Vibra: probs c5

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Main cap.5

Problema 5.1

Figura 5.2 (Main)

For a very lightly damped system, make sketches like fig 5.2 for (a) , (b) , (c) , (d) , and (e) . Use these sketches to verify directly the value of A and derived elsewhere.


Traduccion: Para un sistema muy poco amortiguado, hacer diagramas como los de la fig 5.2 para (a) , (b) , (c) , (d) , y (e) . Usar esos diagramas para verificar los valores de A y mostrados antes.

Archivo:Diagramavec2.png
Figura 2. Caso:

(a)

En este caso tenemos una divicion de un numero muy chico ( ) entre uno comparado con el muy grande , de ahi que resulte cero:

y para la amplitud: por el teorema de pitagoras, aplicado en el triangulo que se forma en la parte superior de la figura 2:

donde nuevamente se ha usado el argumento de que es relativamente chico y que

(b)

Archivo:Diagramavec3.png
Figura 3. Caso:

: : Y para la amplitud: : :

(c)

En este caso podemos empezar escribiendo las ecuaciones a partir del primer diagrama:

pero sabiendo que se tiene una singularidad, que solo ocurre en primera instancia en

Para la amplitud la ecuación:

se transforma en:

sigo escribiendolo


Problema 5.2

A system with $m=0.010$ , y is driven by a harmonically varying force of amplitude N. Find the amplitude and the phase constant of the steady-state motion when the angular frequency is: a), b) y c).

Un sistema con , y es impulsado por una fuerza que varía armónicamente de amplitud N. Encuentra la amplitud y la constante de fase del estado estacionario de movimiento cuando la frecuencia es: a), b) y c).


Solución:

La amplitud de un sistema amortiguado es: \[ A=\frac{F_0}{m}\lbrace\frac{1}{(\omega^2 _0 - \omega^2)^2+\gamma^2 \omega^2}\rbrace ^{1/2} --------(1) \]

Con: \[\omega\ ^2_0 = \frac{s}{m}=\frac{36 N m^{⁻1}}{0.01 kg}=3600 s^{-2}--------(2) \]

\[ \gamma^2= \left( \frac{b}{m} \right)^2= \left( \frac{0.5 kg s^{-1}}{0.01kg}\right)^2=2500 -------(3)\]

Sustituyendo los valores de (2) y (3) en (1), así como la fuerza y masa. \[ A=\frac{3.6N}{0.01kg}\lbrace\frac{1}{(3600 s^{-1} - \omega^2)^2+(2500 s^{-2}) \omega^2}\rbrace ^{1/2}=360 N kg^{-1} \lbrace\frac{1}{(3600 s^{-1} - \omega^2)^2+(2500 s^{-2}) \omega^2}\rbrace ^{1/2}--------(4) \]

Por otro lado, el ángulo de fase es:

\[ \phi = angtg \left( -\frac{\gamma \omega}{\omega_0 ^2 - \omega^2}\right)=angtg\left( -\frac{5 0\omega s^{-2}}{3600 s^{-2} - \omega^2}\right)--------(5) \]

Empleando (4) y(5) se obtine:


Para $\omega =8.0 s^{-1}$ \[ A=100mm \] \[ \phi=-6.5° \]

Para $\omega=80 s^{-1}$ \[ A=74mm \] \[ \phi=55 ^o \approx-125^o \]

Para $\omega=800 s^{-1}$ \[ A=0.56mm \]

\[ \phi=3.59^o \approx-176° \]


Resuelto por Luis Santos --Luis Santos (discusión) 00:42 8 mar 2015 (CST)

Brenda Pérez Vidal (discusión) 01:42 17 feb 2014 (UTC)


--MISS (discusión) 01:12 21 may 2013 (CDT)


Problema 5.3

Show that the displacement amplitud A is a maxium at the driving frequency given by $\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}$

$\;$ Muestra que la amplitud del desplazamiento A es máxima cuando la frecuencia está dada por $\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}$ .


Partimos de la ecuación de movimiento para un movimiento forzado y amortiguado

\[ \ddot{\psi}+\gamma\dot{\psi}+\omega_{0}^{2}\psi=\frac{F_{0}}{m}\cos\omega t\qquad\ \]


teniendo como solución la combinación lineal de su solución homogénea y su solución particular

\[ \psi_{h}(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}+A_{2}e^{-\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}]\quad;\;\beta=\frac{\gamma}{2} \]


\[ \psi_{p}(t)=D\cos(\omega t+\phi) \]


por sustitución en la ecuación de movimiento y desarrollando $\cos(\omega t-\delta)$ y $\sin(\omega t-\delta)$ obtenemos:

\[ \{A-D[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta]\}\cos\omega t-\{D[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\sin\delta-2\omega\beta\cos\delta]\}\sin\omega t=0 \]


del primer término se obtiene la relación para la amplitud dada por

\[ D=\frac{A}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta}\qquad(1) \]

y la relación para $\cos\delta$ y $\sin\delta$ se obtiene del segundo término

\[ \tan\delta=\frac{2\omega\beta}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \]


\[ \sin\delta=\frac{2\omega\beta}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\gamma^{2}}} \] \[ \cos\delta=\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\beta^{2}}} \] y así, sustituyendo estas dos últimas expresiones en (1) obtenemos

\[ D=\frac{A}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\beta^{2}}} \]


