Diferencia entre revisiones de «Vibra: probs c4»

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4.7 '''Del siguiente sistema mecánico, hallar la ecuación característica donde: $k=1250 [\frac{N}{m}]$, $D=2000 [\frac{N-s}{m}], $m=10[Kg]$,$F(t)=1 [N]$'''
4.7 '''Del siguiente sistema mecánico, hallar la ecuación característica donde: $k=1250 [\frac{N}{m}]$, $D=2000 [\frac{N-s}{m}], $m=10[Kg]$, $F(t)=1 [N]$ '''


[[Archivo:sistemamec.png]]
[[Archivo:sistemamec.png]]
Se suman las fuerzas del resorte, del amortiguador y la fuerza de inercia y se iguala con la fuerza de excitación:
\begin{equation}
m\frac{d^2x}{dt^2}+D\frac{dx}{dt}+kx=F ....(1)
\end{equation}
Sustituyendo valores
\begin{equation}
(10)\frac{d^2x}{dt^2}+(2000)\frac{dx}{dt}+(1250)x=1 ....(2)
\end{equation}
Utilizando la ecuación general de una ecuación diferencial de segundo orden
\begin{equation}
T^2\frac{d^2x}{dt^2}+2\epsilon T\frac{dx}{dt}+x= K ....(3)
\end{equation}
La ecuación (2) la reescribiremos de la forma que posee la ecuación (3), dividiremos la ec. (2) por 1250 para que esté equilibrada:
\begin{equation}
(\frac{10}{1250})\frac{d^2x}{dt^2}+(\frac{2000}{1250})\frac{dx}{dt}+(\frac{1250}{1250})x=\frac{1}{1250}
\end{equation}
\begin{equation}
(8*10^{-3})\frac{d^2x}{dt^2}+(1.6)\frac{dx}{dt}+x=8*10^{-4} ....(4)
\end{equation}
Ahora que la ec. (3) y (4) son de la misma forma, nos dispondremos a encontrar los elementos de (3) para observar el comportamiento del sistema.
\begin{equation}
T^2=8*10^{-3}
\end{equation}
\begin{equation}
T=(8*10^{-3})^{\frac{1}{2}}
\end{equation}
Tiempo de respuesta del sistema
\begin{equation}
T=0.089
\end{equation}
\begin{equation}
2\epsilon(T)=1.6
\end{equation}
Despejando $\epsilon$
\begin{equation}
\epsilon=\frac{1.6}{(2)(0.089)}
\end{equation}
\begin{equation}
\epsilon=8.988
\end{equation}
Observamos que $\epsilon$ > 1, por lo tanto se trata de un caso sobreamortiguado, entonces calculamos sus polos:
\begin{equation}
P_{{1},{2}}=\frac{-\epsilon\pm\sqrt{(\epsilon)^2-1}}{T}
\end{equation}

Revisión del 05:21 21 feb 2014

Main cap.4

4.1 Show that the relaxation time for very heavily damped LCR circuit is RC.

4.1Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.

Conocemos la ecuación para el oscilador ligeramente amortiguado (ecuación 3.3 G. Main, Vibrations and waves in physics):

También sabemos que \begin{equation}\gamma=\frac{b}{m}\end{equation}

\begin{equation}\omega_{0}^{2}=\frac{s}{m}\end{equation}


Por regla de Kirchhoff(ecuación 4.1, G. Main) para un circuito LCR podemos escribir la siguiente ecuación:


Al multiplicar por obtenmos lo siguiente

\begin{equation}\frac{d^{2}\psi}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\left(\frac{d\psi}{dt}\right)+\frac{1}{LC}\psi=0... (3)\end{equation}

Al comparar Las ecuaciones 1 y 3 ,notamos que son ecuaciones análogas:

\begin{equation}\gamma=\frac{R}{L}\end{equation}


\begin{equation}\omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}\end{equation}


Por lo tanto, el “relaxation time” esta dado por:


Finalmete obtenemos \begin{equation}\tau_{r}=RC\end{equation}

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 00:24 17 feb 2014 (UTC)


4.2 A capacitor is charged to a voltage V and is then connected across a coil. If the damping is critical, show that the current rises to a maximun value 2V/eR, where R is the total resistance of the circuit made by the capacitor ant the coil.

