Diferencia entre revisiones de «Vibra: probs c5»

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D=\frac{A}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta}\qquad(1)
D=\frac{A}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta}\qquad(1)
\]
\]
\textbackslash{}; y la relación para $\cos\delta$ y $\sin\delta$
 
se obtiene del segunto término  
y la relación para $\cos\delta$ y $\sin\delta$
se obtiene del segundo término  


\[
\[
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$\frac{dD}{d\omega}=-\frac{1}{2}\frac{A[-4\omega_{R}(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})+8\omega_{R}\beta^{2}]}{[(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})^{2}+4\omega_{R}^{2}\beta^{2}]^{3/2}}=0\quad\Rightarrow8\omega\beta^{2}=4\omega(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})\;\Rightarrow2\beta^{2}=\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2}$
:$\frac{dD}{d\omega}=-\frac{1}{2}\frac{A[-4\omega_{R}(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})+8\omega_{R}\beta^{2}]}{[(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})^{2}+4\omega_{R}^{2}\beta^{2}]^{3/2}}=0\quad\Rightarrow8\omega\beta^{2}=4\omega(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})\;\Rightarrow2\beta^{2}=\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2}$


y por la tanto así queda demostrado  
y por la tanto así queda demostrado  

Revisión del 19:50 16 feb 2014

Main cap.5

5.1


5.2

A system with , and is driven by a harmonically varying force of amplitude 3.6N. Find the amplitude A and the phase constant of the steady-state motion when the angular frecuency is

Solución:

a)

La relación correspondiente entre la amplitud de la fuerza y la amplitud del desplazammiento es

o sea que

sustituyendo valores para encontrar la amplitud:

la constate de fase esta dada por:

sustituyendo valores:

pasando el resultado a grados

el mismo procedimiento se utiliza para calcular el resto de los incisos.

--MISS (discusión) 01:12 21 may 2013 (CDT)


5.3 Show that the displacement amplitud A is a maxium at the driving frequency given by $\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}$

$\;$ Muestra que la amplitud del desplazamiento A es máxima cuando la frecuencia está dada por $\omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2}$ .


Partimos de la ecuación de movimiento para un movimiento forzado y amortiguado

\[ \ddot{\psi}+\gamma\psi+\omega_{0}^{2}\psi=A\cos\omega t\qquad;\; A=\frac{F_{0}}{m} \]


teniendo como solución la combinación lineal de su solución homogénea y su solución particular

\[ \psi_{h}(t)=e^{-\beta t}[A_{1}e^{\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}+A_{2}e^{-\sqrt{\beta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}]\quad;\;\beta=\frac{\gamma}{2} \]


\[ \psi_{p}(t)=D\cos(\omega t+\phi) \]


por sustitución en la ecuación de movimiento y desarrollando $\cos(\omega t-\delta)$ y $\sin(\omega t-\delta)$ obtenemos:

\[ \{A-D[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta]\}\cos\omega t-\{D[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\sin\delta-2\omega\beta\cos\delta]\}\sin\omega t=0 \]


del primer término se obtiene la relación para la amplitud dada por

\[ D=\frac{A}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cos\delta+2\omega\beta\sin\delta}\qquad(1) \]

y la relación para $\cos\delta$ y $\sin\delta$ se obtiene del segundo término

\[ \tan\delta=\frac{2\omega\beta}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \]


\[ \sin\delta=\frac{2\omega\beta}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\gamma^{2}}} \] \[ \cos\delta=\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\beta^{2}}} \] y así, sustituyendo estas dos últimas expresiones en (1) obtenemos

\[ D=\frac{A}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega^{2}\beta^{2}}} \]


Para hallar la pulsación $\omega_{R}$ para la cual la amplitud D es máxima efectuamos la derivación

\[ \frac{dD}{d\omega}|_{\omega=\omega_{R}}=0 \]


$\frac{dD}{d\omega}=-\frac{1}{2}\frac{A[-4\omega_{R}(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})+8\omega_{R}\beta^{2}]}{[(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})^{2}+4\omega_{R}^{2}\beta^{2}]^{3/2}}=0\quad\Rightarrow8\omega\beta^{2}=4\omega(\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2})\;\Rightarrow2\beta^{2}=\omega_{0}^{2}-\omega_{R}^{2}$

y por la tanto así queda demostrado

\[ \omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-2\beta^{2}\quad;\;\beta=\frac{\gamma}{2} \]


\[ \omega_{R}^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{1}{2}\gamma^{2} \]

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 17:33 15 feb 2014 (UTC)


5.4

Show that the acceleration amplitude $\omega^{2}A$ is a maximum at the driving frequency given by

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}/(1-\gamma^{2}/2\omega_{0}^{2})\simeq\omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}\gamma^{2}$

where the approximation is good when the damping is very light.

Solución:

Primero nombremos $\omega^{2}=z$ y $\omega_{0}^{2}=x$ por facilidad de escritura, entonces tenemos que la amplitud de acceleración es $zA$, y esto es igual a $\frac{F_{0}\omega}{B}\left[\frac{\gamma^{2}\omega^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+\gamma^{2}\omega^{2}}\right]^{1/2}$ o $\frac{F_{0}}{B}\left[\frac{\gamma^{2}z^{2}}{(x-z)+\gamma^{2}z}\right]^{1/2}$ simplemente haciendo las sustituciones propuestas.