Para hallar la pulsación $\omega_{R}$ para la cual la amplitud D es máxima efectuamos la derivación

\[ \frac{dD}{d\omega}|_{\omega=\omega_{R}}=0 \]


$\frac{dD}{d\omega}=-\frac{1}{2}\frac{A[-4\omega_{R}(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})+8\omega_{R}\beta^{2}]}{[(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})^{2}+4\omega_{R}^{2}\beta^{2}]^{3/2}}=0\quad\Rightarrow8\omega\beta^{2}=4\omega(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})\;\Rightarrow2\beta^{2}=\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2}$

y por la tanto así queda demostrado

\[ \omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-2\beta^{2}\quad;\;\beta=\frac{\gamma}{2} \]


\[ \omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2} \]

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 17:33 15 feb 2014 (UTC)


Problema 5.4

Show that the acceleration amplitude $\omega^{2}A$ is a maximum at the driving frequency given by

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}/(1-\gamma^{2}/2\omega_{0}^{2})\simeq\omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}\gamma^{2}$

where the approximation is good when the damping is very light.

Solución:

Primero nombremos $\omega^{2}=z$ y $\omega_{0}^{2}=x$ por facilidad de escritura, entonces tenemos que la amplitud de acceleración es $zA$, y esto es igual a $\frac{F_{0}\omega}{B}\left[\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$ o $\frac{F_{0}}{B}\left[\frac{\gamma^{2}z^{2}}{(x-z)+\gamma^{2}z}\right]^{1/2}$ simplemente haciendo las sustituciones propuestas.

Por lo que $zA=\frac{F_{0}}{B}\left[\frac{\gamma^{2}z^{2}}{(x-z)+\gamma^{2}z}\right]^{1/2}$ , al derivar esto con respecto a z e igualarlo a cero para hacerlo un máximo, vemos que el factor $\frac{F_{0}}


{B}$ y la parte inferior de la derivada del cociente desaparecen al igual que el cociente de la raíz, por lo que

sólo nos va a interesar la parte superior de la derivada, y lo escribimos.

$\left[(x-z)^{2}+\gamma^{2}z\right](2\gamma^{2}z)-\gamma^{2}z^{2}\left[-2(x-z)+\gamma^{2}\right]=0$

Haciendo algunas simplificaciones algebraicas sencillas

$2(x^{2}-2xz+z^{2})+\gamma^{2}z=-2z(x-z)$

Por lo que

$-2xz+\gamma^{2}z+2x^{2}=0$

$z(-2x+\gamma^{2})=-2x^{2}$

$z=\frac{-2x^{2}}{-2x+\gamma2}$

$z=\frac{x}{1-\frac{\gamma^{2}}{2x}}$

O resustituyendo

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}/(1-\gamma^{2}/2\omega_{0}^{2})\simeq\omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}\gamma^{2}$

Nota: Tomar en cuenta que la parte de las simplificaciones fue omitida puesto que es pura álgebra y el lector la puede hacer fácilmente.

Edgar Ortega Roano 09:58 12 feb 2014 (CDT)


Problema 5.5

A certain system has $\nu_{0}=$50 Hz exactly and Q=10 excactly. Compare the numericale values of:

a) A the resonance angular frecuency $\omega_{0},b)$ the angular frecuency of the free vibrations $\omega_{f},$c)the value of $\omega$ at which the displacement amplitude A is a maximun, and d) the value of $\omega$ at which the aceleration amplitude $\omega^{2}$is a maximun.

Cierto sistema tiene $\nu_{0}=$50 Hz exactamente y Q=10 exactamente. Compare los valores numéricos de:

a) La frecuencia angular de resonancia $\omega_{0}$:

Para calcular $\omega_{0},$se utiliza la siguiente definición: $\omega=2\pi\nu$ que para $\omega_{0}$, se convierte en $\omega_{0}=2\pi\nu0$.

Al sustituir los valores dados, dentro de la ecuación, se obtiene:

\[ \omega_{0}=2\pi(50Hz)=314.16rad/seg \]


b)La frecuencia angular para vibraciones libres:

Para obtener la frecuencia angular para vibraciones libres, se ocupa la siguiente definición:

\[ \omega=\omega_{0}\left[1-\left(\gamma/2\omega_{0}\right)^{2}\right]^{1/2} \]


En donde se utiliza la siguiente relación: $\gamma=\frac{\omega_{0}}{Q}$

Al sustituir las ecuaciones anteriores con los datos, se obtiene:

\[ \gamma=31.416 \]


\[ \omega=314.16\left[1-(31.416/628.31)^{2}\right]^{1/2}=313.76rad/seg \]


Se puede observar que $\omega$ y $\omega_{0},$ valen prácticamente lo mismo.

c)El valor de $\omega$ en el que la amplitud A, sea un máximo:

Primero se utiliza la siguiente relación:

\[ x(t)=Asen(\omega t+\phi) \]


