
\[
y(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}[\omega_{0}sen(\omega t)-\omega sen(\omega_{0}t)]+l_{0}-\frac{mg}{k}
\]


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Realizado por usuario: [[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 00:37 16 mar 2015 (CDT)
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= Problemas Adicionales =


==Problema Adicional==
==Problema Adicional==
'''OSCILACIONES FORZADAS. Se tiene un objeto de 4 [Kg] que se mueve unido a un resorte sobre una superficie horizontal sin fricción y es impulsado por una fuerza externa dada por: $F=(3[N])\cdot cos(2\pi \cdot t)$.'''
'''OSCILACIONES FORZADAS. Se tiene un objeto de 4 [Kg] que se mueve unido a un resorte sobre una superficie horizontal sin fricción y es impulsado por una fuerza externa dada por: $F=(3[N])\cdot cos(2\pi \cdot t)$.'''
'''Si la frecuencia natural de oscilación del sistema es de $2.236 [rad/s]$, calcular la amplitud del movimiento suponiendo que no hay amortiguamiento.'''
'''Si la frecuencia natural de oscilación del sistema es de $2.236 [rad/s]$, calcular la amplitud del movimiento suponiendo que no hay amortiguamiento.'''
'''Solución'''


[[Archivo:resot.png]]
[[Archivo:resot.png]]
Línea 363: Línea 549:
A=0.02175 [m] \rightarrow A=2.175 [cm]
A=0.02175 [m] \rightarrow A=2.175 [cm]
\end{equation}
\end{equation}
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 08:27 19 mar 2014 (UTC


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Resuelto por usuario: [[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 08:27 19 mar 2014 (UTC
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== Problema adicional al capítulo 6.6 ==
== Problema adicional al capítulo 6.6 ==


Línea 374: Línea 561:
   </math> '''
   </math> '''


Solución:
'''Solución:'''


Se tiene la ecuación diferencial de la corriente:
Se tiene la ecuación diferencial de la corriente:


:<math> \ddot{\varPsi}+\frac{R}{L}\dot{\varPsi}+\frac{1}{CL}\varPsi=\varepsilon_{0}\sin(\gamma t)...(1)
  </math>


donde la solución general contiene la parte complementaria y particular, y esta expresada como
\begin{eqnarray*}
\ddot{\varPsi}+\frac{R}{L}\dot{\varPsi}+\frac{1}{CL}\varPsi=\varepsilon_{0}\sin(\gamma t) \qquad\qquad              (1)
\end{eqnarray*}
 
 
Donde la solución general contiene la parte complementaria y particular, y esta expresada como
 
 
 
\begin{eqnarray*}
\varPsi_{G}=\varPsi_{C}+\varPsi_{P}
\end{eqnarray*}


:<math> \varPsi_{G}=\varPsi_{C}+\varPsi_{P}
  </math>


La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial esta dada de la forma:
La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial esta dada de la forma:
Línea 404: Línea 598:
sustituimos las raíces en la parte complementaria y se obtiene:
sustituimos las raíces en la parte complementaria y se obtiene:


:<math> \therefore\varPsi_{C}(t)=\exp\left(-\frac{R}{2L}\right)\left\{ c_{1}\cos\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)+c_{2}\sin\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)\right\} ...(1)*
\begin{eqnarray*}
  </math>
\therefore\varPsi_{C}(t)=\exp\left(-\frac{R}{2L}\right)\left\{ c_{1}\cos\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)+c_{2}\sin\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)\right\} \qquad\qquad              (1)*
\end{eqnarray*}
 


Adicionalmente, para obtener la solución particular, proponemos la forma:
Adicionalmente, para obtener la solución particular, proponemos la forma:


:<math> \varPsi_{P}(t)=A\cos\left(\gamma t\right)+B\sin\left(\gamma t\right)
\begin{eqnarray*}
  </math>
\varPsi_{P}(t)=A\cos\left(\gamma t\right)+B\sin\left(\gamma t\right)
\end{eqnarray*}
 


Empleando el método de coeficientes indeterminados se tiene:
Empleando el método de coeficientes indeterminados se tiene:


:<math> \dot{\varPsi}_{P}(t)=-\gamma A\sin\left(\gamma t\right)+\gamma B\cos\left(\gamma t\right)
\begin{eqnarray*}
  </math>
\dot{\varPsi}_{P}(t)=-\gamma A\sin\left(\gamma t\right)+\gamma B\cos\left(\gamma t\right)
\end{eqnarray*}
 
\begin{eqnarray*}
\ddot{\varPsi}{}_{P}(t)=-\gamma^{2}A\cos\left(\gamma t\right)-\gamma^{2}B\sin\left(\gamma t\right)
\end{eqnarray*}
 


:<math> \ddot{\varPsi}{}_{P}(t)=-\gamma^{2}A\cos\left(\gamma t\right)-\gamma^{2}B\sin\left(\gamma t\right)
  </math>


Sustituyendo en la ecuación (1), se tiene:
Sustituyendo en la ecuación (1), se tiene:
Línea 493: Línea 695:
Teniendo la solución complementaria y particular se tiene:
Teniendo la solución complementaria y particular se tiene:


:<math> \therefore\varPsi_{G}(t)=\exp\left(-\frac{R}{2L}\right)\left\{ c_{1}\cos\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)+c_{2}\sin\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)\right\} -\frac{\varepsilon_{0}RL}{\gamma z}\cos\left(\gamma t\right)+\frac{x\varepsilon_{0}}{\gamma^{2}z}\sin\left(\gamma t\right)
\begin{eqnarray*}
  </math>
\therefore\varPsi_{G}(t)=\exp\left(-\frac{R}{2L}\right)\left\{ c_{1}\cos\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)+c_{2}\sin\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)\right\} -\frac{\varepsilon_{0}RL}{\gamma z}\cos\left(\gamma t\right)+\frac{x\varepsilon_{0}}{\gamma^{2}z}\sin\left(\gamma t\right)
\end{eqnarray*}
 


De lo anterior,se realizo un cambio de variable para las expresiones contenidas en los coeficientes “A” y “B” de la ecuación particular.
De lo anterior,se realizo un cambio de variable para las expresiones contenidas en los coeficientes “A” y “B” de la ecuación particular.
Línea 500: Línea 704:
Por lo tanto, la solución general es la adición de la parte complementaria mas la particular .
Por lo tanto, la solución general es la adición de la parte complementaria mas la particular .


Ricardo García Hernández
 
--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:29 14 mar 2015 (CDT)
Correcciones:
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 01:33 15 mar 2015 (CDT)


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Dí estructura al capítulo 6 --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 18:47 14 mar 2015 (CDT)
Aportaciones por usuarios: Ricardo García Hernández [[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:29 14 mar 2015 (CDT), Correcciones:--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 01:33 15 mar 2015 (CDT) Dí estructura al capítulo 6 --[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 18:47 14 mar 2015 (CDT)
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== Problema Circuito RLC.  ==
 
'''Un circuito está formado por una resistencia de $8\Omega$ en serie con un condensador de $485.5 µf$ y una bobina de $40 mH$. El conjunto está alimentado por una tensión de $220V/50Hz$.'''
 
[[Archivo:Circuito3.jpg]]


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Hallar:
 
a)Valor de la impedancia del circuito(módulo y argumento).
 
b)Valor instantáneo y eficaz de la corriente que atraviesa el circuito.
 
'''SOLUCIÓN:'''
 
'''Inciso a'''
 
a)Valor de $Z$.
 
