Vibra: probs c5

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Main cap.5

5.1


5.2 A system with , y is driven by a harmonically varying force of amplitude N. Find the amplitude and the phase constant of the steady-state motion when the angular frequency is: a), b) y c).

Un sistema con , y es impulsado por una fuerza que varía armónicamente de amplitud N. Encuentra la amplitud y la constante de fase del estado estacionario de movimiento cuando la frecuencia es: a), b) y c).


Solución:

a)

La relación correspondiente entre la fuerza y la amplitud del desplazamiento para un sistema amortiguado es:

Si despejamos el valor de se tiene que:

El valor de la frecuencia angular al sustituir los valores de y es:

Así el valor de es:

Por otra parte la constate de fase esta dada por:

sustituyendo valores:

pasando el resultado a grados se llega a:

Se utiliza el mismo razonamiento para los incisos b y c.

b)80s

y


c)800s

y


Brenda Pérez Vidal (discusión) 01:42 17 feb 2014 (UTC)


--MISS (discusión) 01:12 21 may 2013 (CDT)


5.3 Show that the displacement amplitud A is a maxium at the driving frequency given by $\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}$

$\;$ Muestra que la amplitud del desplazamiento A es máxima cuando la frecuencia está dada por $\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}$ .


Partimos de la ecuación de movimiento para un movimiento forzado y amortiguado

\[ \ddot{\psi}+\gamma\psi+\omega_{0}^{2}\psi=A\cos\omega t\qquad;\; A=\frac{F_{0}}{m} \]


teniendo como solución la combinación lineal de su solución homogénea y su solución particular

\[ \psi_{h}(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}+A_{2}e^{-\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}]\quad;\;\beta=\frac{\gamma}{2} \]


\[ \psi_{p}(t)=D\cos(\omega t+\phi) \]


por sustitución en la ecuación de movimiento y desarrollando $\cos(\omega t-\delta)$ y $\sin(\omega t-\delta)$ obtenemos:

\[ \{A-D[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta]\}\cos\omega t-\{D[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\sin\delta-2\omega\beta\cos\delta]\}\sin\omega t=0 \]


del primer término se obtiene la relación para la amplitud dada por

\[ D=\frac{A}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta}\qquad(1) \]

y la relación para $\cos\delta$ y $\sin\delta$ se obtiene del segundo término

\[ \tan\delta=\frac{2\omega\beta}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \]


\[ \sin\delta=\frac{2\omega\beta}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\gamma^{2}}} \] \[ \cos\delta=\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\beta^{2}}} \] y así, sustituyendo estas dos últimas expresiones en (1) obtenemos

\[ D=\frac{A}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\beta^{2}}} \]


Para hallar la pulsación $\omega_{R}$ para la cual la amplitud D es máxima efectuamos la derivación

\[ \frac{dD}{d\omega}|_{\omega=\omega_{R}}=0 \]


$\frac{dD}{d\omega}=-\frac{1}{2}\frac{A[-4\omega_{R}(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})+8\omega_{R}\beta^{2}]}{[(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})^{2}+4\omega_{R}^{2}\beta^{2}]^{3/2}}=0\quad\Rightarrow8\omega\beta^{2}=4\omega(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})\;\Rightarrow2\beta^{2}=\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2}$

y por la tanto así queda demostrado

\[ \omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-2\beta^{2}\quad;\;\beta=\frac{\gamma}{2} \]


\[ \omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2} \]

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 17:33 15 feb 2014 (UTC)


5.4

Show that the acceleration amplitude $\omega^{2}A$ is a maximum at the driving frequency given by

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}/(1-\gamma^{2}/2\omega_{0}^{2})\simeq\omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}\gamma^{2}$

where the approximation is good when the damping is very light.

Solución:

Primero nombremos $\omega^{2}=z$ y $\omega_{0}^{2}=x$ por facilidad de escritura, entonces tenemos que la amplitud de acceleración es $zA$, y esto es igual a $\frac{F_{0}\omega}{B}\left[\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$ o $\frac{F_{0}}{B}\left[\frac{\gamma^{2}z^{2}}{(x-z)+\gamma^{2}z}\right]^{1/2}$ simplemente haciendo las sustituciones propuestas.

Por lo que $zA=\frac{F_{0}}{B}\left[\frac{\gamma^{2}z^{2}}{(x-z)+\gamma^{2}z}\right]^{1/2}$ , al derivar esto con respecto a z e igualarlo a cero para hacerlo un máximo, vemos que el factor $\frac{F_{0}}{B}$ y la parte inferior de la derivada del cociente desaparecen al igual que el cociente de la raíz, por lo que

sólo nos va a interesar la parte superior de la derivada, y lo escribimos.

