Vibra: probs c4

De luz-wiki

Main cap.4


Problema 4.1

4.1 Show that the relaxation time for very heavily damped LCR circuit is RC.

4.1 Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.

Conocemos la ecuación para el oscilador ligeramente amortiguado (ecuación 3.3 G. Main, Vibrations and waves in physics):

También sabemos que \begin{equation}\gamma=\frac{b}{m}\end{equation}

\begin{equation}\omega_{0}^{2}=\frac{s}{m}\end{equation}


Por regla de Kirchhoff(ecuación 4.1, G. Main) para un circuito LCR podemos escribir la siguiente ecuación:


Al multiplicar por obtenmos lo siguiente


\begin{equation}\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\frac{1}{LC}\psi=0... (3)\end{equation}

Al comparar Las ecuaciones 1 y 3 ,notamos que son ecuaciones análogas:

\begin{equation}\gamma=\frac{R}{L}\end{equation}


\begin{equation}\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}\end{equation}


Por lo tanto, el “relaxation time” esta dado por:


Finalmete obtenemos \begin{equation}\tau_{r}=RC\end{equation}

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 00:24 17 feb 2014 (UTC)



4.1Show that the relaxation time for very heavy damped LCR circuit is RC

Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.

(otra forma de resolver)

Tomando como base las expresiones de los apuntes,para un circuito RCL muy pesadamente amortiguado en el cual La amplitud del movimiento se reduce a:

El tiempo de reljación para este tipo de circuitos es aquel en el que el factor de decaimiento se reduce por un factor de por lo tanto,igualamos el factor de decaimiento exponencial de la expresión a tenemos:


sacando logaritmo natural a ambos lados de la expresión



Despejando el tiempo de para el cual se cumple esta relación tenemos:

Pero:

Y


Sustituyendo en


Por lo tanto el tiempo de relajamiento para un circuito RLC pesadamente amortiguado es



--MISS (discusión) 00:22 20 jun 2013 (CDT)


--Pablo (discusión) 01:36 28 feb 2015 (CST)

Problema 4.2

4.2 A capacitor is charged to a voltage V and is then connected across a coil. If the damping is critical, show that the current rises to a maximun value 2V/eR, where R is the total resistance of the circuit made by the capacitor ant the coil.

Un condensador se carga a una tensión V y es conectado a través de una bobina. Si el amortiguamiento es crítico, mostrar que la corriente aumenta a un valor máximo de 2V / eR, donde R es la resistencia total del circuito realizado por el condensador de la bobina.


De las Ecuaciones (4.1) y (3.3)

Solución para amortiguamiento crítico


Condiciones iniciales

Entonces, tenemos ahora:







Entonces

Así que

Así,



Con



Si entonces:



Así que:



Luego,



Con,





Puesto que la resistencia crítica de amortiguamiento es:




Así entonces,

Mario Moranchel (discusión) 02:47 6 feb 2014 (UTC)

--mfg-wiki (discusión) 12:00 9 may 2013 (CDT) --Pablo (discusión) 01:56 28 feb 2015 (CST) --A. Martín R. Rabelo (discusión) 01:30 1 mar 2015 (CST)


Problema 4.3

A galvanometer with a coil of resistance $R{}_{G}$ is connected in series with an external resistance $R{}_{ext}$ . Show that by varying $R{}_{ext}$ we can select values of Q within the limits

$\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$

where $Q_{m}$ is that part of Q due to the mechanical effects and G is the constant defined as $G=\frac{\omega I}{g}$.

[Traducción ]

Un galvanómetro con una bobina de resistencia $R{}_{G}$ está conectada en serie con una resistencia externa $R{}_{ext}$. Demostrar que variando $R{}_{ext}$ podremos seleccionar valores de Q dentro de los límites

$\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$

Donde $Q_{m}$ es la parte de Q debido a los efectos mecánicos y G es la constante definida como $G=\frac{\omega I}{g}$.

Solución:

Primero tomemos en cuenta algo, sabemos que $Q=\frac{\omega}{\gamma}$ , donde $\gamma$ es el ancho del amortiguamiento. Si en este caso tenemos dos amortiguamientos, el mecánico $(\gamma_{m})$ y el eléctrico $(\gamma_{e})$, entonces el ancho total $(\gamma)$ es la suma de ambos.