$Z=R+j\left(\omega L -\frac{1}{\omega C}\right) = 8+j\left(2*\pi*50*0.4 - \frac{1}{2* \pi * 50*485.5* 10^{-6}}\right) $
$Z=8+j(12.56 - 6.56)= 8+j6 \Omega$
:<math>|Z|= \sqrt{R^{2} + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}= \sqrt{8^2 + 6^2}= 10\Omega </math>
 
valor del argumento.:
 
<math>\phi = arctan\left(\frac{\omega L -\frac{1}{\omega C}}{R}\right)= arctan\left(\frac{6}{8}\right)=0.64 rad</math>
 
'''Inciso b'''
 
b)Valor instantáneo de la corriente.
Una tensión eficaz de $220V/50Hz$ corresponde con una tensión de:
 
:<math>v=V_0 * sen(\omega t) = \sqrt{2}*220*sen(2\pi * 50*t)</math>
:<math>v=311.12sen(314*t)volts</math>
 
por lo tanto la corriente está dada por:


%i=\frac{V_0}{|Z|}sen(\omega t+\phi )=31.112sen(314*t +0.64 ) Amperes%
donde $I_0 = 31.112A$


El valor eficaz de la corriente es:


----
:<math>I=\frac{I_0}{\sqrt{2}}=\frac{31.112}{\sqrt{2}}=22A</math>
Problema...


--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:33 15 mar 2015 (CDT)


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Resuelto por usuario: [[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:33 15 mar 2015 (CDT)
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== Problema propuesto de resonancia ==
== problema propuesto de resonancia ==


El factor de amortiguamiento exponencial <math>\gamma</math> de un sistema de suspensión de muelles es una décima parte del valor crítico. Si la frecuencia no amortiguada es <math>\omega_{0}</math>, encontrar (a) la frecuencia de resonancia, (b) el factor de calidad, (c) el ángulo de fase <math>\phi</math> cuando el sistema es accionado a una frecuencia <math>\omega=\omega_{0}/2</math>
El factor de amortiguamiento exponencial <math>\gamma</math> de un sistema de suspensión de muelles es una décima parte del valor crítico. Si la frecuencia no amortiguada es <math>\omega_{0}</math>, encontrar (a) la frecuencia de resonancia, (b) el factor de calidad, (c) el ángulo de fase <math>\phi</math> cuando el sistema es accionado a una frecuencia <math>\omega=\omega_{0}/2</math>
Línea 526: Línea 764:




Solucion:
'''Solución:'''


a)  Tenemos que <math>\gamma=\gamma_{crit}/10,</math> asi de  
a)  Tenemos que <math>\gamma=\gamma_{crit}/10,</math> asi de  
Línea 534: Línea 772:
<math>\omega_{r}=[\omega_{0}-2(\omega_{0}/10)^{2}]^{1/2}=\omega_{0}(0.98)^{1/2}=0.99\omega_{0}</math>
<math>\omega_{r}=[\omega_{0}-2(\omega_{0}/10)^{2}]^{1/2}=\omega_{0}(0.98)^{1/2}=0.99\omega_{0}</math>


b)  El sistema puede ser considerado como debilmente amortiguado, asi de la ecuacion
b)  El sistema puede ser considerado como débilmente amortiguado, así de la ecuación


<math>Q=\frac{\omega_{d}}{2\gamma}\simeq\frac{\omega_{0}}{2\gamma}</math> se tiene
<math>Q=\frac{\omega_{d}}{2\gamma}\simeq\frac{\omega_{0}}{2\gamma}</math> se tiene
Línea 540: Línea 778:
<math>Q\simeq\frac{\omega_{0}}{2\gamma}=\frac{\omega_{0}}{2(\omega_{0}/10)}=5</math>
<math>Q\simeq\frac{\omega_{0}}{2\gamma}=\frac{\omega_{0}}{2(\omega_{0}/10)}=5</math>


c)  De la ecuacion <math>\tan{\phi}=\frac{2\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}</math>
c)  De la ecuación <math>\tan{\phi}=\frac{2\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}</math>




Línea 548: Línea 786:




d)  De la ecuacion <math>A(\omega)=\frac{F_{0}/m}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}]^{1/2}}=0.7756\omega_{0}^{2}</math>
d)  De la ecuación <math>A(\omega)=\frac{F_{0}/m}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}]^{1/2}}=0.7756\omega_{0}^{2}</math>




de aqui, la amplitud es:
de aquí, la amplitud es:




Línea 560: Línea 798:




--[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 22:06 15 mar 2015 (CDT)
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Aportación por usuario: [[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 22:06 15 mar 2015 (CDT)
 
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==Problema Adicional 2==
==Problema Adicional 2==


Ejercicio Adicional: Corriente de estado estable
Ejercicio Adicional: Corriente de estado estable


Encuentre la solucion de estado estable $q_{p}(t)$ y la corriente
Encuentre la solución de estado estable $q_{p}(t)$ y la corriente
de estado estable en un circuito LRC en serie cuando el voltaje aplicado
de estado estable en un circuito LRC en serie cuando el voltaje aplicado
es $E(t)=E_{0}sin(\gamma t)$.
es $E(t)=E_{0}sin(\gamma t)$.


Solución:
'''Solución:'''


La solucionde estado estable $q_{p}(t)$ es una solucion particular
La solución de estado estable $q_{p}(t)$ es una solución particular
de la ecuacion diferencial  
de la ecuación diferencial  


\[
\[
Línea 583: Línea 820:




Con el metodo de coeficientes indeterminados, se supone una solucion
Con el método de coeficientes indeterminados, se supone una solucion
particular de la forma $q_{p}(t)=Asin\left(\gamma t\right)+Bcos(\gamma t).$Sustituyendo
particular de la forma $q_{p}(t)=A \sin\left(\gamma t\right)+Bcos(\gamma t).$Sustituyendo
esta expresion en la ecuacion diferencial e igualando coeficientes,
esta expresión en la ecuación diferencial e igualando coeficientes,
se obtiene
se obtiene


Línea 596: Línea 833:
B=\frac{E_{0}R}{-\gamma\left[L^{2}\gamma^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}+R^{2}\right]}
B=\frac{E_{0}R}{-\gamma\left[L^{2}\gamma^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}+R^{2}\right]}
\]
\]
Es conveniente expresar A y B en terminos de algunos nuevos simbolos.
 
Es conveniente expresar A y B en términos de algunos nuevos símbolos.


si
si
Línea 643: Línea 881:
Las cantidades $X=L\gamma-1/C\gamma$, $Z=\sqrt{X^{2}+R^{2}}$ llamadas
Las cantidades $X=L\gamma-1/C\gamma$, $Z=\sqrt{X^{2}+R^{2}}$ llamadas
reactancia e impedancia, respectivamente del circuito. Tanto la reactancia
reactancia e impedancia, respectivamente del circuito. Tanto la reactancia
como la impedancia se miden en homs.
como la impedancia se miden en Ohms.


Ejercicio Resuelto por  
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--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 22:05 15 mar 2015 (CDT)
Ejercicio Resuelto por: [[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 22:05 15 mar 2015 (CDT)
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==Problema Adicional 4==
==Problema Adicional 4 Fowles, Cassiday==


Problema 3.18, capítulo 3, ''Fowles, Cassiday, "Analytical Mechanics", 2005, 7th edition''.
Problema 3.18, capítulo 3, ''Fowles, Cassiday, "Analytical Mechanics", 2005, 7th edition''.
Línea 660: Línea 898:




''SOLUCIÓN'':
'''Solución'''


Utilizando la pista, podemos escribir  
Utilizando la pista, podemos escribir  
Línea 715: Línea 953:




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Espero que la notación no sea muy tediosa de leer. Hecho por [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 01:33 16 mar 2015 (CDT).
Espero que la notación no sea muy tediosa de leer. Hecho por [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 01:33 16 mar 2015 (CDT).
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==Problema 6.7==
==Ejercicio adicional 6.01 Resnick==
'''Considere un bloque de masa $m$ que está apoyado sobre un resorte de constante $k$ y largo natural $l_{0}$ , bajo la acción de la gravedad. El punto B de donde se sostiene el resorte se encuentra en $t = 0$ al nivel de la mesa. '''
 
'''(a) Encuentre la altura de equilibrio de la masa.'''
 
'''(b) En $t = 0$, cuando la masa está quieta y en la posición de equilibrio, el punto $B$ comienza a oscilar verticalmente. El movimiento de $B$ puede ser descrito como $\vec{r}_{B}(t)=A_{0}sen(\omega t)$. Encuentre la ecuación que describe el movimiento de la masa.'''
 
'''(c) Resuelva la ecuación de movimiento para las condiciones iniciales
dadas.'''
 