Que se deriva para obtener el punto crítico en el que A es un máximo, y se obtiene:

\[ Cos(\omega t+\phi)=0 \]


En donde se aplica el arcoseno con el propósito de despejar a $\omega$:

\[ \omega t=\frac{\pi}{2}-\phi \]


\[ \omega=\frac{\pi}{2t}=\frac{\pi}{2\nu_{0}} \]


Al sustituir, con los valores dados, se obtiene: $\omega=0.314$ rad/seg

d)El valor de $\omega$ para el cual la amplitud de la aceleración y $\omega^{2}A$ es un máximo:

Este valor, se obtiene con la segunda derivada de la siguiente ecuación:

\[ \frac{}{} \] \[ \frac{d^{2}x}{dt}Asen(\omega t+\phi)=-A\omega sen(\omega t) \]


\[ -A\omega sen\omega t=0 \]


Al despejar el $\omega$ utilizando el arcoseno, se obtiene:

\[ 0=\omega t \]


Por ende, $\omega=0$

Ana Alarid (discusión) 03:31 26 feb 2014 (UTC)


Problema 5.6

Show that value of the displacement amplitude A at the excact maximum of its response curve is

Traducción: Muestre que el valor de desplazamiento de la amplitud A en el maximo exacto de su curva de resuesta es:

\[ A_{max}=\left(\frac{QF_{0}}{s}\right)\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{-1/2}\thickapprox\left(\frac{QF_{0}}{s}\right)\left(1+\frac{1}{8Q^{2}}\right) \]


Como ya sabemos la amplitud esta dada por la siguiente ecuación:

\[ A=\frac{F_{0}}{m}\left[\frac{1}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}-------(1) \]


Tambien conocemos las siguientes ecuaciones: \[ Q=\frac{\omega_{0}}{\gamma} \]


Cuanto mayor es el valor de Q menor es el efecto disipativo y mayor el numero de ciclos de oscilaciones libres para una disminución dada de amplitud.

\[ \omega^{2}=\frac{s}{m} \]


\[ \gamma=\frac{b}{m} \]


Ahora bien haciendo álgebra y utilizando las ec. anteriores podemos llegar a:

\[ A=\frac{F_{0}}{m\omega_{0}}\frac{\omega/\omega_{0}}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{Q^{2}}\right]^{1/2}} \]--(2)


O bien:

\[ A=\frac{F_{0}}{s}\frac{\omega_{0/}\omega}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{Q^{2}}\right]^{1/2}} \]


La mayor parte de la variación de la fase se produce en un intervalo de frecuencias que va aproximadamente desde $\omega_{0}\left(1-\frac{1}{Q}\right)$hasta $\omega_{0}\left(1+\frac{1}{Q}\right),$en el limite $Q\rightarrow\infty$.

La amplitud A pasa por un máximo para cualquier valor de Q mayor de $1/\sqrt{2}$, es decir, para todos los sistemas excepto los amortiguados con mayor intensidad.

Esta amplitud máxima se presenta, a una frecuencia $\omega_{m}$que es menor que $\omega_{0}$. Si llamamos Ao a la amplitud $\frac{F_{0}}{s}$ obtenida para $\omega\rightarrow0$, se obtendrán las siguientes ecuaciones:

\[ \omega_{m}=\omega_{0}\left(1-\frac{1}{2Q^{2}}\right)^{1/2} \]


\[ A_{m}=A_{0}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}} \]


Por lo tanto queda demostrado que:

\[ A_{m}=\frac{F_{0}}{s}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}}\thickapprox\frac{F_{0}}{s}\frac{Q}{\left(1+\frac{1}{8Q^{2}}\right)} \]



Aquí el álgebra para llegar de (1) a (2).

Se tiene la ecuación: \[A=\frac{F_0}{m}=\left[\frac{1}{(\omega_0 ^2 -\omega^2)^2+\gamma^2 \omega^2} \right] \]

y las relaciónes:
\[
\omega_0 ^2 =\frac{s}{m} 
 \]
\[
\gamma=\frac{b}{m} 
 \]
\[
Q=\frac{\omega_0}{\gamma} 
 \]

Por  lo que podemos escribir los siguiente:
\[
A=\frac{F_0}{m}\frac{\omega_0}{\omega}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{\left[(\omega_0 ^2-\omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2 \right]^{1/2} }
 \]

\[
A=\frac{F_0}{m}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{{\left[\left(\frac{\omega}{\omega_0} \right)^2 (\omega_0 ^2 -\omega^2)^2 + \left( \frac{\omega}{\omega_0}\right)^2\gamma^2\omega^2 \right]^{1/2} } }
 \]

\[ A=\frac{F_0}{m}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{{\left[\left(\frac{\omega}{\omega_0} \right)^2 (\omega_0 ^2 -\omega^2)^2 + \frac{1}{Q} \omega^4\right]^{1/2} } } \]


\[
A=\frac{F_0}{m\omega_0 ^2}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{{\left[\left(\frac{1}{\omega_0 \omega} \right)^2 (\omega_0 ^2 -\omega^2)^2 + \frac{1}{Q}\right]^{1/2} } }
 \] 