Por lo que $zA=\frac{F_{0}}{B}\left[\frac{\gamma^{2}z^{2}}{(x-z)+\gamma^{2}z}\right]^{1/2}$ , al derivar esto con respecto a z e igualarlo a cero para hacerlo un máximo, vemos que el factor $\frac{F_{0}}{B}$ y la parte inferior de la derivada del cociente desaparecen al igual que el cociente de la raíz, por lo que

sólo nos va a interesar la parte superior de la derivada, y lo escribimos.

$\left[(x-z)^{2}+\gamma^{2}z\right](2\gamma^{2}z)-\gamma^{2}z^{2}\left[-2(x-z)+\gamma^{2}\right]=0$

Haciendo algunas simplificaciones algebraicas sencillas

$2(x^{2}-2xz+z^{2})+\gamma^{2}z=-2z(x-z)$

Por lo que

$-2xz+\gamma^{2}z+2x^{2}=0$

$z(-2x+\gamma^{2})=-2x^{2}$

$z=\frac{-2x^{2}}{-2x+\gamma2}$

$z=\frac{x}{1-\frac{\gamma^{2}}{2x}}$

O resustituyendo

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}/(1-\gamma^{2}/2\omega_{0}^{2})\simeq\omega_{0}^{2}+\frac{1}{2}\gamma^{2}$

Nota: Tomar en cuenta que la parte de las simplificaciones fue omitida puesto que es pura álgebra y el lector la puede hacer fácilmente.

Edgar Ortega Roano 09:58 12 feb 2014 (CDT)


5.8 En la figura se muestra la absorción de potencia media en watts, como una función de la potencia de la frecuencia de conducción en la región de resonancia. Encontrar los valores numéricos de (a) , (b) , y (c) Q. Si la fuerza de conducción es removida, después de cuantos ciclos siguientes la energía del sistema es de su valor inicial.

a)observando la gráfica notamos que la frecuencia es de 96Hz así que:

b)De la misma manera se observa rápidamente en la gráfica que

c) Usando la definición de los valores Q

d) De las ecuaciones 3.12 y 3.13 se concluye que la energía decae por un factor al tiempo , es decir


El período está dado por ,


así con una regla de tres calculamos los ciclos



--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 01:20 3 jul 2013 (CDT)



5.16 For the motion

find (a) the frequency, and (b) the time interval separating successive beats.

Para el inciso (a) sabiendo que...


con






Para el inciso (b)

con




--Leticia González Zamora (discusión) 21:11 3 jun 2013 (CDT)


5.18 A simple sismometer consists of a mass hung on a spring attached to a rigid framework, wich is fixed to the ground, with a critical damping. The vertical displacement of the mass relative to the framework is recorded.

a) Show that the measured amplitude A of the steady-state vibration resulting from a vertical displacement of the earth´s surface is given by


b) show that, if the frecuencies of the detected disturbances lie in the region of mass controlled motion, the mass remains almost stationary when the ground moves.

El movimiento del sismometro puede verse como un osclador forzado, donde el movimineto terrestre es la fuerza externa oscilante, llamaremos:


Encontramos que el cambio de momento:




donde:


Entonces por segunda ley de newton y tomando en cuenta que el movmiento es unidimensional.




Ahora bien para la descripcion del movimiento del sismografo, tenemos la repasada ecuacion diferencial.


La cual para somplificar dividimos entre la masa.


Sin embargo la solucion homogenea es como dice en el problema amortiguamiento critico por tanto nos quedaremos con una solucion de la forma:


Evaluando derivadas.



Sustituimos en la ecuacion diferencial.


Y reagrupamos terminos.


De aqui se procedera, pariendo del producto interno entre dos funciones, se puede demotrar que:


De esto se puede concluir que ambas funciones son ortogonales, y de ahi que forman un triangulo rectangulo donde la magnitud de sus catetos es el coeficiente de cada funcion. Ahora, la fuerza al no poseer el mismo argumento se dice oblicua a las anteriores, y de ahi que su argumento corresponda a la hipotenusa, por lo tanto se puede armar por pitagoras.


Lo cual tras algunas manipulaciones algebraicas.



Por la definicion de


Multiplicamos la original por el termino del numerador, tomando en cuenta las condiciones de amortiguamiento critico.


Y al simplificar y reducir obtenemos.


De aqui que la maxima resonacia es cuando ambas frecuencias angulares son iguales, y entonces la amplitud es igual a un medio de la amplitud con que la tierra oscila. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 21:55 29 jun 2013 (CDT) Se agregaron los símbolos para que apareciera una ecuación con el formato adecuado. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 22:37 5 jul 2013 (CDT)


5.19Una masa de 4 kg alarga 1cm un resorte, la masa se libera desde el reposo inicialmente desde ese punto que esta por arriba de la posicion de equilibrio y el movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a un cuarto de la velocidad instantanea; encuentre la ecuacion de movimiento si se aplica una una fuerza externa igual a la velocidad instantanea.


Datos


m= 2 kg

k=2


concdiciones iniciales


y






sustituimons terminos




la solucion a esta ecuacion diferencial es



--David Alberto Rojas Solis (discusión) 09:08 6 jul 2013 (CDT)


--mfg-wiki (discusión) 12:01 9 may 2013 (CDT)