'''(d) Manteniendo la amplitud $A$ o fija, considere que la frecuencia $\omega$ es menor que la frecuencia de resonancia. ¿Cuál es la frecuencia máxima para que la masa nunca choque con la mesa?'''


SOLUCIÓN
(Resnick Halliday problema 17. 52, Física  volumen 1. edición 5.)


(a)Definamos la altura del bloque, medida desde el suelo, como y .
Para calcular la altura de equilibrio se puede hacer la suma
de fuerzas igual a cero, o a través de la energía
potencial total. Por el segundo método,
\[
U(y)=mgy+\frac{1}{2}k(y-l_{0})^{2}
\]
Para encontrar el $y$ de equilibrio,
\[
\frac{dU}{dy}(y_{eq})=0\Longrightarrow y_{eq}=l_{0}-\frac{mg}{k}
\]
(b) Considerando ahora que la base se mueve de acuerdo a $y_{B}=A_{0}sen(\omega t)$
, la ecuación de movimiento para el bloque queda:
\[
m\ddot{y}=-k((y-y_{B})-l_{0})-mg\Longrightarrow m\ddot{y}+k_{y}=k(l_{0}-\frac{mg}{k})+kA_{0}sen(\omega t)
\]
c) Si definimos $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$ , y recordando que $y_{eq}=l_{0}-\frac{mg}{k}$
la ecuación anterior la podemos escribir mejor como:
\[
\ddot{y}+\omega_{0}^{2}(y-y_{eq})=\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t)
\]
La resolución de esta ecuación es menos trabajosa si se hace el cambio
de variables:
\[
\varPhi=y-y_{eq}\longrightarrow\ddot{\Phi}=\ddot{y}
\]
de manera que la ecuación queda:
\[
\ddot{\Phi}+\omega_{0}^{2}\Phi\longrightarrow\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t)
\]
Sabemos que la solución general de esta E . D . O . es igual a la
solución de la ecuación homogénea más una solución particular.
\[
Ec.Homog\acute{e}nea\longrightarrow\ddot{\Phi}_{h}+\omega_{0}^{2}\Phi_{h}=0\Longrightarrow\Phi_{h}(t)=\Phi_{0}sen(\omega_{0}t+\delta)
\]
Por su parte, la particular se encuentra intentando una solución de
la forma:
\[
\Phi_{p}=Dsen(\omega t)
\]
Lo que se reemplaza en la ecuación no homogénea para conocer el valor
de D :
\[
-\omega^{2}Dsen(\omega t)+\omega_{0}^{2}Dsen(\omega t)=\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t)\Longrightarrow D=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}
\]
$\therefore$
\[
\Phi_{p}=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}sen(\omega t)
\]
Con todo, la solución general de la ecuación no homogénea es:
\[
\Phi(t)=\Phi_{p}(t)+\Phi_{h}(t)
\]
\[
\Rightarrow\Phi(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}sen(\omega t)+\Phi_{0}sen(\omega_{0}t+\delta)
\]
Ahora debemos aplicar las condiciones iniciales para conocer $\Phi$
o $\delta$ . Hay que ser cuidadosos pues las C.I. las conocemos para
la variable $y$ , por lo tanto es necesario reescribirlas para la
variable $\Phi$ :
\[
y(0)=y_{eq}\Longleftrightarrow\Phi(o)=0\longrightarrow\delta=0
\]
\[
\dot{y}(0)=0\Longleftrightarrow\dot{\Phi}(o)=0\longrightarrow\Phi_{0}=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}
\]
\[
\Longrightarrow\Phi(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}[\omega_{0}sen(\omega t)-\omega sen(\omega_{0}t)]
\]
Finalmente, $y(t)=\Phi(t)+y_{eq}$
\[
y(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}[\omega_{0}sen(\omega t)-\omega sen(\omega_{0}t)]+l_{0}-\frac{mg}{k}
\]
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 00:37 16 mar 2015 (CDT)
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==Ejercicio adicional 6.01==
'''Comenzando con la ecuación <math>x(t)= \frac{F_{m} cos(\omega '' t - \beta ) }{G}</math> , calcule la velocidad <math>V_{m}</math>
'''Comenzando con la ecuación <math>x(t)= \frac{F_{m} cos(\omega '' t - \beta ) }{G}</math> , calcule la velocidad <math>V_{m}</math>
'''en el movimiento oscilatorio forzado. Demuestre que la amplitud de la velociada es :
'''en el movimiento oscilatorio forzado. Demuestre que la amplitud de la velociada es :
<math>V_{m}= \frac{F_{m}}{\sqrt{(m \omega '' - \frac{k}{\omega ''})^2 + b^2}}</math>
<math>V_{m}= \frac{F_{m}}{\sqrt{(m \omega '' - \frac{k}{\omega ''})^2 + b^2}}</math>
'''Y compararla con las expresiones que describen los circuitos eléctricos.'''
'''Y compararla con las expresiones que describen los circuitos eléctricos.'''


solución:
'''Solución:'''
 
La velocidad es la primera derivada de la posición es decir que:
La velocidad es la primera derivada de la posición es decir que:
<math>\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d (\frac{F_{m} cos(\omega '' t - \beta ) }{G})}{dt}</math> :
<math>\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d (\frac{F_{m} cos(\omega '' t - \beta ) }{G})}{dt}</math> :
Línea 870: Línea 983:




La forma de las expresiones es identica a la representación de un circuito eléctrico que contiene una resistencia R, una inductancia L y una capacitancia C, en el serie con una fuerza electromotriz alterna <math>V=V_{m} cos(\omega '' t) </math>, donde x(t) y V(t) son análogos a la carga electríca q y la corriente i. Donde quedaría como:
La forma de las expresiones es idéntica a la representación de un circuito eléctrico que contiene una resistencia R, una inductancia L y una capacitancia C, en el serie con una fuerza electromotriz alterna <math>V=V_{m} cos(\omega '' t) </math>, donde x(t) y V(t) son análogos a la carga eléctrica q y la corriente i. Donde quedaría como:


\[LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)\]
\[LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)\]
Línea 877: Línea 990:




(Resnick Halliday problema 17. 52, Física  volumen 1. edición 5.) Hecho por--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 00:51 16 mar 2015 (CDT)
 


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Hecho por:[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 00:51 16 mar 2015 (CDT)
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== Ejercicio Adicional 6.8 Serway==
== Ejercicio Adicional 6.8 ==


''Problema 38; Fisica, Serway''
''Problema 38; Fisica, Serway''
Un bebé se regocija durante el día haciendo sonidos y rebotando arriba y abajo en su cuna. Su masa es de 12.5 kg y el colchón de la cuna se modela como un resorte ligero con constante de fuerza de 4.30 kN/m a) La bebe pronto aprende a rebotar con máxima amplitud y mínimo esfuerzo al doblar sus rodillas, ¿a que frecuencia? b) Ella aprende a usar el colchón como trampolín y pierde contacto con el durante parte de cada ciclo, ¿cuándo su amplitud supera qué valor?
Un bebé se regocija durante el día haciendo sonidos y rebotando arriba y abajo en su cuna. Su masa es de 12.5 kg y el colchón de la cuna se modela como un resorte ligero con constante de fuerza de 4.30 kN/m a) La bebe pronto aprende a rebotar con máxima amplitud y mínimo esfuerzo al doblar sus rodillas, ¿a que frecuencia? b) Ella aprende a usar el colchón como trampolín y pierde contacto con el durante parte de cada ciclo, ¿cuándo su amplitud supera qué valor?


Puesto que la bebe invierte el menor esfuerzo para alcanzar la maxima amplitud es natural pensar que esto sucede cuando tiene la frecuencia de resonancia, es decir:
'''Solución'''
 
Puesto que la bebe invierte el menor esfuerzo para alcanzar la máxima amplitud es natural pensar que esto sucede cuando tiene la frecuencia de resonancia, es decir:
<math>\omega=\omega_{0}=\sqrt{\frac{s}{m}}=344s^{-1}</math>
<math>\omega=\omega_{0}=\sqrt{\frac{s}{m}}=344s^{-1}</math>


Línea 899: Línea 1015:




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== Ejercicio propuesto 6.9 Jerry B. Marion==
Ejercicio propuesto 6.9


"Dinámica de partículas y sitemas" Jerry B. Marion 2° edición (167p) cap4.
"Dinámica de partículas y sitemas" Jerry B. Marion 2° edición (167p) cap4.