De las Ecuaciones (4.1) y (3.3)

Solucion para amortiguamiento critico


Condiciones iniciales

1) Entonces


2)






Entonces

Asi que

Asi



Con



Si Entonces



Asi que



Luego



Con





Puesto que la resistecia critica de amortiguamiento es




Asi entonces

Mario Moranchel (discusión) 02:47 6 feb 2014 (UTC)



--mfg-wiki (discusión) 12:00 9 may 2013 (CDT)


4.1Show that the relaxation time for very heavy damped LCR circuit is RC

Muestre que el tiempo de mitigación para cada circuito LCR severamente amortiguado es RC.

(otra forma de resolver)

Tomando como base las expresiones de los apuntes,para un circuito RCL muy pesadamente amortiguado en el cual La amplitud del movimiento se reduce a:

El tiempo de reljación para este tipo de circuitos es aquel en el que el factor de decaimiento se reduce por un factor de por lo tanto,igualamos el factor de decaimiento exponencial de la expresión a tenemos:


sacando logaritmo natural a ambos lados de la expresión



Despejando el tiempo de para el cual se cumple esta relación tenemos:

Pero:

Y


Sustituyendo en


Por lo tanto el tiempo de relajamiento para un circuito RLC pesadamente amortiguado es



--MISS (discusión) 00:22 20 jun 2013 (CDT)


4.3

A galvanometer with a coil of resistance $R{}_{G}$ is connected in series with an external resistance $R{}_{ext}$ . Show that by varying $R{}_{ext}$ we can select values of Q within the limits

$\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$

where $Q_{m}$is that part of Q due to the mechanical effects and G is the constant defined as $G=\frac{\omega I}{g}$.

Solución:

Primero tomemos en cuenta algo, sabemos que $Q=\frac{\omega}{\gamma}$ , donde $\gamma$ es el ancho del amortiguamiento. Si en este caso tenemos dos amortiguamientos, el mecánico $(\gamma_{m})$ y el eléctrico $(\gamma_{e})$, entonces el ancho total $(\gamma)$ es la suma de ambos.

$\gamma=\gamma_{m}+\gamma_{e}$. Entonces despejando $\gamma$ de la ecuación superior, obtenemos $\gamma=\frac{\omega}{Q}$, pero como $\gamma$ es la suma de la parte mecánica y la parte eléctrica entonces tenemos que $\gamma=\frac{\omega}{Q_{m}}+\frac{\omega}{Q_{e}}$ y asi $\frac{\omega}{Q}=\frac{\omega}{Q_{m}}+\frac{\omega}{Q_{e}}$, donde Q son los llamados

factores de calidad tanto mecánico, eléctrico y el total; como vemos la frecuencia angular $\omega$es la misma para todo el sistema, por lo que obtenemos $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}+\frac{1}{Q_{e}}$, aqui hay que hacer las dos distinciones que nos pide el problema,

sabemos que $Q_{e}=GR_{G}+GR_{ext}$, si $R_{ext}$ es muy grande entonces $\frac{1}{Q_{e}}$ tiende a cero con lo que se reduciría a $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}$ o mejor visto $Q=Q_{m}$ que es la parte derecha de la desigualdad que queremos provar.

El otro caso es que $R_{ext}$ sea demasiado chiquito, casi cero, entonces no nos interesaría su contribución, entonces se reduce simplemente a $Q_{e}=GR_{G}$, con lo que $\frac{1}{Q}=\frac{1}{Q_{m}}+\frac{1}{GR_{G}}$, y así $Q=\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}$ que es la parte izquierda de la

desigualdad que queremos comprobar.

Entonces los valores de Q quedan dados entre $\frac{GR_{G}Q_{m}}{GR_{G}+Q_{m}}\leq Q\leq Q_{m}$al variar $R{}_{ext}$.

Edgar Ortega Roano 09:58 12 feb 2014 (CDT)


4.5 Una masa 0.1kg es pegada a un resorte. Es jalado 200mm a la derecha de su posición cuando el resorte no esta ni estirado ni comprimido y entonces es liberado del reposo. Las vibraciones libres resultantes, que están amortiguadas por fricción tienen una frecuencia de 2.0Hz. Se observa que cada oscilación hacia la derecha la masa toma un punto 30mm hacia la izquierda de su límite previo. La masa finalmente llega al reposo a 235mm hacia la izquierda del punto del cual fue liberado. (a) Calcule la fuerza de fricción de deslizamiento.(b) Calcular los límites superior e inferior para la fuerza de pegado.