$\gamma=\gamma_{m}+\gamma_{e}$. Entonces despejando $\gamma$ de la ecuación superior, obtenemos $\gamma=\frac{\omega}{Q}$, pero como $\gamma$ es la suma de la parte mecánica y la parte eléctrica entonces tenemos que $\gamma=\frac{\omega}{Q_{m}}+\frac{\omega}{Q_{e}}$ y asi $\frac{\omega}{Q}=\frac{\omega}{Q_{m}}+\frac{\omega}{Q_{e}}$, donde Q son los llamados factores de calidad tanto mecánico, eléctrico y el total; como vemos la frecuencia angular $\omega$es la misma para todo el sistema, por lo que obtenemos $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}+\frac{1}{Q_{e}}$, aqui hay que hacer las dos distinciones que nos pide el problema:


Sabemos que $Q_{e}=GR_{G}+GR_{ext}$, si $R_{ext}$ es muy grande entonces $\frac{1}{Q_{e}}$ tiende a cero con lo que se reduciría a $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}$ o mejor visto $Q=Q_{m}$ que es la parte derecha de la desigualdad que queremos probar.


El otro caso es que $R_{ext}$ sea demasiado chiquito, casi cero, entonces no nos interesaría su contribución, entonces se reduce simplemente a $Q_{e}=GR_{G}$, con lo que $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}+\frac{1}{GR_{G}}$, y así $Q=\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}$ que es la parte izquierda de la desigualdad que queremos comprobar.


Entonces los valores de Q quedan dados entre $\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$al variar $R{}_{ext}$.


Edgar Ortega Roano 09:58 12 feb 2014 (CDT) Cesar Ivan Avila Vasquez 16:51 25 Febrero 2014

--Pablo (discusión) 01:34 28 feb 2015 (CST)


Problema 4.4

4.4 Asteady torque of $2.0x10^{-6}Nm,$ applied to the susppention of a ballistic galvanometer (by passing a suitable steady current), produces a steady delfection of 50º. Free vibratios of the suspension have a period og 2.5 s. Calculate the thow porducced by an angular impulse of $5.5x10^{-7}$Nm (applied by discharging a capacitor throw the coil).Neglect damping Una torca fija de $2.0x10^{-1}Nm$ es aplicada a la suspensión de un galvanómetro balistico (al pasar una corriente estable), produce una desvación fija de 50º. Vibraciones libres de la suspensión, tienen un periodo 2.5 . Calcule el tiro porducido por un impulso angular de $5.5x10^{-7}Nm$ (que se aplica al descargar un capacitor), desprecie el amortiguamiento.

Se tienen los siguientes datos:

$\Delta t=2.5$s y $T=2.0x10^{-7}$ $Imp=5.5x10^{-7}$Nms

Y se conoce la siguiente relación:

\[ Imp=\frac{\Delta L}{\Delta t} \]


De donde se despeja $\Delta L$, que es el tiro; y se obritene:

\[ \Delta L=Imp\Delta t \]


Al sustituir los datos, se obtiene como resultado:

$\Delta L=1.3x10^{-6}Ns^{2}$

Ana Alarid (discusión) 03:05 22 feb 2014 (UTC)


Problema 4.5

4.5 Una masa 0.1kg es pegada a un resorte. Es jalado 200mm a la derecha de su posición cuando el resorte no esta ni estirado ni comprimido y entonces es liberado del reposo. Las vibraciones libres resultantes, que están amortiguadas por fricción tienen una frecuencia de 2.0Hz. Se observa que cada oscilación hacia la derecha la masa toma un punto 30mm hacia la izquierda de su límite previo. La masa finalmente llega al reposo a 235mm hacia la izquierda del punto del cual fue liberado. (a) Calcule la fuerza de fricción de deslizamiento.(b) Calcular los límites superior e inferior para la fuerza de pegado.

La ecuación de movimiento del sistema es:

\[ m\ddot{\psi}+k\psi=F_{sl}...(1) \]


Dividiendo entre la masa resulta:

\[ \ddot{\psi}+w_{0}^{2}\psi=\frac{F_{sl}}{m}...(2) \]


la primera oscilación se detiene cuando $|\psi|=A_{0}-4\frac{F_{sl}}{s}$

$\;$

además sabemos que $4\frac{F_{sl}}{s}=30mm$, por otro lado $s=mw_{0}^{2}=m(2\pi f)^{2}$

$\;$

Entonces

\[ F_{sl}=\frac{30}{4}m(2\pi f)^{2}\quad...(3) con\; m=0.1kg\; y\; f=2Hz \]


\[ F_{sl}=0.12N \]