En la figura se representa una masa $m_1$ movida por una fuerzaa senoidal de pulsación $\omega$. Esta masa esta unida a un soporte rígido por medio de un muelle de constante k y se desliza sobre una segunda masa $m_2$.
En la figura se representa una masa $m_1$ movida por una fuerza senoidal de pulsación $\omega$. Esta masa esta unida a un soporte rígido por medio de un muelle de constante k y se desliza sobre una segunda masa $m_2$.


[[Archivo:1.png]]
[[Archivo:1.png]]


La fuerza de rozamiento entre $m_1$ y $m_2$ esta representada por la constante de amortiguamiento $b_1$ y la fuerza de rozamiento entre $m_2$ y el soporte está representada por $b_2$ Contruir la analigía elctrica de este sistema y calcular su impedancia.
La fuerza de rozamiento entre $m_1$ y $m_2$ esta representada por la constante de amortiguamiento $b_1$ y la fuerza de rozamiento entre $m_2$ y el soporte está representada por $b_2$ Construir la analogía eléctrica de este sistema y calcular su impedancia.
 


'''Solución'''


La ecuación de movimiento de este sistema es:
La ecuación de movimiento de este sistema es:
Línea 962: Línea 1076:
$^{**}$ Se llega a este resultado realizando un diagrama del circuito y aplicando las Leyes de kirchhoff
$^{**}$ Se llega a este resultado realizando un diagrama del circuito y aplicando las Leyes de kirchhoff


Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 02:24 24 mar 2015 (CDT)
 
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Resuelto por: [[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 02:24 24 mar 2015 (CDT)
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== Problema 3.12, The Physics of Vibrations and Waves, A. Pain, 6th Edition ==
 
''' Show that the bandwidth of resonance absortion curve defines a phase angle range $tan \phi = \pm 1$.
'''
 
'''Traducción'''
 
''' Muestre que el ancho de banda de la curva de absorción de resonancia define un rango del ángulo de fase como $tan \phi = \pm 1$.
'''
 
'''Solución'''
 
Sabemos que el ancho de banda, en su límite de baja frecuencia está dado por(ecuaciones de la página 60 y 61 del texto):
 
<math>
\omega_1 m - \dfrac{s}{\omega_1} = -r \Rightarrow tan \phi_1 = \dfrac{\omega_1 m - \dfrac{s}{\omega_1}}{r} = -1
</math>
 
y también, el ancho de banda, en su límite de alta frecuencia está dado por(ecuaciones de la página 60 y 61 del texto):
 
<math>
\omega_2 m - \dfrac{s}{\omega_2} = r \Rightarrow tan \phi_2 = \dfrac{\omega_2 m - \dfrac{s}{\omega_2}}{r} = 1
</math>
 
Con lo que podemos concluir que:
 
<math>
tan \phi = \pm 1
</math>
 
 
----
Resuelto por usuario: [[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 02:18 27 mar 2015 (CDT)
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[[categoría:Vibra]]

Revisión actual - 14:36 30 sep 2023


Problema 6.1

For forced oscillations in an LCR circuit, show that the voltage across the capacitor at low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$) and the voltage across the inductance at high frequencies

($\omega>>\omega_{0}$ ) are both equal to the generator voltage.


Traducción

Para oscilaciones forzadas en un circuito LCR, demuestre que el voltaje a través del capacitor a bajas frecuencias ($\omega<<\omega_{0}$) y el voltaje a través de la inductancia a altas frecuencias ($\omega>>\omega_{0}$ ) son ambos iguales al voltaje del generador.



Solución:

Sabemos que el voltaje en el capacitor es $V_{c}=Q/C$ y que el voltaje en el inductor es $V_{L}=\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}L$

De nuestra solución a la ecuación de oscilador forzado con amortiguamiento tenemos:

$Q=A \cos(\omega t)$

$\frac{d^{2}Q}{dt^{2}}=A\omega^{2} \cos(\omega t)$ en valor absoluto

Sustituimos en las ecuaciones de voltaje:

$V_{c}=Acos(\omega t)/C$

$V_{L}=A\omega^{2} \cos(\omega t)L$

Sabiendo que $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$


Vemos que pasa primero con A cuando $\omega<<\omega_{0}$, obtenemos simplemente $A=\frac{V_{0}}{L}\left[\frac{1}{\omega_{0}^{4}}\right]^{1/2}$

O más simplificado $A=\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}}$, sustituimos en la ecuación del voltaje del capacitor:

$V_{c}=(\frac{V_{0}}{L}\frac{1}{\omega_{0}^{2}})cos(\omega t)/C$

y si $\omega_{0}^{2}=1/LC$

$V_{c}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador

Ahora para $\omega>>\omega_{0}$ obtenemos que $A=\frac{V_{0}}{L\omega^{2}}$ (notar que el factor $\gamma^{2}\omega^{2}$es despreciable en comparación con $\omega^{4}$, por lo que no se suma)

Sustituimos en el voltaje en el inductor $V_{L}=V_{0}cos(\omega t)$ que es el voltaje del generador.



Resuelto por usuario: Edgar Ortega Roano 09:59 12 feb 2014 (CDT), Correcciones --Pablo (discusión) 00:58 15 mar 2015 (CDT)


Problema 6.2

Derive the impedance (5.21) of the LCR circuit (a) at very low frequencies ($\omega<<\omega_{0}$ and $\omega>>\dfrac{1}{RC}$(b) at frequency ($\omega=\omega_{0}$), and (c) at very high frequencies ($\omega>>\omega_{0}$) and $\omega>>\dfrac{R}{L})$.

Traducción

Derive la impedancia (5.21) del circuito LCR (a) a frecuencias muy bajas ($\omega<<\omega_{0}$ and $\omega>>\dfrac{1}{RC})$ (b)a frecuencia ($\omega=\omega_{0}$), y (c) a frecuencias muy altas ($\omega>>\omega_{0}$) and $\omega>>\dfrac{R}{L})$



\[ Z(\omega)= \dfrac{1}{i\omega K(\omega)}= b+ i(m\omega - \dfrac{s}{\omega})\]

Inciso a

(A) a frecuencias ($\omega=\omega_{0}$)

\[ I_{p}e^{i\omega t} = Ci\omega V_{p}e^{i\omega t} \]

Esto sucede en un capacitor para el cual calculamos el voltaje con la siguiente ecuación $v= \dfrac{q}{C}$. Como sabemos la desfase de aquí es de $\dfrac{-\pi}{2}$. Entonces \[ Z_{c}=\dfrac{v}{I}=\dfrac{-i}{\omega C}\]

Inciso b

(B) La función compleja es:

\[ V_{p}e^{i\omega t} = RI_{p}e^{i\omega t} \]


en la forma compleja. Esto resulta ser la ley de Ohm.

\[ v= RI\] Relacionado con la impedancia es:

\[ Z_{R}= \dfrac{v}{I}= R\]

Inciso c

(c) a muy altas frecuencias ($\omega>>\omega_{0}$) and $\omega>>\dfrac{R}{L})$.

La función en su forma compleja \[ V_{p}e^{i\omega t } = Li \omega I_{p}e^{\omega t}\]

Aquí la fase también es de $\dfrac{\pi}{2}$ y con respecto al voltaje la impedancia es:

\[ Z_{L}=\dfrac{v}{I}= i\omega L \]


Aportación por usuario: Esther Sarai (discusión) 21:41 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai


Problema 6.3

6.3 Para oscilaciones forzadas en un circuito LRC, mostrar que la potencia media de absorción es $-\frac{1}{2}V_{0}I_{0}sin\phi$ donde $I_{0}$ es la amplitud de la corriente, y los otros símbolos tienen los mismos significados que en el texto. (En libros de electricidad el factor de potencia $-sin\phi$se puede escribir de la forma $cos\phi'$ donde $\phi'=\phi+\frac{\pi}{2}$ que es el ángulo con que la corriente esta por la tensión del generador).