Finalmente:

\[
A=\frac{F_0}{m\omega_0 ^2}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{{\left[ (\frac{\omega_0}{\omega} -\frac{\omega}{\omega_0})^2 + \frac{1}{Q}\right]^{1/2} } }=\frac{F_0}{s}\frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{{\left[ (\frac{\omega_0}{\omega} -\frac{\omega}{\omega_0})^2 + \frac{1}{Q}\right]^{1/2} } }
 \] 

--Luis Santos (discusión) 00:24 9 mar 2015 (CDT)


--Usuario:Daniel Olvera Moreno 22:40 21 de feb 2014 Cesar Ivan Avila Vasquez (discusión) 17:10 25 Febrero 2014



Problema 5.7

Show that the value of the acceleration amplitude $\omega^{2}A$ at the exact maximum of its response curve is

\[ \left(\omega^{2}A\right)_{m}=\left(QF_{0}/m\right)\left(1-1/4Q^{2}\right)^{-1/2}\thickapprox\left(QF_{0}/m\right)\left(1+1/8Q^{2}\right) \]


Ya que anteriormente habiamos calculado $A_{m}$

\[ A_{m}=\frac{F_{0}}{s}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}} \]


lo unico que debemos hacer es multiplicar en los dos lados de la ecuacion por $\omega^{2}$y sabiendo tambien que $\omega^{2}=\frac{s}{m}$ obtendremos que

\[ \left(\omega^{2}A\right)_{m}=\frac{F_{0}}{m}\frac{Q}{\left(1-\frac{1}{4Q^{2}}\right)^{1/2}}\thickapprox\frac{F_{0}}{m}\frac{Q}{\left(1+\frac{1}{8Q^{2}}\right)} \] --Usuario:Daniel Olvera Moreno 23:05 21 de feb 2014


Problema 5.8

Figure 5.13 shows the mean power absorption (P) in watts, as a function of driving frequency in the resonance region. Find the numerical vaules of a) , b), and c) Q. d) If driving force is removed, after how many subsequent cycles will the energy of the system be of its initial vaule?


La figura 5.13 muestra la media de absorción de potencia (P) en watts, en función de la potencia de la frecuencia. Encontrar los valores numéricos de (a) , (b) , y (c) Q. Si se retira la fuerza motriz, ¿después de cuantos ciclos posteriores la energía del sistema es de su valor inicial.

Fig.5.13.jpg

a) Directamente de la figura 5.13, se observa que en su punto más alto la frecuencia es de 96Hz, por lo que

b) Como esta dado por el ancho de la gráfica cuando su potencia es de la mitad de la máxima, de la figura se observa fácilmente que

c) De la ecuación 3.14 se tiene que

d) De las ecuaciones 3.12 se sabe que la energía decae por un factor al tiempo , es decir


Como

se tiene que el número de ciclos esta dado por

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 04:54 25 feb 2014 (UTC) Imagen --Pablo (discusión) 00:15 15 mar 2015 (CDT)



Problema 5.9

If the system in problem 5.8 has m=0-010 Kg, calculate the force amplitude $F_o$

Primeramente escribimos los datos obtenidos del problema anterior

$\omega_{0}=600\frac{rad}{s}$ $Q=16$$\gamma=38Hz$

Ahora bien para calcular Fo podemos acudir a la ecuacion:

\[ P=\frac{F_{0}^{2}}{2M\gamma}\left[\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\right] \]


Esta es la ecuacion para obtener P y la usaremos ya que del problema anterior podemos observar en la grafica que P es 20 W esto es porque el poblema dice que esta en resonancia, y cuando esta en resonancia P alcanza su maximo, de aqui tambien se observa que $\omega=\omega_{0}$ , esta ecuacion se reducira a la siguiente

\[ P=\frac{F_{0}^{2}\omega_{0}Q}{2\gamma} \]


Y esta ecuacion puede convertirse en

\[ P=\frac{QF_{0}^{2}}{2m\omega_{0}} \]


Ya que anteriormente se explico que se conoce P de la ecuaion se despejara para obtener Fo y tenemos que:

\[ F_{0}=\left[\frac{2Pm\omega_{0}}{Q}\right]^{1/2} \]


Por lo tanto \[ F_{0}=3.87N\backsimeq3.9N \] --Usuario:Daniel Olvera Moreno 21:26 25 de feb 2014


Problema 5.11

--Esther Sarai (discusión) 11:45 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai


consider the average energy(W)stored in a system undergoing steady state forced vibration. show (a) that (W) is mostly potential energy when w<<w0.