(b) Sabemos que la fuerza de pegado es igual a

\[ F_{p}=s|\psi|...(1) \]


y además la última oscilación esta entre 50mm y 35mm, por lo que la fuerza máxima es:

\[ F_{max}=(15.79)(50x10^{-3}) \]


\[ F_{max}=0.789N \] Lo que resulta

\[ F_{min}=(15.79)(35x10^{-3}) \]


\[ F_{min}=0.552N \]

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 19:17 8 feb 2014 (UTC)


--Esther Sarai (discusión) 18:50 28 feb 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez

Problema 4.6

4.6Expresar el desplazamiento x(t) y la velocidad x'(t) del oscilador armónico sobre amortiguado utilizando funciones hiperbólicas


Para el caso sobre amortiguado x(t) y x'(t) se expresa




donde:



Las funciones hiperbólicas están definidas como:

,




sustituyendo en las ecuaciones:



y



--David Alberto Rojas Solis (discusión) 06:17 6 jul 2013 (CDT)

--sandy (discusión) 21:31 6 jul 2013 (CDT)--sandy (discusión) 21:31 6 jul 2013 (CDT)









4.6 In fig. 4.6 values of the energy W at successive maxima of $|\psi(t)|$ are plotted againt the time t, for the friction-damped vibration of fig 4.3. Show that the smooth curve throught the points is a parabola (not the exponential curve obtained with standard damping)

En la figura 4.4 los valores de la energía W en los máximos sucesivos de $|\psi(t)|$ están graficados contra el tiempo t, para la vibración amortiguada por fricción de la figura 4.3. Muetre que la curva que pasa a través de los puntos es una parábola (no la curva exponencial del amortiguamiento simple)

Imagen asociada al problema 4.6

Este problema se puede resolver con el hecho de que la energía de un sistema amortiguado depende de lo siguiente:

\[ \frac{dW}{dt}=-b\psi^{2}\leq0 \]


ya que la función es un valor absoluto, tenemos que la curva pasa por cada punto de la gráfica, es decir: $-b|\psi|^{2}=-b\psi^{2}$para $\psi^{2}\geq0$, y $-b(-\psi)^{2}$ para $\psi^{2}<0$, entonces la curva que pasa a través de $|\psi(t)|$ es la curva de decaimiento de energía.

Nota: Este problema pertenece al Libro de Iain G. Main

--Cesar Ivan Avila Vasquez 16:41 21 Febrero 2014 (CDT) --Pablo (discusión) 01:41 28 feb 2015 (CST)


Problema 4.7

4.7 Del siguiente sistema mecánico, hallar la ecuación característica donde: $k=1250 [\frac{N}{m}]$, $D=2000 [\frac{N-s}{m}]$, m=10[Kg], F(t)=1[N].

Sismec.png


Se suman las fuerzas del resorte, del amortiguador y la fuerza de inercia y se iguala con la fuerza de excitación:

\begin{equation} m\frac{d^2x}{dt^2}+D\frac{dx}{dt}+kx=F ....(1) \end{equation}

Sustituyendo valores

\begin{equation} (10)\frac{d^2x}{dt^2}+(2000)\frac{dx}{dt}+(1250)x=1 ....(2) \end{equation}

Utilizando la ecuación general de una ecuación diferencial de segundo orden \begin{equation} T^2\frac{d^2x}{dt^2}+2\epsilon T\frac{dx}{dt}+x= K ....(3) \end{equation}

La ecuación (2) la reescribiremos de la forma que posee la ecuación (3), dividiremos la ec. (2) por 1250 para que esté equilibrada: \begin{equation} (\frac{10}{1250})\frac{d^2x}{dt^2}+(\frac{2000}{1250})\frac{dx}{dt}+(\frac{1250}{1250})x=\frac{1}{1250} \end{equation}

\begin{equation} (8*10^{-3})\frac{d^2x}{dt^2}+(1.6)\frac{dx}{dt}+x=8*10^{-4} ....(4) \end{equation}

Ahora que la ec. (3) y (4) son de la misma forma, nos dispondremos a encontrar los elementos de (3) para observar el comportamiento del sistema.