Solución: 

Para un un circuito $LRC$ con forzamiento, tenemos la ecuación siguiente:

\[ LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)\qquad\qquad (1) \] Reescribimos la ecuación anterior de la siguiente manera:

\[ L{d^2V \over dt^2}+R{dV \over dt} + {1\over C}V = {V_f \over C}\cos(\omega t)\qquad\qquad (2) \]

Al igual que en el oscilador armónico forzado y con amortiguamiento(porque la ecuación $2$ es análoga al oscilado mecánico), tenemos ahora una solución similar:

\[ V=V_\circ\cos(\omega t + \phi) \]

La potencia la podemos calcular como $P=F\frac{dW}{dt}$ , pero para el caso eléctrico se expresa como $P=V\frac{dQ}{dt}$. Ahora multiplicamos la ecuación $V=V_{0}\cos(\omega t+\phi)$ por $C$, que es una capacitancia y obtenemos ahora $VC=V_{0}C_{0}\cos(\omega t+\phi)$o $Q=Q_{0}\cos(\omega t+\phi)$.

Para continuar usamos la expresión $P=V\frac{dQ}{dt}$ y obtenemos:

$P=V\frac{d(Q_{0}\cos(\omega t+\phi))}{dt}=V\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega(-sen(\omega t+\phi)$); pero podemos escribir $V=V_{0}\cos(\omega t)$, el forzamiento del circuito.

Y entonces tenemos $P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega sen(\omega t+\phi)cos(\omega t)$ que al usar la identidad trigonométrica para el $seno$ de la suma de dos ángulos nos queda una nueva ecuación para $P$:

$P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega[sen(\omega t)cos(\delta)-cos(\omega t)sen(\delta)]cos(\omega t)$

y desarrollando el calculo obtenemos que $P$:

$P=-V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega \cos (\delta) \cos(\omega t) \mathrm{sen}\,\theta \sin (\omega t)+V_{0}\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}\omega cos^{2}(\omega t)sen(\delta)\qquad\qquad (3)$

Y si promediamos la potencia en un número cualquiera entero de ciclos el primer término de la ecuación $3$ resulta cero quedando solamente $P=\omega\frac{dQ_{0}}{dt_{0}}cos^{2}(\omega t)sen(\delta)...(3)$, donde el promedio del $cos^{2}(\omega t)=\frac{1}{2}$, de modo que la potencia puede expresarse como

$P=\omega V_{0}I_{0}\frac{1}{2}sen(\delta)$


Realizado por usuarios: Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 03:47 27 feb 2014 (UTC) ,Correcciones por:Pablo (discusión) 01:00 15 mar 2015 (CDT)


Problema 6.4

6.4 Show that, for x-rays, the scattered power is independient of frecuency (“Thompson scattering”).

Traducción

Muestra que, para los rayos X, la potencia de dispersión es independiente de la frecuencia ("Dispersión de Thompson).

Solución 

Se puede pensar al fenómeno de dispersión de luz como un forzamiento de los electrones que conforman la materia, éstos vibran naturalmente a una frecuencia , si se aplica una fuerza externa en forma de luz incidente de una frecuencia denotada por se obtiene un sistema de oscilación forzado.

La frecuencia natural de oscilación de los electrones se puede aproximar si se toma al núcleo atómico como una esfera rígida de radio R cargada uniformemente, esta carga se encuentra confinada y es una fuerza atractiva. La magnitud de la fuerza que ejerce el núcleo atómico es:

 

Para conocer la frecuencia con la que vibra la nube electrónica de forma natural, se escribe la carga con una dependencia del desplazamiento, esta carga es una cantidad que se asigna para que sea un oscilador, el valor de la carga es:


Sustituirla en la magnitud de la fuerza se tiene:


Donde se observa que la aproximación tiene forma de una fuerza lineal restitutiva que es de la forma:

En este caso la constante del resorte es:

Recordando la relación de la constante y la frecuencia angular que es y sustituyendo la masa por la masa del electrón, se tiene:

Realizamos el calculo usando el radio del átomo de Hidrógeno, sustituimos el el valor de las constantes y se obtiene:


De aquí se puede calcular la frecuencia de oscilación de la nube electrónica:


Por otra parte, la frecuencia de los rayos X se encuentra aproximadamente . Se observa que los rayos X oscilan a una frecuencia cien veces mayor que el electrón del átomo de Hidrógeno, podemos decir que:



La potencia media absorbida por un oscilador forzado, está dada por:


Donde es el factor de amortiguamiento. Tenemos entonces que el factor de resonancia es:


Después de factorizar se llega a:

Simplificando:


Observando las frecuencias encontradas, vemos que el cociente de la frecuencia natural entre la frecuencia de los rayos es semejnte a cero:


Por ello la expresión anterior se reduce a:


Vemos que la Resonancia no depende de la frecuencia angular como se espera en un oscilador forzado controlado por la masa con frecuencias externas mucho mayores que la frecuencia natural, esto es debido a que la fuerza restitutiva posee un efecto insignificante en el forzamiento en general, entonces la potencia tampoco depende de la frecuencia natural.



Contribución por usuarios: Brenda Pérez Vidal (discusión) 20:37 24 feb 2014 (UTC), mfg-wiki (discusión) 12:01 9 may 2013 (CDT)


Problema 6.5

Cosider the series RLC circuits driven by an alternating emf of value $E_{0}\sin\omega t$. Find the current the voltage $V_{L}$ across the inductor, and the angular frequency $\omega$ at which $V_{L}$ is a maxium.

Traducción 

Considere los circuitos RLC en serie impulsados ​​por una f.e.m alterna de valor $E_{0}\sin\omega t$. Encuentre la corriente, el voltaje $V_{L}$ a través del inductor y la frecuencia angular $\omega$ en la que $V_{L}$ es máxima.

Solución 

El voltaje a través de cada elemento del circuito en la figura son


\[ V_{L}=L\frac{dI}{dt}=L\ddot{q} \]


\[ V_{R}=LI=L\dot{q} \] \[ V_{C}=\frac{q}{C} \]


por lo tanto se tiene por la Ley de tensiones de Kirchhoff:

\[ L\ddot{q}+R\dot{q}+\frac{q}{C}=E_{0}\sin\omega t \]


similarmente a la ecuación de movimiento de un oscilador amortiguado se tiene

\[ \beta\rightarrow\frac{R}{2L},\;\omega_{0}\rightarrow\frac{1}{\sqrt{LC}},\; A=\frac{E_{0}}{L} \]


por tanto sabemos que la solución para la corriente esta dada por

\[ I=\frac{-E_{0}}{\sqrt{R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}}}\sin(\omega t-\delta) \] El voltaje a través del conductor es

\[ V_{L}=L\frac{dI}{dt}=\frac{-\omega LE_{0}}{\sqrt{R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}}}\cos(\omega t-\delta) \]


\[ V_{L}=V(\omega)\cos(\omega t-\delta) \]


para encontrar $\omega_{max}$ en el cual $V_{L}$es un máximo obtenemos su derivada en $omega$

\[ \frac{dV(\omega)}{d\omega}=\frac{LE_{0}\Big(R^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{2}{\omega^{2}C^{2}}\Big)}{\Big[R^{2}+\Big(\frac{1}{\omega C}-\omega L\Big)^{2}\Big]^{3/2}}=0 \]


igualando el numerador a cero se tiene que

\[ \omega_{max}=\frac{1}{\sqrt{LC}-\frac{R^{2}C^{2}}{2}} \]


Resuelto por usuario: Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 05:59 26 feb 2014 (UTC)


Problema 6.7

Considere un bloque de masa $m$ que está apoyado sobre un resorte de constante $k$ y largo natural $l_{0}$ , bajo la acción de la gravedad. El punto B de donde se sostiene el resorte se encuentra en $t = 0$ al nivel de la mesa.

(a) Encuentre la altura de equilibrio de la masa.