$\left[(x-z)^{2}+\gamma^{2}z\right](2\gamma^{2}z)-\gamma^{2}z^{2}\left[-2(x-z)+\gamma^{2}\right]=0$

Haciendo algunas simplificaciones algebraicas sencillas

$2(x^{2}-2xz+z^{2})+\gamma^{2}z=-2z(x-z)$

Por lo que

$-2xz+\gamma^{2}z+2x^{2}=0$

$z(-2x+\gamma^{2})=-2x^{2}$

$z=\frac{-2x^{2}}{-2x+\gamma2}$

$z=\frac{x}{1-\frac{\gamma^{2}}{2x}}$

O resustituyendo

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}/(1-\gamma^{2}/2\omega_{0}^{2})\simeq\omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}\gamma^{2}$

Nota: Tomar en cuenta que la parte de las simplificaciones fue omitida puesto que es pura álgebra y el lector la puede hacer fácilmente.

Edgar Ortega Roano 09:58 12 feb 2014 (CDT)


5.8 En la figura se muestra la absorción de potencia media en watts, como una función de la potencia de la frecuencia de conducción en la región de resonancia. Encontrar los valores numéricos de (a) , (b) , y (c) Q. Si la fuerza de conducción es removida, después de cuantos ciclos siguientes la energía del sistema es de su valor inicial.

a)observando la gráfica notamos que la frecuencia es de 96Hz así que:

b)De la misma manera se observa rápidamente en la gráfica que

c) Usando la definición de los valores Q

d) De las ecuaciones 3.12 y 3.13 se concluye que la energía decae por un factor al tiempo , es decir


El período está dado por ,


así con una regla de tres calculamos los ciclos



--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 01:20 3 jul 2013 (CDT)


5.12 Show that, for driving frequencies close to resonance $(\omega\thickapprox\omega_{0})$ in a very lightly damped system, the response function (5.7) may be approximated by the Lorentzian

\[ L(\omega)=\frac{\frac{1}{4}\gamma^{2}}{(\omega_{0}-\omega)^{2}+\frac{1}{4}\gamma^{2}} \]


Sabemos que:

\[ R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}} \]


Ademas tenemos que $\omega\thickapprox\omega_{0}$ y dado que el movimiento es muy ligeramente amortiguado tambien tenemos que $\omega_{0}\gg\frac{\gamma}{2}$ y por lo cual $\omega\gg\frac{\gamma}{2}$ entonces:

\[ R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega_{0}+\omega\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}} \]


\[ R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\left(\omega\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}} \]


\[ R(\omega)=\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{\omega^{2}\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}=\frac{\gamma^{2}}{\left(\frac{\omega_{0}}{\omega}+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}} \]


Luego, con $\omega_{0}\thickapprox\omega$ tenemos que:

\[ R(\omega)\cong\frac{\gamma^{2}}{\left(1+1\right)^{2}\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}}=\frac{\gamma^{2}}{4\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}} \]


\[ R(\omega)=\left(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}\right)\frac{\gamma^{2}}{4\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\gamma^{2}} \]


Finalmente:

\[ \Rightarrow\frac{\frac{\gamma^{2}}{4}}{\left(\omega_{0}-\omega\right)^{2}+\frac{\gamma^{2}}{4}}=L(\omega) \]

--Cesar Ivan Avila Vasquez 00:01 20 Febrero 2014 (CDT)


5.16

For the motion Error al representar (error de sintaxis): \psi=(7.5 mm) cos[(6.28 s^{-1})t +27º]-(2.3 mm) sin[(6.20 s^{-1})t-121º] find (a) the frequency, and (b) the time interval separating sucessive beats.

Para el movimiento Error al representar (error de sintaxis): \psi=(7.5 mm) cos[(6.28 s^{-1})t +27º]-(2.3 mm) sin[(6.20 s^{-1})t-121º] encuentra (a) la frecuencia, y (b) el intervalo que separa las pulsaciones sucesivas.


(a) Se tiene un movimiento que resulta de la superposición de dos movimientos, la vibración libre y una vibración forzada, por lo tanto se tienen diferentes frecuencias angulares y , entonces la frecuencia estará dada como sigue:

donde se tienen dos valores distintos para  :

y:


Entonces las frecuencias correspondientes a cada son:

y:


Así la frecuencia correspondiente al movimiento es:

(b) Dado que el periodo se relaciona de la siguiente forma con :

Y es:

Se tiene:

Y finalmente al sustituir obtenemos el valor del periodo:


Brenda Pérez Vidal (discusión) 23:32 19 feb 2014 (UTC)


5.18 A simple seismometer consists of a mass hung on a spring attached to a rigid framework, which is fixed to the ground, with critical damping. The vertical displacement of the mass relative to the framework is recorded.

a) Show that the measured amplitude A of the steady-state vibration resulting from a vertical displacement $Hcos(\omega t)$ of the earth´s surface is given by

\begin{equation} \frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}} \end{equation}


b) Show that, if the frecuencies of the detected disturbances lie in the region of mass controlled motion, the mass remains almost stationary when the ground moves.