\begin{equation} T^2=8*10^{-3} \end{equation}

Tiempo de respuesta del sistema

\begin{equation} T=0.089 \end{equation}

\begin{equation} (2)(\epsilon)(T)=1.6 \end{equation}

Despejando epsilon

\begin{equation} \epsilon=8.988; \epsilon > 1 \end{equation}

Observamos se trata de un caso sobre amortiguado, entonces calculamos sus polos:

\begin{equation} P_{{1},{2}}=\frac{-\epsilon\pm\sqrt{(\epsilon)^2-1}}{T} \end{equation}

\begin{equation} P_{{1},{2}}=\frac{-8.988\pm\sqrt{(8.988)^2-1}}{0.089} \end{equation}

Entonces:

\begin{equation} P_{1}=-0.627 \end{equation}

\begin{equation} P_{2}=-199.4 \end{equation}

Como es un caso sobre amortiguado conlleva a:

\begin{equation} X(t)=\frac{KP_{2}}{P_{1}-P_{2}}*\exp^{P_{1}t}+\frac{KP_{1}}{P_{2}-P_{1}}*\exp^{P_{2}t}+K \end{equation}

Sustituimos valores

\begin{equation} X(t)=\frac{(8*10^{-4})(-199.4)}{(-0.627)-(-199.4)}*\exp^{(-0.627)t}+\frac{(8*10^{-4})(-0.627)}{(-199.4)-(-0.627)}*\exp^{(-199.4)t}+8*10^{-4} \end{equation}

Por lo tanto, el comportamiento del sistema mecánico queda denotado por la siguiente expresión de segundo orden:

\begin{equation} X(t)=-(8*10^{-4})*\exp^{(-0.627)t}(+2.52*10^{-6})*\exp^{(-199.4)t}+(8*10^{-4}) \end{equation}

Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 11:05 21 feb 2014 (UTC)

--Pablo (discusión) 01:20 28 feb 2015 (CST)

problema 4.8 serwey

El sistema de la figura tiene una masa y una constante de fuerza de la fuerza resistiva esta dada por donde suponiendo que se empuja el bloque a un lado a una distancia y se suelta

a) calcule el intervalo temporal necesario para que la amplitud pierda un tercio de su valor inicial

solución:
tenemos que la energía esta dada por

tenemos las condiciones iniciales en es

igualando las dos condiciones con y a un tiempo obtenemos lo siguiente:

b) ¿cuántas oscilaciones realizó el bloque en este tiempo? para saber n oscilaciones tenemos la siguiente función

despejando tenemos

donde

--Jose de jesus (discusión) 21:06 27 feb 2015 (CST)jose de Jesus Arizpe Flores 27/02/2015 --Pablo (discusión) 01:49 28 feb 2015 (CST)



Problema 4.9 Circuito RLC

¿Qué resistencia R se requiere(en términos de L y C) para impartir a un circuito LRC una frecuencia equivalente a la mitad de la frecuencia no amortiguada?

Solución:

Considerando la ecuación diferencial de un circuito LRC, por regla de Kirchhoff:

De la ecuación (1) divimos entre L y obtenemos que:

\begin{equation}\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\frac{1}{LC}\psi=0... (2)\end{equation}

Observamos la ecuación (2) se comporta en forma de una oscilación amortiguada Ondas: Atenuacion suave:

Resolviendo la ecuación diferencial (3) para oscilaciones amortiguadas, obtenemos que la una solución es:

\[\psi(t)=Ae^{-\gamma t/2}cos(\omega_{t}t+\psi)\]

Donde

\[\omega_{t}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-(\frac{\gamma}{2})^{2}} ...(4)\]

Por lo tanto usando la ecuación (4) obtenemos que la frecuencia angular en un circuito LRC, está dada por:


Usaremos la ecuación (5) para resolver el problema. Como el problema plantea que tiene que ser la mitad de . Donde

Por lo tanto obtenemos que sustituyendo los valores de las :

Desarrollando la ecuación (6), primero elevando al cuadrado los dos lados de la ecuación (6):

Si igualamos a cero:

Desarrollamos:

 :

por lo tanto R en términos de L y C es igual a:

--Pablo (discusión) 23:58 28 feb 2015 (CST)

PROBLEMA 1.50 Engineering vibration,3rd edition by Daniel J.Inman

Resorte amortiguador del siguiente sistema mecánico hallar la ecuación característica donde : K= cte del resorte = 1250[N/m],D= cte del amortiguador =2000[Ns/m],M=masa= 10[kg],F(t)= 1N primero se hace la suma de las 3 fuerzas y se igualan con la fuerza de excitación, empezando con la fuerza de inercia \[M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+D\frac{dx}{dt}+Kx=F\]