(b) En $t = 0$, cuando la masa está quieta y en la posición de equilibrio, el punto $B$ comienza a oscilar verticalmente. El movimiento de $B$ puede ser descrito como $\vec{r}_{B}(t)=A_{0}sen(\omega t)$. Encuentre la ecuación que describe el movimiento de la masa.

(c) Resuelva la ecuación de movimiento para las condiciones iniciales dadas.

(d) Manteniendo la amplitud $A$ o fija, considere que la frecuencia $\omega$ es menor que la frecuencia de resonancia. ¿Cuál es la frecuencia máxima para que la masa nunca choque con la mesa?

SOLUCIÓN
Inciso a

(a)Definamos la altura del bloque, medida desde el suelo, como y . Para calcular la altura de equilibrio se puede hacer la suma de fuerzas igual a cero, o a través de la energía potencial total. Por el segundo método,

\[ U(y)=mgy+\frac{1}{2}k(y-l_{0})^{2} \]


Para encontrar el $y$ de equilibrio,

\[ \frac{dU}{dy}(y_{eq})=0\Longrightarrow y_{eq}=l_{0}-\frac{mg}{k} \]

Inciso b

(b) Considerando ahora que la base se mueve de acuerdo a $y_{B}=A_{0}sen(\omega t)$ , la ecuación de movimiento para el bloque queda:

\[ m\ddot{y}=-k((y-y_{B})-l_{0})-mg\Longrightarrow m\ddot{y}+k_{y}=k(l_{0}-\frac{mg}{k})+kA_{0}sen(\omega t) \]

Inciso c

c) Si definimos $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$ , y recordando que $y_{eq}=l_{0}-\frac{mg}{k}$ la ecuación anterior la podemos escribir mejor como:

\[ \ddot{y}+\omega_{0}^{2}(y-y_{eq})=\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t) \]


La resolución de esta ecuación es menos trabajosa si se hace el cambio de variables:

\[ \varPhi=y-y_{eq}\longrightarrow\ddot{\Phi}=\ddot{y} \] de manera que la ecuación queda:

\[ \ddot{\Phi}+\omega_{0}^{2}\Phi\longrightarrow\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t) \]


Sabemos que la solución general de esta E . D . O . es igual a la solución de la ecuación homogénea más una solución particular.

\[ Ec.Homog\acute{e}nea\longrightarrow\ddot{\Phi}_{h}+\omega_{0}^{2}\Phi_{h}=0\Longrightarrow\Phi_{h}(t)=\Phi_{0}sen(\omega_{0}t+\delta) \]


Por su parte, la particular se encuentra intentando una solución de la forma:

\[ \Phi_{p}=Dsen(\omega t) \]


Lo que se reemplaza en la ecuación no homogénea para conocer el valor de D :

\[ -\omega^{2}Dsen(\omega t)+\omega_{0}^{2}Dsen(\omega t)=\omega_{0}^{2}A_{0}sen(\omega t)\Longrightarrow D=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \]


$\therefore$ \[ \Phi_{p}=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}sen(\omega t) \]


Con todo, la solución general de la ecuación no homogénea es:

\[ \Phi(t)=\Phi_{p}(t)+\Phi_{h}(t) \]


\[ \Rightarrow\Phi(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}sen(\omega t)+\Phi_{0}sen(\omega_{0}t+\delta) \]


Ahora debemos aplicar las condiciones iniciales para conocer $\Phi$ o $\delta$ . Hay que ser cuidadosos pues las C.I. las conocemos para la variable $y$ , por lo tanto es necesario reescribirlas para la variable $\Phi$ :

\[ y(0)=y_{eq}\Longleftrightarrow\Phi(o)=0\longrightarrow\delta=0 \]


\[ \dot{y}(0)=0\Longleftrightarrow\dot{\Phi}(o)=0\longrightarrow\Phi_{0}=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \]


\[ \Longrightarrow\Phi(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}[\omega_{0}sen(\omega t)-\omega sen(\omega_{0}t)] \]


Finalmente, $y(t)=\Phi(t)+y_{eq}$

\[ y(t)=\frac{\omega_{0}^{2}A_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}[\omega_{0}sen(\omega t)-\omega sen(\omega_{0}t)]+l_{0}-\frac{mg}{k} \]


Realizado por usuario: A. Martín R. Rabelo (discusión) 00:37 16 mar 2015 (CDT)


Problemas Adicionales

Problema Adicional

OSCILACIONES FORZADAS. Se tiene un objeto de 4 [Kg] que se mueve unido a un resorte sobre una superficie horizontal sin fricción y es impulsado por una fuerza externa dada por: $F=(3[N])\cdot cos(2\pi \cdot t)$. Si la frecuencia natural de oscilación del sistema es de $2.236 [rad/s]$, calcular la amplitud del movimiento suponiendo que no hay amortiguamiento.

Solución 

Resot.png

Del enunciado tenemos los siguientes datos:

Masa del bloque \begin{equation} m = 4 [Kg] \end{equation}

Fuerza máxima que alcanza la fuerza externa \begin{equation} F_{o} = 3[N] \end{equation}

Frecuencia angular de oscilación de la fuerza impulsora \begin{equation} \omega=2\pi [rad/s] \end{equation}

Frecuencia natural de oscilación del sistema \begin{equation} \omega_{o}=2.236 [rad/s] \end{equation}

Sabiendo que no hay amortiguamiento, entonces la constante de amortiguamiento será $b=0$

\begin{equation} A=? \rightarrow b=0 \end{equation}

Tomando de la teoría la amplitud para una oscilación forzada:

\begin{equation} A=\frac{\frac{F_{o}}{m}}{\sqrt{(\omega^2-\omega_{o}^2)^2+(\frac{b\omega}{m})^2}} .....(I) \end{equation}

Debido a que la constante de amortiguamiento $b=0$, el segundo término del denominador de $(I)$, $(\frac{b\omega}{m})^2=0$. Entonces:

\begin{equation} A=\frac{\frac{F_{o}}{m}}{\sqrt{(\omega^2-\omega_{o}^2)^2}} \end{equation}

\begin{equation} A=\frac{\frac{F_{o}}{m}}{\omega^2-\omega_{o}^2}.... (II) \end{equation}

Sustituyendo valores correspondientes:

\begin{equation} A=\frac{\frac{3}{4}}{(2\pi)^2-(2.236)^2} \end{equation}

\begin{equation} A=\frac{\frac{3}{4}}{34.48} \end{equation}

Por lo tanto

\begin{equation} A=0.02175 [m] \rightarrow A=2.175 [cm] \end{equation}


Resuelto por usuario: Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 08:27 19 mar 2014 (UTC


Problema adicional al capítulo 6.6

Determinar la solución de estado estable en un circuito RLC, cuando el volteje aplicado es:

Solución:

Se tiene la ecuación diferencial de la corriente:


\begin{eqnarray*} \ddot{\varPsi}+\frac{R}{L}\dot{\varPsi}+\frac{1}{CL}\varPsi=\varepsilon_{0}\sin(\gamma t) \qquad\qquad (1) \end{eqnarray*}


Donde la solución general contiene la parte complementaria y particular, y esta expresada como


\begin{eqnarray*} \varPsi_{G}=\varPsi_{C}+\varPsi_{P} \end{eqnarray*}


La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial esta dada de la forma:

Resolviendo la ecuación auxiliar por la formula general se tiene:

sustituimos las raíces en la parte complementaria y se obtiene:

\begin{eqnarray*} \therefore\varPsi_{C}(t)=\exp\left(-\frac{R}{2L}\right)\left\{ c_{1}\cos\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)+c_{2}\sin\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)\right\} \qquad\qquad (1)* \end{eqnarray*}


Adicionalmente, para obtener la solución particular, proponemos la forma:

\begin{eqnarray*} \varPsi_{P}(t)=A\cos\left(\gamma t\right)+B\sin\left(\gamma t\right) \end{eqnarray*}


Empleando el método de coeficientes indeterminados se tiene:

\begin{eqnarray*} \dot{\varPsi}_{P}(t)=-\gamma A\sin\left(\gamma t\right)+\gamma B\cos\left(\gamma t\right) \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \ddot{\varPsi}{}_{P}(t)=-\gamma^{2}A\cos\left(\gamma t\right)-\gamma^{2}B\sin\left(\gamma t\right) \end{eqnarray*}


Sustituyendo en la ecuación (1), se tiene:

Factorizando se tiene:

De la ecuación (2') despejamos “B”, y se obtiene:

Sustituyendo (4) en (3') se tiene:

Sustituyendo (5) en la ecuación (4), se tiene:

Si y , entonces

Teniendo la solución complementaria y particular se tiene:

\begin{eqnarray*} \therefore\varPsi_{G}(t)=\exp\left(-\frac{R}{2L}\right)\left\{ c_{1}\cos\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)+c_{2}\sin\left(\frac{1}{2L}\sqrt{R^{2}-\frac{4L}{C}}t\right)\right\} -\frac{\varepsilon_{0}RL}{\gamma z}\cos\left(\gamma t\right)+\frac{x\varepsilon_{0}}{\gamma^{2}z}\sin\left(\gamma t\right) \end{eqnarray*}


De lo anterior,se realizo un cambio de variable para las expresiones contenidas en los coeficientes “A” y “B” de la ecuación particular.