(b)that potential energy and kinectic energy are equal when w= w0


(c) that (W) is mostly kinetic energy when w>>w0


(d) show also that (P)= (W)g resonance, where (P) is the mean power supplied by the driving force


utilizando la figura 5.2

como en la forma B,Bg, se tiene como :

Bg =

debemos encontrar a Bsen y de ahí se define la amplitud que resulta :


A=


ahora para definir wA, utilizamos la ecuación 5.7

entonces : wA=


usando la definición :

P= Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): b\psi´

P= Error al representar (error de sintaxis): b(\psi´)^2

P=

--Esther Sarai (discusión) 14:31 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai

Problema 5.12

Show that, for driving frequencies close to resonance $(\omega\thickapprox\omega_{0})$ in a very lightly damped system, the response function (5.7) may be approximated by the Lorentzian

Traduccion: Muestre que para frecuencias cerca de la resonancia $\left(\omega\approx\omega_{0}\right)$ en un sistema muy ligeramente amortiguado, la función de respuesta (5.7) puede ser aproximada por el Lorentziano:

\[ L(\omega)=\frac{\frac{1}{4}\gamma^{2}}{(\omega_{0}-\omega)^{2}+\frac{1}{4}\gamma^{2}} \]


Sabemos que:

\[ R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}} \]


Además tenemos que $\omega\thickapprox\omega_{0}$ y dado que el movimiento es muy ligeramente amortiguado tambien tenemos que $\omega_{0}\gg\frac{\gamma}{2}$ y por lo cual $\omega\gg\frac{\gamma}{2}$ entonces:

\[ R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}+\omega\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}} \]


\[ R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}} \]


\[ R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\omega^{2}\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}=\frac{\gamma^{2}}{\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}} \]


Luego, con $\omega_{0}\thickapprox\omega$ tenemos que:

\[ R(\omega)\cong\frac{\gamma^{2}}{\left(1+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}}=\frac{\gamma^{2}}{4\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}} \]


\[ R(\omega)=\left(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}\right)\frac{\gamma^{2}}{4\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}} \]


Finalmente:

\[ \Rightarrow\frac{\frac{\gamma^{2}}{4}}{\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\frac{\gamma^{2}}{4}}=L(\omega) \]

--Cesar Ivan Avila Vasquez 00:01 20 Febrero 2014 (CDT)


Problema 5.14

By finding the value of $\omega$ which makes the compliance $\left|K(\omega)\right|$ a maximum, confirm the result of problem 5.3.

gráfica 5.8

Sea $K(\omega)=\frac{1}{(s-m\omega^{2})+ib\omega}$

si queremos que $K(\omega)$ sea máximo esto sucede cuando el denomidador tiende a cero y para eso resolvemos $s-m\omega^{2}+ib\omega=0$ obteniendo entonces que

\[\omega=\frac{ib}{2m}\pm(\frac{s}{m}-\left(\frac{b}{m}\right)^{2})^{\frac{1}{2}}\]

Si ahora consideramos solamente la parte real donde $K(\omega)$ tiene un máximo (según la gráfica 5.8 de la página 66 de G.Main) tendremos que

$\omega=\pm(\frac{s}{m}-\left(\frac{b}{m}\right)^{2})^{\frac{1}{2}}$


Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 04:32 28 mar 2014 (UTC)

Imagen--Pablo (discusión) 00:52 15 mar 2015 (CDT)


Problema 5.16

For the motion Error al representar (error de sintaxis): \psi=(7.5 mm) cos[(6.28 s^{-1})t +27º]-(2.3 mm) sin[(6.20 s^{-1})t-121º] find (a) the frequency, and (b) the time interval separating sucessive beats.

Para el movimiento Error al representar (error de sintaxis): \psi=(7.5 mm) cos[(6.28 s^{-1})t +27º]-(2.3 mm) sin[(6.20 s^{-1})t-121º] encuentra (a) la frecuencia, y (b) el intervalo que separa las pulsaciones sucesivas.


(a) Se tiene un movimiento que resulta de la superposición de dos movimientos, la vibración libre y una vibración forzada, por lo tanto se tienen diferentes frecuencias angulares y , entonces la frecuencia estará dada como sigue:

donde se tienen dos valores distintos para  :

y:


Entonces las frecuencias correspondientes a cada son:

y:


Así la frecuencia correspondiente al movimiento es:

(b) Dado que el periodo se relaciona de la siguiente forma con :

Y es:

Se tiene:

Y finalmente al sustituir obtenemos el valor del periodo:


Brenda Pérez Vidal (discusión) 23:32 19 feb 2014 (UTC)


Problema 5.17

A single driving force produces a steady-state forced vibrations with amplitude $10mm$. A second driving force of the same frequency as the first, acting on the same system, produces a steady-state amplitude of $20mm$. When both forces are acting simultaneously, the steady-state amplitude is $15mm$. What is the phase difference between the two forces?

Una fuerza produce una vibración forzada en estado estacionario con una amplitud de $10mm$. Una segunda fuerza de la misma frecuencia de la primera, actua sobre el mismo sistema y produce una amplitud de $20mm$. Cuando ambas fuerzas actuan de manera simultanea, la amplitud de estado estacionario es de $15mm$. ¿Cuál es la diferencia de fase entre las dos fuerzas?


La amplitud resultante para la superposición de dos vibraciones forzadas con la misma frecuencia, está dada por la ecuación $(5.25)$ del texto(Main):

donde $A$ es la amplitud resultante, $A_1$ y $A_2$ las amplitudes de las vibraciones que actuan sobre el sistema, $\alpha_1$ es la fase de la primera fuerza y $\alpha_2$ la fase de la segunda fuerza.