$\;$

Tenemos como datos del problema

$m=0.1kg\quad x_{i}=0.2m\quad f=2Hz\quad A_{j}=A_{i}-30\quad x_{f}=x_{i}-235$

y dado el problema la ecuación de movimiento del sistema es:

\[ m\ddot{\psi}+k\psi=F_{sl} \]


o bien

\[ \ddot{\psi}+w_{0}^{2}\psi=\frac{F_{sl}}{m} \]


la primera oscilación se detiene cuando $|\psi|=A_{0}-4\frac{F_{sl}}{s}$

$\;$

además sabemos que $4\frac{F_{sl}}{s}=30mm$, por otro lado $s=mw_{0}^{2}=m(2\pi f)^{2}$

$\;$

Así entonces tenemos la siguiente expresión

\[ F_{sl}=\frac{30}{4}m(2\pi f)^{2}\quad con\; m=0.1kg\; y\; f=2Hz \]


\[ F_{sl}=0.12N \]


(b) Sabemos que la fuerza de pegado es igual a

\[ F_{p}=s|\psi| \]


y además la última oscilación esta entre 50mm y 35mm, por lo que la fuerza máxima es:

\[ F_{max}=(15.79)(50x10^{-3}) \]


\[ F_{max}=0.789N \] Así nos queda para la fuerza mínima

\[ F_{min}=(15.79)(35x10^{-3}) \]


\[ F_{min}=0.552N \]

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 19:17 8 feb 2014 (UTC)


4.6Expresar el desplazamiento x(t) y la velocidad x'(t) del oscilador armónico sobre amortiguado utilizando funciones hiperbólicas


Para el caso sobre amortiguado x(t) y x'(t) se expresa




donde:



las funciones hiperbolicas estan definidas como

,




sustituyendo en las escuacions



y



--David Alberto Rojas Solis (discusión) 06:17 6 jul 2013 (CDT)

--sandy (discusión) 21:31 6 jul 2013 (CDT)--sandy (discusión) 21:31 6 jul 2013 (CDT)








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4.7 Del siguiente sistema mecánico, hallar la ecuación característica donde: $k=1250 [\frac{N}{m}]$, $D=2000 [\frac{N-s}{m}], $m=10[Kg]$, $F(t)=1 [N]$

Archivo:Sistemamec.png

Se suman las fuerzas del resorte, del amortiguador y la fuerza de inercia y se iguala con la fuerza de excitación:

\begin{equation} m\frac{d^2x}{dt^2}+D\frac{dx}{dt}+kx=F ....(1) \end{equation}

Sustituyendo valores

\begin{equation} (10)\frac{d^2x}{dt^2}+(2000)\frac{dx}{dt}+(1250)x=1 ....(2) \end{equation}

Utilizando la ecuación general de una ecuación diferencial de segundo orden \begin{equation} T^2\frac{d^2x}{dt^2}+2\epsilon T\frac{dx}{dt}+x= K ....(3) \end{equation}

La ecuación (2) la reescribiremos de la forma que posee la ecuación (3), dividiremos la ec. (2) por 1250 para que esté equilibrada: \begin{equation} (\frac{10}{1250})\frac{d^2x}{dt^2}+(\frac{2000}{1250})\frac{dx}{dt}+(\frac{1250}{1250})x=\frac{1}{1250} \end{equation}

\begin{equation} (8*10^{-3})\frac{d^2x}{dt^2}+(1.6)\frac{dx}{dt}+x=8*10^{-4} ....(4) \end{equation}

Ahora que la ec. (3) y (4) son de la misma forma, nos dispondremos a encontrar los elementos de (3) para observar el comportamiento del sistema.

\begin{equation} T^2=8*10^{-3} \end{equation}

\begin{equation} T=(8*10^{-3})^{\frac{1}{2}} \end{equation}

Tiempo de respuesta del sistema

\begin{equation} T=0.089 \end{equation}

\begin{equation} 2\epsilon(T)=1.6 \end{equation}

Despejando $\epsilon$

\begin{equation} \epsilon=\frac{1.6}{(2)(0.089)} \end{equation}

\begin{equation} \epsilon=8.988 \end{equation}

Observamos que $\epsilon$ > 1, por lo tanto se trata de un caso sobreamortiguado, entonces calculamos sus polos:

\begin{equation} P_{{1},{2}}=\frac{-\epsilon\pm\sqrt{(\epsilon)^2-1}}{T} \end{equation}