Por lo tanto, la solución general es la adición de la parte complementaria mas la particular .



Aportaciones por usuarios: Ricardo García Hernández Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:29 14 mar 2015 (CDT), Correcciones:--Pablo (discusión) 01:33 15 mar 2015 (CDT) Dí estructura al capítulo 6 --Pablo (discusión) 18:47 14 mar 2015 (CDT)


Problema Circuito RLC.

Un circuito está formado por una resistencia de $8\Omega$ en serie con un condensador de $485.5 µf$ y una bobina de $40 mH$. El conjunto está alimentado por una tensión de $220V/50Hz$.

Circuito3.jpg

Hallar:

a)Valor de la impedancia del circuito(módulo y argumento).

b)Valor instantáneo y eficaz de la corriente que atraviesa el circuito.

SOLUCIÓN:
Inciso a

a)Valor de $Z$.

$Z=R+j\left(\omega L -\frac{1}{\omega C}\right) = 8+j\left(2*\pi*50*0.4 - \frac{1}{2* \pi * 50*485.5* 10^{-6}}\right) $ $Z=8+j(12.56 - 6.56)= 8+j6 \Omega$

valor del argumento.:

Inciso b

b)Valor instantáneo de la corriente. Una tensión eficaz de $220V/50Hz$ corresponde con una tensión de:

por lo tanto la corriente está dada por:

%i=\frac{V_0}{|Z|}sen(\omega t+\phi )=31.112sen(314*t +0.64 ) Amperes% donde $I_0 = 31.112A$

El valor eficaz de la corriente es:



Resuelto por usuario: Luis Martínez (discusión) 08:33 15 mar 2015 (CDT)


Problema propuesto de resonancia

El factor de amortiguamiento exponencial de un sistema de suspensión de muelles es una décima parte del valor crítico. Si la frecuencia no amortiguada es , encontrar (a) la frecuencia de resonancia, (b) el factor de calidad, (c) el ángulo de fase cuando el sistema es accionado a una frecuencia (d) la amplitud de estado estable en esta frecuencia.


Solución:

a) Tenemos que asi de

b) El sistema puede ser considerado como débilmente amortiguado, así de la ecuación

se tiene

c) De la ecuación



d) De la ecuación


de aquí, la amplitud es:



puede verse que el factor es la amplitud de estado estable.



Aportación por usuario: Héctor Reséndiz (discusión) 22:06 15 mar 2015 (CDT)


Problema Adicional 2

Ejercicio Adicional: Corriente de estado estable

Encuentre la solución de estado estable $q_{p}(t)$ y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie cuando el voltaje aplicado es $E(t)=E_{0}sin(\gamma t)$.

Solución:

La solución de estado estable $q_{p}(t)$ es una solución particular de la ecuación diferencial

\[ L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=E_{0}sin(\gamma t) \]


Con el método de coeficientes indeterminados, se supone una solucion particular de la forma $q_{p}(t)=A \sin\left(\gamma t\right)+Bcos(\gamma t).$Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial e igualando coeficientes, se obtiene

\[ A=\frac{E_{0}\left[L_{\gamma}-\frac{1}{C_{\gamma}}\right]}{-\gamma\left[L^{2}\gamma^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}+R^{2}\right]} \]


\[ B=\frac{E_{0}R}{-\gamma\left[L^{2}\gamma^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}+R^{2}\right]} \]

Es conveniente expresar A y B en términos de algunos nuevos símbolos.

si

\[ X=L\gamma-\frac{1}{C_{\gamma}} \]


entonces \[ X^{2}=L^{2}\gamma^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}} \]


si

\[ Z=\sqrt{X^{2}+R^{2}} \]


entonces

\[ Z^{2}=L^{2}\gamma^{2}-\frac{2L}{C}+\frac{1}{C^{2}\gamma^{2}}+R^{2} \]


Por lo tanto, $A=E_{0}X/(-\gamma Z^{2})$y $B=E_{0}R/(-\gamma Z^{2})$, asi que la carga de estado estable es

\[ q_{p}(t)=-\frac{E_{0}X}{\gamma Z^{2}}sin(\gamma t)-\frac{E_{0}R}{\gamma Z^{2}}cos(\gamma t) \]


Ahora la corriente de estado estable se determina mediante $i_{p}(t)=q_{p}$$(t)$ ´:

\[ i_{p}(t)=\frac{E_{0}}{Z}\left[\frac{R}{Z}sin[\gamma t]-\frac{X}{Z}cos[\gamma t]\right] \]


Las cantidades $X=L\gamma-1/C\gamma$, $Z=\sqrt{X^{2}+R^{2}}$ llamadas reactancia e impedancia, respectivamente del circuito. Tanto la reactancia como la impedancia se miden en Ohms.


Ejercicio Resuelto por: Rosario Maya (discusión) 22:05 15 mar 2015 (CDT)


Problema Adicional 4 Fowles, Cassiday

Problema 3.18, capítulo 3, Fowles, Cassiday, "Analytical Mechanics", 2005, 7th edition.


Solve the differential equation of motion of the damped harmonic oscillator driven by a damped harmonic force: \[ F_{ext}(t)=F_0 \, \exp(-\alpha\,t) \, \cos(\omega\,t) \]

(Hint: $ \exp(-\alpha\,t) \, \cos(\omega\,t) = \mathrm{Re}[\exp(-\alpha\,t+i\,\omega\,t)]=\mathrm{Re}[\exp(\beta\,t)]$, where $\beta=-\alpha+i\,\omega$. Assume a solution of the form $A\,\exp(\beta\,t-i\,\phi)$).


Solución

Utilizando la pista, podemos escribir

\begin{equation}\label{1}\tag{4.1} \ddot{\psi}+\gamma\,\dot{\psi}+\omega_0^2\,\psi= \frac{F_0}{m} \, \exp(-\alpha\,t) \, \cos(\omega\,t) \quad \longrightarrow \quad \ddot{\Psi}+\gamma\,\dot{\Psi}+\omega_0^2\,\Psi= \frac{F_0}{m}\,\exp(\beta\,t) \end{equation}

Donde en la ec. $(4.1)$ $\Psi(t)$ es una función en el plano complejo, y $\; \mathrm{Re}[\frac{F_0}{m}\,\exp(\beta\,t)]=\frac{F_0}{m} \, \exp(-\alpha\,t) \, \cos(\omega\,t)$. Si se asume una solución de la forma $\Psi(t)=A\,\exp(\beta\,t-i\,\phi)$, entonces sustituyendo obtenemos:

\[ A\,\exp(\beta\,t-i\,\phi)\,(\beta^2 +\gamma\,\beta+\omega_0^2)= \frac{F_0}{A\,m}\,\exp(\beta\,t) \quad \Longrightarrow \quad \beta^2 +\gamma\,\beta+\omega_0^2=\frac{F_0}{m\,A}\, \exp(i\, \phi)\]

Pero $\beta=-\alpha+i\,\omega$, y utilizando la relación de Euler :

\[ (\alpha^2-i\,2\,\alpha\,\omega-\omega^2)+\gamma(-\alpha+i\,\omega)+\omega_0^2=\frac{F_0}{m\,A}(\cos(\phi)+i\,\sin(\phi)) \]