Para este problema en específico, sabemos que $A_1 = 10 mm$, $A_2 = 20mm$ y $A = 15mm$, por lo que podemos escribir $A_2 = 2A_1$ y $A = 3/2 A_1$. Entonces, reescribiendo la ecuación para la amplitud resultante, tenemos que:

Y resolviendo para $\alpha_2 - \alpha_1$:

Error al representar (error de sintaxis): \dfrac{9}{4} A_1^2 - A_1^2 - 4A_1^2 = 4A_1^2 \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \\ \dfrac{9}{4} A_1^2 - \dfrac{4}{4} A_1^2 - \dfrac{16}{4} A_1^2 = 4A_1^2 \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \\ - \dfrac{11}{4} A_1^2 = 4A_1^2 \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \\ \left(\dfrac{- \dfrac{11}{4} A_1^2}{4A_1^2}\right) = \cos(\alpha_2 - \alpha_1) \\ \cos(\alpha_2 - \alpha_1) = - \dfrac{11}{16}

Por lo que:

Por lo tanto, la diferencia de fases entre las dos fuerzas es de $\approx 133.4^o$.

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 17:09 10 mar 2015 (CDT)


Problema 5.18

A simple seismometer consists of a mass hung on a spring attached to a rigid framework, which is fixed to the ground, with critical damping. The vertical displacement of the mass relative to the framework is recorded.

a) Show that the measured amplitude A of the steady-state vibration resulting from a vertical displacement $Hcos(\omega t)$ of the earth´s surface is given by

\begin{equation} \frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}} \end{equation}


b) Show that, if the frecuencies of the detected disturbances lie in the region of mass controlled motion, the mass remains almost stationary when the ground moves.

Interpretación al español latino

5.18 Un simple sismómetro consiste en una masa colgada en un resorte unido a un marco rígido, que está fijado al suelo, con amortiguamiento crítico. El desplazamiento vertical de la masa en relación con el marco se registra.


a) Demostrar que la amplitud A medida de la vibración de estado estacionario resultante de un desplazamiento vertical $Hcos(\omega t)$ de la superficie de la tierra está dado por

\begin{equation} \frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}} \end{equation}

b) Demostrar que, si las frecuencias de las alteraciones detectadas se encuentran en la región del movimiento de masas controladas, la masa permanece casi estacionario cuando el suelo se mueve.

El movimiento del sismómetro puede verse como un oscilador forzado, donde el movimiento terrestre es la fuerza externa oscilante, llamaremos:

\begin{equation} \upsilon_{(t)}=Hcos(\omega t) \end{equation}


Encontramos que el cambio de momento: \begin{equation} p=m\dot{\upsilon} \Longrightarrow \frac{\delta p}{\delta t}=m\ddot{\upsilon} \end{equation}


donde: \begin{equation} \ddot{\upsilon}=-H\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}

Entonces por segunda ley de newton y tomando en cuenta que el movmiento es unidimensional. \begin{equation} F=\frac{\delta p}{\delta t} \Longrightarrow F(t)=-mH\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}


Ahora bien para la descripción del movimiento del sismógrafo, tenemos de la anterior ecuación diferencial.

\begin{equation} m\ddot{h}+2m\beta\dot{h}+m\omega_{0}^{2}h=-mH\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}


La cual para simplificar dividimos entre la masa. \begin{equation} \ddot{h}+2\beta\dot{h}+\omega_{0}^{2}h=-H\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}


Sin embargo la solución homogénea es como lo indica el problema: amortiguamiento critico, por tanto nos quedaremos con una solución de la forma:

\begin{equation} h_{(t)}=Acos(\omega t-\phi) \end{equation}


Evaluando derivadas.

\begin{equation} \dot{h_{(t)}}=-A\omega sen(\omega t-\phi) \end{equation}

\begin{equation} \ddot{h}_{(t)}=-A\omega^{2}cos(\omega t-\phi) \end{equation}


Sustituimos en la ecuación diferencial.

\begin{equation} -A\omega^{2}cos(\omega t-\phi)-2A\beta\omega sen(\omega t-\phi)+A\omega_{0}^{2}cos(\omega t-\phi)=-H\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}


Y reagrupamos términos.

\begin{equation} A(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})cos(\omega t-\phi)-2A\beta\omega sen(\omega t-\phi)]=-H\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}


De aquí se procederá, partiendo del producto interno entre dos funciones, se puede demostrar que: \begin{equation} \int_{0}^{T}cos(\omega t-\phi)sen(\omega t-\phi)=0 \end{equation}


De esto se puede concluir que ambas funciones son ortogonales, y de allí que forman un triangulo rectángulo donde la magnitud de sus catetos es el coeficiente de cada función. Ahora, la fuerza al no poseer el mismo argumento se dice oblicua a las anteriores, y de allí que su argumento corresponda a la hipotenusa, por lo tanto se puede armar por teorema de pitágoras.

\begin{equation} H^{2}\omega^{4}=A^{2}[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}] \end{equation}