Interpretación al español latino

5.18 Un simple sismómetro consiste en una masa colgada en un resorte unido a un marco rígido, que está fijado al suelo, con amortiguamiento crítico. El desplazamiento vertical de la masa en relación con el marco se registra.


a) Demostrar que la amplitud A medida de la vibración de estado estacionario resultante de un desplazamiento vertical $Hcos(\omega t)$ de la superficie de la tierra está dado por

\begin{equation} \frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}} \end{equation}

b) Demostrar que, si las frecuencias de las alteraciones detectadas se encuentran en la región del movimiento de masas controladas, la masa permanece casi estacionario cuando el suelo se mueve.

El movimiento del sismómetro puede verse como un oscilador forzado, donde el movimiento terrestre es la fuerza externa oscilante, llamaremos:

\begin{equation} \upsilon_{(t)}=Hcos(\omega t) \end{equation}


Encontramos que el cambio de momento: \begin{equation} p=m\dot{\upsilon} \Longrightarrow \frac{\delta p}{\delta t}=m\ddot{\upsilon} \end{equation}


donde: \begin{equation} \ddot{\upsilon}=-H\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}

Entonces por segunda ley de newton y tomando en cuenta que el movmiento es unidimensional. \begin{equation} F=\frac{\delta p}{\delta t} \Longrightarrow F(t)=-mH\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}


Ahora bien para la descripción del movimiento del sismógrafo, tenemos de la anterior ecuación diferencial.

\begin{equation} m\ddot{h}+2m\beta\dot{h}+m\omega_{0}^{2}h=-mH\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}


La cual para simplificar dividimos entre la masa. \begin{equation} \ddot{h}+2\beta\dot{h}+\omega_{0}^{2}h=-H\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}


Sin embargo la solución homogénea es como lo indica el problema: amortiguamiento critico, por tanto nos quedaremos con una solución de la forma:

\begin{equation} h_{(t)}=Acos(\omega t-\phi) \end{equation}


Evaluando derivadas.

\begin{equation} \dot{h_{(t)}}=-A\omega sen(\omega t-\phi) \end{equation}

\begin{equation} \ddot{h}_{(t)}=-A\omega^{2}cos(\omega t-\phi) \end{equation}


Sustituimos en la ecuación diferencial.

\begin{equation} -A\omega^{2}cos(\omega t-\phi)-2A\beta\omega sen(\omega t-\phi)+A\omega_{0}^{2}cos(\omega t-\phi)=-H\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}


Y reagrupamos términos.

\begin{equation} A(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})cos(\omega t-\phi)-2A\beta\omega sen(\omega t-\phi)]=-H\omega^{2}cos(\omega t) \end{equation}


De aquí se procederá, partiendo del producto interno entre dos funciones, se puede demostrar que: \begin{equation} \int_{0}^{T}cos(\omega t-\phi)sen(\omega t-\phi)=0 \end{equation}


De esto se puede concluir que ambas funciones son ortogonales, y de allí que forman un triangulo rectángulo donde la magnitud de sus catetos es el coeficiente de cada función. Ahora, la fuerza al no poseer el mismo argumento se dice oblicua a las anteriores, y de allí que su argumento corresponda a la hipotenusa, por lo tanto se puede armar por teorema de pitágoras.

\begin{equation} H^{2}\omega^{4}=A^{2}[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}] \end{equation}


Lo cual tras algunas manipulaciones algebraicas.


\begin{equation} \frac{A^{2}}{H^{2}}=\frac{\omega^{4}}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]} \end{equation}


Por la definición de

\begin{equation} R_{(\omega)}\equiv\frac{4\beta^{2}\omega^{2}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}}} \end{equation}


Multiplicamos la original por el termino del numerador, tomando en cuenta las condiciones de amortiguamiento critico.

\begin{equation} \frac{A^{2}}{H^{2}}=\frac{\omega^{4}}{[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\beta^{2}\omega^{2}]}\frac{4\omega_{0}^{2}\omega^{2}}{4\omega_{0}^{2}\omega^{2}} \end{equation}

Al simplificar y reducir obtenemos.

\begin{equation} \frac{A}{H}=\frac{\omega}{2\omega_{0}}[R_{(\omega)}]^{\frac{1}{2}} \end{equation}


De aquí que la máxima resonancia es cuando ambas frecuencias angulares son iguales, y entonces la amplitud es igual a un medio de la amplitud con que la tierra oscila. Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 12:35 21 feb 2014 (UTC) --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 21:55 29 jun 2013 (CDT) Se agregaron los símbolos para que apareciera una ecuación con el formato adecuado. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 22:37 5 jul 2013 (CDT)


5.19Una masa de 4 kg alarga 1cm un resorte, la masa se libera desde el reposo inicialmente desde ese punto que esta por arriba de la posicion de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a un cuarto de la velocidad instantanea; encuentre la ecuacion de movimiento si se aplica una una fuerza externa igual a la velocidad instantanea.


Datos


m= 2 kg

k=2


concdiciones iniciales


y






sustituimons terminos




la solucion a esta ecuacion diferencial es



--David Alberto Rojas Solis (discusión) 09:08 6 jul 2013 (CDT)


--mfg-wiki (discusión) 12:01 9 may 2013 (CDT)