Igualando partes reales e imaginarias...

\begin{equation}\label{2}\tag{4.2.a} \alpha^2-\omega^2-\alpha\,\gamma+\omega_0^2=\frac{F_0}{m\,A}\cos(\phi) \end{equation}

\begin{equation}\label{3}\tag{4.2.b} (-2\,\alpha+\gamma)\omega=\frac{F_0}{m\,A}\sin(\phi) \end{equation}

Dividiendo $(4.2.b)$ entre $(4,2.a)$ se obtiene la constante de fase, $\phi$.

\[ \tan(\phi)=\frac{(-2\,\alpha+\gamma)\omega}{\alpha^2-\omega^2-\alpha\,\gamma+\omega_0^2} \]

\begin{equation}\label{4}\tag{4.3} \Rightarrow \quad \phi=\arctan\left(\frac{(-2\,\alpha+\gamma)\omega}{\alpha^2-\omega^2-\alpha\,\gamma+\omega_0^2}\right) \end{equation}

Si elevamos al cuadrado $(4.2.a)$ y $(4,2.b)$ y los sumamos obtenemos la amplitud $A$.

\[ \left( \frac{F_0}{m\,A} \right)^2 (\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi))=(\alpha^2-\omega^2-\alpha\,\gamma+\omega_0^2)^2+((-2\,\alpha+\gamma)\omega)^2 \]

\begin{equation}\label{5}\tag{4.4} \Rightarrow \quad A=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\alpha^2-\omega^2-\alpha\,\gamma+\omega_0^2)^2+(-2\,\alpha\,\omega+\gamma\,\omega)^2}} \end{equation}

Entonces juntando $(4.3)$ y $(4.4)$, obtenemos la solución a $(4.1)$, $\;\Psi(t)=A\,\exp(\beta\,t-i\,\phi)$, y la parte real de tal es...

\begin{equation}\label{6}\tag{4.5} \psi(t)=A\,\exp(-\alpha\,t)\,\cos(\omega\,t-\phi) \end{equation}



Espero que la notación no sea muy tediosa de leer. Hecho por Adolfo Calderón Alcaraz (discusión) 01:33 16 mar 2015 (CDT).


Ejercicio adicional 6.01 Resnick

(Resnick Halliday problema 17. 52, Física volumen 1. edición 5.)

Comenzando con la ecuación , calcule la velocidad en el movimiento oscilatorio forzado. Demuestre que la amplitud de la velociada es :

Y compararla con las expresiones que describen los circuitos eléctricos.

Solución:

La velocidad es la primera derivada de la posición es decir que:  :

Pero como el seno oscila entre 1 y -1, tenemos que la magnitud de la velocidad es:

Donde por lo tanto Con un poco de algebra obtenemos que:


La forma de las expresiones es idéntica a la representación de un circuito eléctrico que contiene una resistencia R, una inductancia L y una capacitancia C, en el serie con una fuerza electromotriz alterna , donde x(t) y V(t) son análogos a la carga eléctrica q y la corriente i. Donde quedaría como:

\[LC{d^2V \over dt^2}+RC{dV \over dt} + V = V_f\cos(\omega t)\]

En esta demostración lo semejante a la amplitud de la velocidad Sirve para medir la calidad de la resonancia, donde dándonos cuenta que es máximo cuando




Hecho por:Pablo (discusión) 00:51 16 mar 2015 (CDT)


Ejercicio Adicional 6.8 Serway

Problema 38; Fisica, Serway Un bebé se regocija durante el día haciendo sonidos y rebotando arriba y abajo en su cuna. Su masa es de 12.5 kg y el colchón de la cuna se modela como un resorte ligero con constante de fuerza de 4.30 kN/m a) La bebe pronto aprende a rebotar con máxima amplitud y mínimo esfuerzo al doblar sus rodillas, ¿a que frecuencia? b) Ella aprende a usar el colchón como trampolín y pierde contacto con el durante parte de cada ciclo, ¿cuándo su amplitud supera qué valor?

Solución

Puesto que la bebe invierte el menor esfuerzo para alcanzar la máxima amplitud es natural pensar que esto sucede cuando tiene la frecuencia de resonancia, es decir:

para el inciso (b) la bebe tiene la amplitud de resonancia y la fuerza de que es aplicada al sistema es precisamente el peso del niño, entonces se tiene: : : : :



Ejercicio propuesto 6.9 Jerry B. Marion

"Dinámica de partículas y sitemas" Jerry B. Marion 2° edición (167p) cap4.

En la figura se representa una masa $m_1$ movida por una fuerza senoidal de pulsación $\omega$. Esta masa esta unida a un soporte rígido por medio de un muelle de constante k y se desliza sobre una segunda masa $m_2$.

1.png

La fuerza de rozamiento entre $m_1$ y $m_2$ esta representada por la constante de amortiguamiento $b_1$ y la fuerza de rozamiento entre $m_2$ y el soporte está representada por $b_2$ Construir la analogía eléctrica de este sistema y calcular su impedancia.

Solución

La ecuación de movimiento de este sistema es:

\[m_1 \ddot{x_1}+k x_1 -b_1 (\dot{x_1} - \dot{x_2})=Fcos \omega t ......(1)\]

\[m_2 \ddot{x_2}+b_2 \dot{x_2}+b_2 (\dot{x_2}-\dot{x_1})=0......(2)\]

La analogía con un circuito electrico es:

\[m_1 \longrightarrow L\] \[k \longrightarrow {1}/{C}\] \[x \longrightarrow q \] \[F \longrightarrow \varepsilon_0\] \[b \longrightarrow R\]

La ecuación equivalente es: \[L_1 \ddot{q_1} +R_1 (\dot{q_1}-\dot{q_2})+q_1/ c= \varepsilon_0 cos \omega t ......(3) \]

\[ L_2 \ddot{q_2} +R_2 \dot{q_2}+R_1 (\dot{q_2}-\dot{q_1})=0 ......(4)\]

Derivando respecto al tiempo:

\[L_1 \ddot{I_1} +R_1(\dot{I_1}-\dot{I_2}) + \frac{I_1}{C}=i \varepsilon_0 \omega sin \omega t ......(5)\]

\[L_2 \ddot{I_2} + R_2 (\dot{I_2}+R_1 (\dot{I_2}- \dot{I_1})=0.....(6)\]


La impedancia $^{**}$ del circuito es: \[Z= i\omega l_1 -i \frac{1}{\omega c}+z_2......(7)\]

Luego:

\[ \frac{1}{Z_2}=\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2 + i\omega t} \]

\[Z_2 = \frac{R_1 (R_2)(R_1 +R_2) + \omega^2 L_2 ^2 + i\omega L_2 R_1 }{(R_1 + R_2 )^2 + \omega^2 L_2 ^2}\]

Sustituyendo (8) en (7)

\[ Z= i\omega L_1 -i \frac{1}{C \omega}+\frac{R_1 (R_2)(R_1 +R_2) + \omega^2 L_2 ^2 + i\omega L_2 R_1 }{(R_1 + R_2 )^2 + \omega^2 L_2 ^2} \]


$^{**}$ Se llega a este resultado realizando un diagrama del circuito y aplicando las Leyes de kirchhoff



Resuelto por: Luis Santos (discusión) 02:24 24 mar 2015 (CDT)


Problema 3.12, The Physics of Vibrations and Waves, A. Pain, 6th Edition

Show that the bandwidth of resonance absortion curve defines a phase angle range $tan \phi = \pm 1$.

Traducción

Muestre que el ancho de banda de la curva de absorción de resonancia define un rango del ángulo de fase como $tan \phi = \pm 1$.

Solución

Sabemos que el ancho de banda, en su límite de baja frecuencia está dado por(ecuaciones de la página 60 y 61 del texto):

y también, el ancho de banda, en su límite de alta frecuencia está dado por(ecuaciones de la página 60 y 61 del texto):

Con lo que podemos concluir que:



Resuelto por usuario: Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 02:18 27 mar 2015 (CDT)