Lo cual tras algunas manipulaciones algebraicas.


\begin{equation} \frac{A^{2}}{H^{2}}=\frac{\omega^{4}}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]} \end{equation}


Por la definición de

\begin{equation} R_{(\omega)}\equiv\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}} \end{equation}


Multiplicamos la original por el termino del numerador, tomando en cuenta las condiciones de amortiguamiento critico.

\begin{equation} \frac{A^{2}}{H^{2}}=\frac{\omega^{4}}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]}\frac{4\omega_{0}^{2}\omega^{2}}{4\omega_{0}^{2}\omega^{2}} \end{equation}

Al simplificar y reducir obtenemos.

\begin{equation} \frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}} \end{equation}


De aquí que la máxima resonancia es cuando ambas frecuencias angulares son iguales, y entonces la amplitud es igual a un medio de la amplitud con que la tierra oscila. Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 12:35 21 feb 2014 (UTC) --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 21:55 29 jun 2013 (CDT) Se agregaron los símbolos para que apareciera una ecuación con el formato adecuado. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 22:37 5 jul 2013 (CDT)


Problema 5.19

Una masa de 4 kg alarga 1cm un resorte, la masa se libera desde el reposo inicialmente desde ese punto que esta por arriba de la posicion de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a un cuarto de la velocidad instantanea; encuentre la ecuacion de movimiento si se aplica una una fuerza externa igual a la velocidad instantanea.


Datos


m= 2 kg

k=2


concdiciones iniciales


y






sustituimons terminos




la solucion a esta ecuacion diferencial es



--David Alberto Rojas Solis (discusión) 09:08 6 jul 2013 (CDT)


--mfg-wiki (discusión) 12:01 9 may 2013 (CDT)


Problema Adicional 1

Cuando un automóvil va por un camino con ondulaciones regulares (como una tabla de lavar), los golpes hacen que las ruedas oscilen sobre los amortiguadores. Encontrar la velocidad del coche a la cual resuena la oscilacion, sabiendo que al subir en el auto cuatro personas de 80 kg, este se unde dos centimetros, cada eje con sus dos ruedas tiene una masa total de 50kg, y las ondulaciones en el piso estan cada 80cm.


Solución:

Se tienen cuatro amortiguadores (resortes de Hooke), en paralelo, los que se comprimen 2cm al colocar

sobre ellos cuatro masas de 80kg. Por la ley de Hooke se tiene:


\[ k_{e}=\frac{F}{4x}=\frac{(4)(80kg)(9.81\frac{m}{s})}{(4)(0.002m)} \] \[ k_e \approx 4 \times 10 ^{4} \frac{N}{m} \]

Cada par de llantas con su eje y amortiguadores constituyen un ascilador armonico descrito por:

\[ m\ddot{x}+2k_e x =0 \] \[ \ddot{x}+\frac{2K_e}{m} x =0 \]

\[ \ddot{x}+\omega_0^2 x =0 \]

con \[\omega_0 ^2 = \frac{2k_e}{m}=\frac{2(4 \times 10^4 \frac{N}{m})}{50 kg}=1600 s^2 \]

Y con una frecuancia natural de oscilación de: \[\nu =\frac{\omega_0}{2 \pi}\]

\[\nu=6 Hz\]

Al pasar por un tramo de carretera ondulado, cada par de llantas será un ascilador forzado, por lo que ahora su comportamiento queda descrito por:

\[ \ddot{x}+\omega_0 ^2 x = (\frac{f_0}{m})cos(\omega t) ----------(2)\]

Para esta ED se propone la solución: \[ x=c_1 cos (\omega t) + c_2 sin(\omega t) \]

con derivadas: \[\dot{x}= -c_1 \omega sin(\omega t) +c_2 \omega cos (\omega t)\]

\[\ddot{x}=-c_1\omega^2 cos(\omega t)-c_2 \omega^2 sen(\omega t)\]

Sustutuyendo en (2) se tiene:

\[-c_1\omega^2 cos(\omega t)-c_2 \omega^2 sen(\omega t)+c_1 \omega_0 ^2 cos (\omega t) + c_2\omega_0 ^2 sin(\omega t)=(\frac{f_0}{m})cos(\omega t) \]

De donde se tiene:

\[c_2 =0\]

\[c_1 (\omega_0 ^2 -\omega ^2)= \frac{f_0}{m}\]

\[c_1 = A =\frac{f_0}{m(\omega_0 ^2 - \omega^2)}\]

De esta ultima expreción, podemos ver que la amplitud sera pequeña cuando $\omega _0^2 -\omega^2$ sea grande pero crese abruptamente cuando $\omega \longrightarrow \omega _0$. El fenomeno de resonancia esta representado por el hecho de que el valor de A, sin tomar en cuenta el signo, resulta infinitamente grande si:

\[\omega = \omega _0 =40 s\]

Siendo \[V=\frac{\lambda}{\omega}= \frac{.08m}{40 s}\] Por lo que las llantas del auto estaran en resonancia cuando la velocidad sea:

\[V\approx 5 ms^-1\]


Tomado de: Mecánica clásica John R. Taylor ISBN:978-84-291-4312-6 PP.234 Resuelto por Luis Enrique Santos. --Luis Santos (discusión) 22:58 5 mar 2015 (CST)



Problema Adicional 2

El gráfico muestra la curva de resonancia de potencia de un determinado sistema mecánico cuando se ve accionado por una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \F_{0}sen\omega t} , en donde Error al representar (función desconocida «\F»): {\displaystyle \F_{0}} es constante y es variable.

a)Hallar los valores numéricos de y Q para este sistema. b)Si suprime la fuerza impulsora.¿Después de cuántos ciclos de oscilación libre ha descendido la energía del sistema a 1/e de su valor inicial?