Sustituyendo valores $$10 \frac{d^2x}{dt^2}+2000 \frac{dx}{dt}+1250x=1. $$ Se pasa esta ecuac\'on a una forma general para una ecuación diferencial de segundo orden $$T^ 2 \frac{d^2x}{dt^2}+2 \gamma T \frac{dx}{dt}+x=K$$ se divide cada t\'ermino de la ecuación entre 1250 para que este equilibrada $$\frac{1}{125}\frac{d ^2x}{dt^2} + \frac{200}{125} \frac{dx}{dt} + \frac{125}{125}x = \frac{1}{1250}$$ Obteniendo: $$8 \times 10^{-3}\frac{d^2x}{dt^2} + 1.6 \frac{dx}{dt}+ x= 8 \times 10^{-4}$$ Teniendo la ecuaci\'on anterior podemos encontrar los elementos para analizar el comportamineto del sistema. Lo que se hace es calcular $T$.\\

Ya que $T^2=8 \times 10^{-3}$, entonces $T=\sqrt{8 \times 10^{-3}}$, as\'i $T=0.089$. Donde $T$ es el tiempo de respaldo del sistema. \\

Teniendo que $$ 2 \gamma T = 1.6$$ Encontramos que $\gamma = 8.988 $. Se observa que $\gamma >1$, se trata de un caso sobreamortiguado.\\

Calculamos ahora ahora los polos del sistema:

$$P_{1,2} = \frac{- \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 -1}}{ T }$$

Por lo que $P_1 = -0.627$ y $P_2= -199.4$

Prosigue calcular el sistema. Como nos da un caso sobreamortiguado tenemos que $$ X(t) = \frac{kP_2}{P_1 - P_2} e^{P_1t} + \frac{kP_1}{P_2-P_1}e^{P_2t} + k $$

Ahora sustituyendo los valores:

$$x(t) = \frac{(8 \times 10^{-4})(-199.9) }{(-0.627)-(199)} e^{-0.627t} + \frac{(8 \times 10^{-4})(-0.06279}{199.9 - (-0.627)}e^{-199.9t} + 8 \times 10^{-4}$$


$$x(t)= -8 \times 10^{-4} e^{-0.627t } + (2.52 \times10^{-6}) e^{-0.199.4t}+ (8 \times 10^{-4})$$

la ecuación anterior es la respuesta al sistema de segundo orden

--Luisa Alejandra Vega Sanchez (discusión) 10:01 1 mar 2015 (CST)luisa alejandra vega sanchez


Problema 4.7 Waves. C.A. Coulson -A. Jeffrey . Ed Longman

En un circuito RLC, que una inductacia de 1 [H], una resistencia de 40 [$\Omega$] y un capacitor de $\frac{1}{4E^{4}}$ [F], se aplica un volteje de V = 24 V. Determine el comportamiento de la carga y la intensidad de corriente en el circuito.

La ecuación que describe el comportamiento del circuito:

$$L \frac{ d^{2}Q}{dt^{2}} + R \frac{dQ}{dt} + \frac{1}{C} Q = E(t) ...(1)$$

Derivando la ecuación (1) resulta:

$$ L \frac{d^{2}I}{dt^{2}} + R\frac{dI}{dt}+\frac{1}{C}I(t)=\frac{dE(t)}{dt}...(2)$$

Sustituir los datos en las ecuaciones (1) y (2) respectivamente.

$$\frac{ d^{2}Q}{dt^{2}} + 40 \frac{dQ}{dt} + 4E^{4} Q(t) = \frac{1}{2}$$

$$ \frac{d^{2}I}{dt^{2}} + 40\frac{dI}{dt}+ 4E^{4}I(t) = 0 $$

Considerando la condiciones iniciales $Q(0) = 10^{-4}$ y $I=10^{-2}$ tenemos como solución.

$$Q(t) = \frac{1}{8E^{3}}e^{-20t}[\frac{47\sqrt{11}}{2.64E^{4}}\sin(\sqrt{1160t} + \frac{7}{8E^{3}}\cos(\sqrt{1160 t})]$$

$$I(t) = \frac{dQ}{dt}= e^{-20t}[\frac{1}{100}\cos(\sqrt{1160 t})-\frac{37\sqrt{11}}{6.6E^{3}}\sin(\sqrt{1160 t})] $$

--Esther Sarai (discusión) 16:31 1 mar 2015 (CST)Esther Sarai García Gonzalez