Gráfica

Solución

a) Observando la gráfica se tiene como punto mas alto a

Para Q, usando

se sabe que es la anchura de la curva a la mitad de la altura máxima.

Sustituyendo en

b) De Error al representar (error de sintaxis): W≈\frac{1}{2}m\gamma^{2}A^{2}e^{-\gamma t}

sabemos que la energía decae por un factor de 1/e al tiempo

El número de ciclos se obtiene con


Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 132. Problema 4-13. Resuelto por: --Luis Velázquez (discusión) 21:49 11 mar 2015 (CDT)



Problema adicional 13

Un objeto de masa de 2 kg cuelga de un muelle de masa despreciable. El muelle se alarga en 2.5 cm cuando se le sujeta dicho objeto. El extremo superior del muelle se hace oscilar hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armónico simple de amplitud 1 mm. La Q del sistema es 15. a) ¿Cuál es para el sistema? b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación formada para ? c) ¿Cuál es la potencia media de entrada para mantener la osculación formada a una frecuencia 2% mayor que ? usando la expresión

Solución:

Consideraciones: 1. Por el enunciado el problema se solucionará tomando la descripción de un movimiento armónico simple, considerando la oscilación forzada, dado que el resorte que es colgado tiene un término de fuerza restitutiva, fuerza amortiguada, una fuerza forzada y a una fuerza externa, por ende la expresión que cumple esta descripción es de la forma:


\[ \ddot{\psi}+\gamma\dot{\psi}+\omega_{0}^{2}\psi=\frac{F_{0}}{m}\cos\omega t\qquad\ \]

2. Una solución es , Donde la amplitud "A", es descrita por en donde se puede demostrar que (Problema 5.5) la amplitud máxima está dada por \[ A_{m}=\frac{F_{0}}{s}\frac{\omega_{0/}\omega}{\left[\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}-\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}+\frac{1}{Q^{2}}\right]^{1/2}} \] .

3. Como el resorte está colgado, dejaremos la suma de fuerzas es cero, dado que está en reposo y por Newton tenemos que: Por lo tanto , donde es la constante del resorte y es el desplazamiento con respecto de la vertical en donde el sistema está en reposo.


a) Tomamos a , donde Donde , por obtenemos que

b) Tomando la expresión: En donde Conociendo podemos expresar la ecuación anterior como: Donde para se obtiene que:

resolviendo el problema:

c) Con la expresión, dada en el problema es: Tomando a y y resolviendo el la expresión obtenemos que:

Problema 4.17 , Vibraciones y Ondas, A.P. French, Publicación del MIT Hecho por: --Pablo (discusión) 22:53 14 mar 2015 (CDT) . Correcciones por: --Pablo (discusión) 23:00 14 mar 2015 (CDT)




Problema

--Luis Martínez (discusión) 08:31 15 mar 2015 (CDT)--Luis Martínez (discusión) 08:31 15 mar 2015 (CDT)





Problema adicional 4

Un sistema compuesto por una masa y un resorte es arrastrado con una fuerza de $F(t)= 20\sin4t$. La masa es de 4kg, la constante K es de 8 N/m.


(a) ¿cuál es la amplitud del sistema?

(b) escribir la ecuación del movimiento de la masa con respecto del tiempo --Esther Sarai (discusión) 10:08 15 mar 2015 (CDT)Esther Sarai



Ejercicio adicional, Oscilaciones Acopladas

se considera una cuerda discreta compuesta por 3 partículas espaciadas regularmente sobre la misma. En el instante t=0, la partícula central sufre un desplazamiento (a) y despues se deja libre desde el reposo.

Calcular el movimiento subsiguiente.


en primer lugar las condiciones iniciales son :

q2(0)=a, q1(0)=q3(0)=0 q1(0)=q2(0)=q3(0)=0

como las velocidades iniciales son nulas, las (V) se anularan y las vendran dadas por :


entonces : ,


                                                   


                                                      


las cantidades r y j para la partícula 1 son : r=1, j=


r=2, j = 1

r=3,j=


para la partícula 2 : r=1,j=1

r=2,j=0


r=3,j=-1


para la partícula 3 r=1,j=


r=2, j= -1

r=3, j= -


y por consiguiente el desplazamiento de las 3 partículas serán:

q1(t) =

q2(t)=


q3(t) =

--Luisa Alejandra Vega Sanchez (discusión) 12:13 15 mar 2015 (CDT) usuario : Luisa Alejandra Vega Sanchez